ALGEBRA

Аксиома A8:

	α · ((x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn))	(1.1)
		=	(1.2)
	= α · (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
			=
			C9.
	= (α · (x1 + y1), α · (x2 + y2), . . . , α · (xn + yn) =			(1.1)
	= (α · x1 + α · y1, α · x2 + α · y2, . . . , α · xn + α · yn)
				=
	= (α · x1, α · x2, . . . , α · xn) + (α · y1, α · y2, . . . , α · yn)				(1.2)
					=

= α · (x1, x2, . . . , xn) + α · (y1, y2, . . . , yn).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Проверка аксиом A1 − A8 показала, что они выполняются потому, что операции в Rn определены ПОКОМПОНЕНТНО, а компонентами являются вещественные числа.

Итак, на множестве Rn мы ввели линейную структуру. Полученное линейное пространство мы будем обозначать также Rn .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Между множеством упорядоченных двоек и

множеством точек на плоскости с введён-

ной декартовой системой координат можно установить взаимно однозначное соответствие

(метод координат на плоскости). Поэтому удобной геометрической интерпретацией пространства R2 является плоскость с введённой декартовой системой координат Oxy. Гео-

метрической интерпретацией пространства R3 является пространство геометрических точек

с введённой декартовой системой координат

Oxyz.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Обозначим множество упорядоченных n - нок (x1, x2, ..., xn)T с компонентами из R через Rn:

Rn := {(x1, x2, ..., xn)T |x1, x2, ..., xn R}.

На множестве Rn введём линейную структуру.

Для этого нужно определить две операции.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Операцию сложения определим так:

	(x1, x2, . . . , xn)T , (y1, y2, . . . , yn)T Rn :										T опр.
	1	2	n		T	+ (y	1	2	, . . . , y	n
	(x	, x	, . . . , x )					, y		)	=
						= (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)T .
	Операцию умножения определим следующим образом:
			(x1, x2, . . . , xn)T Rn и α R :
	= α · (x1, x2, . . . , xn)T			опр.
					= (α x1, α x2, . . . , α xn)T Rn.

Проверьте самостоятельно, что для определённых так операций выполнены аксиомы A1 − A8.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Операцию сложения определим так:

(x1, x2, . . . , xn)T , (y1, y2, . . . , yn)T Rn :

(x1, x2, . . . , xn)T + (y1, y2, . . . , yn)T опр=.

= (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)T .

Операцию умножения определим следующим образом:

(x1, x2, . . . , xn)T Rn и α R :

α · (x1, x2, . . . , xn)T	опр.
	= (α x1, α x2, . . . , α xn)T Rn.

Проверьте самостоятельно, что для определённых так операций выполнены аксиомы A1 − A8.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Операцию сложения определим так:

	(x1, x2, . . . , xn)T , (y1, y2, . . . , yn)T Rn :									T опр.
	1	2	, . . . , x	n	T	1	2	, . . . , y	n
	(x	, x		)		+ (y	, y		)	=
				= (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)T .							(1.3)
	Операцию умножения определим следующим образом:
	(x1, x2, . . . , xn)T Rn и α R :
	α · (x1, x2, . . . , xn)T					опр.					(1.4)
						= (α x1, α x2, . . . , α xn)T Rn.

Проверьте самостоятельно, что для определённых так операций выполнены аксиомы A1 − A8.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

В курсе алгебры мы рассмотрим следующие линейные пространства:

•матриц фиксированного размера;

•геометрических векторов;

•комплексных чисел;

•решений однородной системы линейных уравнений;

•линейных операторов.

Элементы линейных пространств будем называть векторами.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Задачи для практических занятий.

Пример 1. Проверить аксиомы A1 − A8 для операций, с помощью которых мы ввели линейную структуру во множестве Rn.

Пример 2. Пусть

L := {(x1, x2, x3) R3 | x3 = 0} R3.

Введите линейную структуру на L.

Пример 3. Пусть n N фиксировано и

L := {(x1, x2, ..., xn) | xn = 0} Rn.

Введите линейную структуру на L.

Пример 4. Пусть L – линейное пространство. Обозначим через L×L множество упорядоченных пар с компонентами из L. Введите линейную структуру на множестве L×L.

Пример 5. Пусть L линейное пространство. Обозначим через W множество упорядоченных n - ок с компонентами из L. Введите линейную структуру на множестве W.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 6. Пусть m, n N фиксированы. Таблица вида:

a11

a21

· · ·

an1

a12 a22

an2

i

·.· ·

R, i = 1, m, j = 1, n,

.

.

.

, где aj

.. .. ..

..

m

a

m

a

m

a

1

2

n

· · ·

называется матрицей размера m×n. Матрица размера m×n имеет m строк и n столбцов. Матрицы размера m×1 являются элементами линейного пространства Rm, а матрицы размера 1×n являются элементами линейного пространства Rn. Обозначим через Mmn (R) множество матриц размера m×n с элементами из R. Введите линейную структуру на множестве Mmn (R).

Пример 7. Пусть m, n N фиксированы и L линейное пространство. Обозначим через Mmn (L) множество матриц с элементами aij L, i = 1, m, j = 1, n. Введите линейную структуру на этом множестве.

Пример 8. Пусть n N фиксировано. Обозначим через

L0 := {(x1, x2, . . . , xn) | x1 + x2 + . . . + xn = 0} Rn.

Можно ли на множестве L0 ввести линейную структуру теми же операциями, что и в линейном пространстве Rn?

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit