3289-electrodinam

ω

Re ∫Πds = −

2

∫(ε′′Em Em +μ′′Hm Hm )dv − Re Pстm ;

S

V

(4.28)

ω

Im ∫Πds =

∫

2

(ε′′Em Em −μ′′Hm Hm )dv − Im Pстm ,

S

S

где Рстm = ∫ рстmdv

— интеграл, выражающий комплексную мощ-

V

ность источников электромагнитного поля.

Обсудим смысл первого из полученных равенств. В левой части — вещественная часть комплексного потока энергии. Последний член справа дает среднюю мощность источников. Легко видеть, что рассматриваемое равенство есть не что иное, как уравнение среднего баланса энергии при гармонических колебаниях.

Пусть источники в среднем отдают энергию полю. Если проницаемости ε и μ вещественны (ε′′ = 0 , μ′′ = 0 ), то объемный интеграл в (4.28) исчезает. При этом в среднем вся мощность источников идет на излучение. Если же ε′′ > 0 , μ′′ > 0 , то положителен и объемный интеграл, а следовательно, средняя мощность излучения уменьшится на его величину. В случае когда область V энергетически изолирована, мощность источников полностью «гасится» объемным интегралом. Из этих рассуждений следует, что объемный интеграл в (4.28), взятый без знака минус, выражает среднюю мощность потерь в объеме V.

Полученный результат проясняет смысл мнимых частей ε′′ и μ′′ комплексных проницаемостей ε и μ. При ε′′ = 0 и μ′′ = 0 , т.е. когда ε и μ вещественны, среда не является поглощающей. Потери энергии существуют только при ε′′ > 0 и (или) μ′′ > 0 . Эти, как говорят, электрические и магнитные потери происходят в результате преобразования энергии поля в какие-то иные формы. В особых случаях (активные среды) фигурируют отрицательные ε′′ и μ′′.

101

4.5. Теорема единственности для монохроматического электромагнитного поля

4.5.1. О единственности решений

Решения уравнений Максвелла, как и других уравнений в частных производных, принадлежат весьма широкому классу. Нахождение того или иного решения уравнений (4.5), (4.6) еще не означает, что получено электромагнитное поле, которому можно приписать определенное физическое содержание.

Поставим целью выяснить, при каких условиях система уравнений (4.5), (4.6) имеет некоторое единственное решение для

Em, Hm. Очевидно, что такие условия однозначно формализуют

причину существования поля: единственное решение обладает физической определенностью.

4.5.2. Внутренняя задача

Докажем теорему единственности для внутренней задачи. В этом случае область пространства V, в которой ищется решение, ограничена поверхностью S (рис. 4.1).

Тогда задача имеет единственное решение:

–если в каждой точке области V среда обладает потерями

(σ ≠ 0) ;

–в области V заданы сторонние токи;

–заданы тангенциальные состав-

	ляющие электрического или магнитно-
	го поля на границе. Это либо Eτ, что
	соответствует	Е-задаче,	либо Hτ	—
Рис. 4.1. К доказательству	Н-задача.	доказываем	методом	от
теоремы единственности	Теорему
	противного.
(внутренняя задача)

102

Пусть в произвольной точке М внутри области V существуют поля E1, E2 и H1, H2 , одновременно удовлетворяющие уравнениям

Максвелла.

Сформируем разностное решение для их комплексных анало-

гов:

E = E1 − E2 , H = H1 − H2 .

Запишем уравнения Максвелла:

rot H1 = jωεE1 + jcт1; rot H2 = jωεE2 + jcт2 ,

где jст1 = jст2 , так как на основании условий теоремы единствен-

ности сторонние токи заданы. Значит:

rot H = jωεΔE;

rot E1 = − jωμH1;

rot E2 = − jωμH2 ;

rot E = − jωμΔH.

Разностные поля удовлетворяют уравнениям Максвелла и не имеют источников.

Составим уравнения баланса:

	Re ∫	Пds = Pп; Re ∫				E, H
										ds = Pп,
	S			S

где Pп — мощность потерь в объеме. На поверхности S

Hτ = 0 или Eτ = 0

для Н-задачи и Е-задачи соответственно, значит, на всей границе S равна нулю нормальная составляющая векторного произведения

103

E, H . Следовательно, равны нулю потери внутри объема, то есть

Рп = 12 ∫σΔЕ2dv = 0.

(4.29)

Так как σ ≠ 0, то E = 0 . Не может быть двух значений вектора напряженности электрического поля в одной точке. Поскольку электрическое и магнитное поля связаны друг с другом, то не может быть дух значений и магнитного поля. Теорема доказана.

4.5.3. Внешняя задача

Теперь исследуем область V ′, находящуюся за пределами области V (рис. 4.2). Единственность решения задачи требует двух дополнительных условий:

– все источники должны находить-

ся на конечном расстоянии от области V;

r

– поле должно убывать быстрее,

S V

S

′

чем 1/r , то есть среда должна обладать

хотя бы малой способностью поглощать

энергию.

Доказательство, как и в предыду-

V ′

щем случае, ведем методом от против-

Рис. 4.2. К доказательству

ного. Пусть существуют поля

,

и

E

E

теоремы единственности

1

2

(внешняя задача)

H

1, H2 .

Окружаем исследуемую область сферической поверхностью S′ и ее радиус устремляем в бесконечность. Запишем уравнение баланса для области V ′:

∫

E, H

E, H

Pп = Re ∫

ds + Re

ds.

S

′

S

Поток через поверхность S , как уже доказано, равен нулю.

104

При r → ∞ все источники, сосредоточенные вблизи области V , можно считать точечными, значит, поле на поверхности сферы S′ можно считать постоянным, тогда

Р = Re						4πr2.
		E	, H
п

Так как по условию произведение E,H убывает быстрее,

чем 1/r2, при r → ∞ Рп → 0. Учитывая, что уравнение (4.29) спра-

ведливо и для объема V ′, при σ ≠ 0 мы вынуждены обнулить разностное поле Е.

Из уравнений Максвелла следует, что если E = 0, то и H = 0. Теорема доказана.

Единственность решения внешней задачи (а следовательно, и его физическая определенность) установлена только в классе быстро убывающих переменных полей.

4.6. Теорема взаимности

4.6.1. Лемма Лоренца

Для доказательства теоремы взаимности нам придется выполнить предварительное доказательство, называемое леммой Лоренца.

Пусть в исследуемой среде имеются две группы источников: одна группа сосредоточена в пространстве V1 , вторая — в V2.

Запишем уравнения Максвелла для каждой группы источников и умножим уравнения:

rot H

= jωε

+

rot H

= jωε

+

E

j

E

2

E

j

E

1

1

ст1

2

;

2

ст2

1

.

rot

rot

E

2

= − jωμH

2

H

E

= − jωμH

1

H

2

1

1

Проведем попарное вычитание:

E2 rot H1 − H1 rot E2 = jωE2εE1 + E2 jст1 + jωH1μH2 ;

(4.30)

E1 rot H2 − H2 rot E1 = jωE1εE2 + E1 jст2 + jωH2μH1.

105

Применим к левой части известное векторное тождество:

div H

,

= jω

ε

E

E

E

+ jωH

μH

2

+ E

j

;

(4.31)

1 2

2 1

1

2 ст1

div H

,

= − jω

ε

−

.

(4.32)

2

E

E

E

− jωH

μH

2

E

j

1

1 2

1

1 ст2

Предположим, что среда изотропна, тогда ε и μ — скаляры, то

есть

2ε

E

E1 = E1εE2 ;

(4.33)

H

2μH

1 = H

1μH2.

Вычтем (4.32) из (4.31):

div H

,

−div H

,

=

−

.

(4.34)

E

2

E

E

j

E

j

1 2

1

2

ст1

1

ст2

Выражение (4.34) является дифференциальной формулировкой леммы Лоренца. Проинтегрируем его по объему V , включающему объемы V1 и V2 . К левой части применим теорему Остроградского –

Гаусса:

∫{ H1, E2 − H2 , E1 }ds = ∫E2 jст1dv − ∫E1 jст2dv. (4.35)

S V V

Выражение (4.35) — это интегральная формулировка леммы Лоренца.

4.6.2. Доказательство теоремы взаимности

Для доказательства теоремы взаимности распространим в соотношении (4.35) интегрирование на бесконечность: r → ∞. Учтем,

что E , H убывают быстрее, чем E0 r и H0 r .

При r → ∞ поверхностный интеграл обращается в ноль (на основании теоремы единственности для внешних задач). Учтем также, что источники сосредоточены каждый в своей области. Тогда мы сразу можем записать выражение для теоремы взаимности:

106

∫		2		ст1dV = ∫					(4.36)
	E		j		E1		j	ст2dV.
V1				V2

Полученный результат выражает принцип взаимности для двух распределений сторонних токов, двух источников. Примечательна симметрия соотношения (4.36), совершенно не зависящая от характера среды, которая лишь предполагалась изотропной.

Положим, что вся среда линейна. Это значит, что выражение (4.36) справедливо при одновременном существовании обоих источников.

Можно ввести полные токи первой и второй областей Iст1 и Iст2 , определенным образом договорившись, через какие сечения

вычисляются потоки векторов плотностей сторонних токов. Введем величины

1

U12 = Icт1 V∫1 jcт1E2dv,

(4.37)

1

U21 = Icт2 V∫2 jcт2 E1dv,

которые можно рассматривать как комплексные амплитуды наводимых ЭДС (U12 наводится в объеме V1 током, локализованным в

объеме V2 ; соответственный смысл имеет U21 ). Тогда (4.36) можно

переписать в виде Icт1U12 = Icт2U21. Разделим обе части на Icт1Icт2 , это дает

U12 Icт2 =U21 Icт1 .

(4.38)

В данной трактовке соотношение (4.38) выступает как равенство взаимных сопротивлений Z12 и Z21 рассматриваемых источников.

107

4.6.3. Перестановочная двойственность уравнений Максвелла. Магнитные токи

Рассматривая уравнения Максвелла в комплексной форме (4.5), (4.6) при отсутствии источников, легко заметить, что замена

ε ↔ −μ,
	E	m ↔ H		m	(4.39)

сохраняет эту систему уравнений, причем первое уравнение переходит во второе, а второе — в первое.

Отмеченный факт имеет следующее значение. Существуют электродинамические задачи, в которых векторы Em и Hm меняются ролями. Положим, что одна из таких «парных» задач решена, так что имеются формулы, выражающие векторы Em и Hm . Тогда

для получения решения второй задачи из этой же пары достаточно в готовых формулах сделать замену (4.39). Говорят, что решение в этом случае получено путем применения принципа двойственности.

Чтобы распространить принцип двойственности на уравнения Максвелла при наличии источников, необходимо в дополнение к уравнениям (4.5), (4.6) построить некоторые модифицированные. Сопоставим те и другие уравнения:

Э

М

rotH

m = jωεEm +

jcтm

rot Hm = jωεEm

rot

E

m = − jωμH

m

rot Em = − jωμHm −

jмт

В левом столбце (Э) записана известная нам система уравнений электродинамики, а в правом (М) — модифицированная система, физическое содержание которой мы сейчас обсудим. Но сначала надо отметить, что одна система переходит в другую (Э→М), если в дополнение к условию (4.39) выполнить условие:

	стm ↔ −			(4.40)
j		jмт.

Что же представляет собой система уравнений М? Это уравнения Максвелла с необычно заданными источниками. Появившаяся

108

в правой части второго уравнения функция jмт есть магнитный аналог величины jстm . Это комплексная амплитуда плотности маг-

нитного тока.

В природе, как полагают при формулировании основных уравнений теории электромагнетизма, магнитные заряды отсутствуют. Не может быть, следовательно, и магнитных токов. Но это не мешает вводить такие объекты формально — с единственной целью облегчить исследование вполне реальных объектов.

Итак, посредством замен (4.39) и (4.40) мы переводим уравнения Максвелла с обычными электрическими источниками в уравнения с условными магнитными источниками (либо действуем в обратном порядке). Существенно, что эта замена может производиться в формулах, выражающих готовые решения задач. Такие операции мы и будем производить.

Контрольные вопросы

1.На чем основано применение метода комплексных амплитуд к уравнениям Максвелла?

2.Что позволяет определить метод комплексных амплитуд применительно к вектору Пойнтинга, плотностям энергии электрического и магнитного полей?

3.Какой физический смысл имеют вещественные и мнимые части ε и μ ?

4.Почему уравнения Гельмгольца называют также волновы-

ми?

5.Исходя из уравнения среднего баланса энергии, объясните, на что расходуются активная и реактивная мощности источников электромагнитного поля.

6.Сформулируйте внутреннюю и внешнюю задачи теоремы единственности. Какую роль при ее доказательстве играет проводимость среды?

7.Сформулируйте лемму Лоренца и теорему взаимности. При каком условии они несправедливы?

109

8.Сравните формулировки теоремы взаимности в электродинамике и в теории цепей. Идет ли речь об одной и той же теореме?

9.Каков смысл введения в уравнения Максвелла магнитных зарядов и токов?

110