ALGEBRA
.pdfПример 9. Пусть n N фиксировано. Обозначим через
L1 := {(x1, x2, . . . , xn) | x1 + x2 + . . . + xn = 1} Rn.
Можно ли на множестве L1 ввести линейную структуру теми же операциями, что и в линейном пространстве Rn? Можно ли на множестве L1 ввести линейную структуру?
Пример 10. Обозначим через
R+ := {x R|x > 0} R.
Можно ли на множестве R+ ввести линейную структуру теми же операциями, что и в линейном пространстве R?
Пример 11. Обозначим через F(a, b) множество функций f, определённых на
(a, b).
Ввести линейную структуру на F(a, b).
Пример 12. Пусть P≤n множество многочленов степени не выше n, где n N фиксировано. Введите на множестве P≤n линейную структуру.
Пример 13. Пусть Pn множество многочленов степени n, где n N фиксировано. Определим операцию сложения многочленов как операцию приведения подобных. Правильно ли мы определили операцию сложения?
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 14. Пусть L линейное пространство. Тогда, в силу аксиомы A3 имеем, что 0 L такой, что
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
x |
L |
: x + 0 = x. |
|
|
|
|
|
Покажите, что такой нуль-элемент в линейном пространстве L единственный.
Решение. Метод решения: от противного. Пусть существуют два различных нуль-элемента 0, 01 L. Тогда, в силу аксиомы A3, x L :
x=01
(x + 0 = x) = (01 + 0 = 01) аксиома A1
x=0
=
(x + 01 = x) = (0 + 01 = 0)
(01 = 0.)
Следовательно, нуль-элемент в любом линейном пространстве L единственный.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 15. Пусть L линейное пространство. Тогда, в силу аксиомы A4 имеем, что x L y L такой, что
|
|
|
x + y = 0. |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элемент y называют противоположным элемента x. Покажите, что для каждого x L существует единственный противоположный элемент y
в линейном пространстве L. Решение. Метод решения: от противного.
Пусть существуют вектор x L, который имеет два различных противополож- ных элемента
y, z L.
Тогда, в силу аксиомы A4 :
|
|
|
(x + y = 0) |
|
= |
||||
|
|
y |
(x + z = 0) |
|
|
||||
|
|
|
= |
|
y + 0 = |
||||
|
|
|
аксиома A3 |
|
|
|
|||
аксиома A2 |
(y + x) + z |
аксиома A1 |
|||||||
y + (x + z) = |
|
|
|
= |
|
||||
(x + y) + z |
аксиома A3 |
0 + z |
аксиома A1 |
||||||
|
= |
|
|
|
= |
|
|||
|
|
z + 0 |
|
= A3 z. |
|||||
|
|
|
|
|
аксиома |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Следовательно, для каждого x L существует единственный противоположный элемент в линейном пространстве L.
TПример 16. Докажите, что в любом линейном пространстве для каж-
дого элемента x имеет место равенство 0 · x = 0, где 0 R. Решение. Пусть x L произвольный. Тогда
x |
аксиома A5 |
1 · x |
св-во C3 |
(0 + 1) · x |
аксиома A7 |
|
|
= |
= |
= |
(1.5) |
||||
|
|
0 · |
x + 1 · x |
аксиома A5 |
0 · x + x. |
|
|
|
|
= |
|
Прибавляя к обеим частям равенства (1.5) противоположный к x элемент y, получим, что
0 |
аксиома A4 |
x + y |
(1.5) |
(0 · x + x) + y |
аксиома A2 |
||
= |
= |
|
= |
||||
|
|
аксиома A4 |
0 · x + 0 |
аксиома A3 |
0 · x. |
||
0 · x + (x + y) = |
= |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 17. Пусть L линейное пространство. Тогда, в силу аксиомы A4 имеем, что
x L y L такой, что x + y = 0,
T где 0 - нуль-элемент линейного пространства L. Покажите, что y = (−1)x.
(Отсюда следует единственность противоположного элемента в линейном пространстве L ).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
1.2. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
Пусть L произвольное линейное пространство. Определение 7. Вектор y L называется линейной комбинацией векторов x1, x2, . . . , xn
L c коэффициентами λ1, λ2, . . . , λn R, если y = λ1x1 + λ2x2 + · · · + λnxn.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 8. Совокупность векторов x1, x2, . . . , xn называется линейно зависимой, если существуют числа λ1, λ2, . . . , λn , среди которых хотя бы одно не равно нулю, такие, что имеет место равенство
λ1x1 + λ2x2 + · · · + λnxn = 0. |
(1.6) |
Eсли же равенство (1.6) возможно лишь в случае, когда все λ1 = λ2 = · · · = λn = 0, то совокупность векторов называется линейно независимой.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Далее рассмотрим три теоремы о линейной зависимости.
Теорема 1. Совокупность векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из этих векторов является линейной комбинацией остальных.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Необходимость. Пусть
x1, x2, . . . , xn
– линейно зависимая система векторов. Тогда, в силу определения 8, существуют числа λ1, λ2, . . . , λn, среди которых хотя бы одно не равно нулю, такие, что имеет место равенство
λ1x1 + λ2x2 + · · · + λnxn = 0.
Пусть λ1 6= 0.
Тогда x1 = −λλ21x2 − · · · − λλn1 xn. Здесь первый вектор равен линейной комбинации осталь-
ных.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Достаточность. Пусть один из этих векторов, например x1, является линейной комбинацией остальных:
x1 = c2x2 + · · · + cnxn.
Тогда
1 · x1 − c2x2 − · · · − cnxn = 0,
т.е. существуют числа
λ1 = 1, λ2 = − c2, λ3 = − c3, . . . , λn = − cn,
среди которых λ1 6= 0, и такие, что имеет место (1.6). Следовательно, по определению 8, совокупность векторов линейно зависима.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit