ALGEBRA

Примеры линейных пространств.

1. Линейное пространство вещественных чисел.

На множестве R вещественных чисел введём линейную структуру. Для этого нужно

на множестве R задать две операции. В ка-

честве этих операций возьмём известные нам операции сложения и умножения веществен-

ных чисел. При этом аксиомы A1 − A8 это

известные нам свойства вещественных чисел. Линейное пространство вещественных чисел

будем обозначать также как и множество вещественных чисел буквой R.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 3. Говорят, что задана ось, если

заданы:

1.прямая П;

2.точка отсчёта О П;

3.направление отсчёта [ОE);

4.единица масштаба |ОE| = 1.

S

Геометрической интерпретацией линейного пространства R является ось. (Пространство

R одно, а интерпретаций много). Рассуждения, проводимые с элементами пространства

R, удобно иллюстрировать на оси.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2. Линейные пространства Rn и Rn .

Пусть n N фиксировано.

Определение 4. Упорядоченной n - кой называется совокупность n элементов, в которой указан порядок расположения этих элементов.

Упорядоченные n		-			ки будем обозначать
	x1
				2
	x
(x1, x2, ..., xn) или
					.
	.
			n
	x

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Элементы x1, x2, . . . , xn называются компонентами упорядоченной n - ки (x1, x2, ..., xn)

,а элементы x1, x2, . . . , xn называются компо-

x1

			2
	x
нентами упорядоченной n – ки
				.
	.
		n
	x

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 5. Транспонированием упорядоченной n - ки (x1, x2, ..., xn) называется опе-

	x1
			2
	x
рация переписывания её в виде столбца
	.
		n
	x

, в котором xj		=			xj, j = 1, . . . , n, т.е.
		x1
				2
1 2	n T	x
(x , x , ..., x	) =
						.
		.
			n
		x

Знак T - это обозначение операции транспонирования упорядоченной n – ки.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 6. Транспонированием упоря-

	x1
			2
	x
доченной n - ки					называется операция
	.
		n
	x

переписывания её в виде строки (x1, x2, ..., xn) , в которой xj = xj,

	x1			T
			2
	x
j = 1, . . . , n, т.е.					= (x1, x2, ..., xn).
	.
		n
	x

Знак T - это обозначение операции транспонирования упорядоченной n – ки.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Обозначим множество упорядоченных n - нок (x1, x2, ..., xn) с компонентами из R через Rn:

Rn := {(x1, x2, ..., xn)|x1, x2, ..., xn R}.

На множестве Rn введём линейную структуру.

Для этого нужно определить две операции.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Операцию сложения определим так:

(x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) Rn :

опр.

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) =

= (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn).

Операцию умножения определим следующим образом:

(x1, x2, . . . , xn) Rn и α R :

опр.

α · (x1, x2, . . . , xn) =

= (α x1, α x2, . . . , α xn) Rn.

Далее нужно проверить, что для определённых так операций выполнены

аксиомы A1 − A8.•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Операцию сложения определим так:

(x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) Rn :

опр.

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) =

= (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn).

Операцию умножения определим следующим образом:

(x1, x2, . . . , xn) Rn и α R :

опр.

α · (x1, x2, . . . , xn) =

= (α x1, α x2, . . . , α xn) Rn.

Далее нужно проверить, что для определённых так операций выполнены

аксиомы A1 − A8.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Операцию сложения определим так:

(x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) Rn :

опр.

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) =

= (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn). (1.1)

Операцию умножения определим следующим образом:

(x1, x2, . . . , xn) Rn и α R :

опр.

α · (x1, x2, . . . , xn) =

= (α x1, α x2, . . . , α xn) Rn. (1.2)

Далее нужно проверить, что для определённых так операций выполнены

аксиомы A1 − A8.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit