mathanaliz

Пример 3. Показать, что число (−1) не яв-

ляется пределом последовательности xn = (−1)n−1.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение.

S

Число −1 является пределом последовательности xn = (−1)n−1, если вне каждой Uε(−1) находится лишь конечное число точек последовательности (xn).

Число −1 не является пределом последовательности xn = (−1)n−1, если существует Uε(−1), вне которой находится бесконечно много точек последовательности (xn).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Возьмём ε	0	= 1.	S
		2

Тогда вне Uε0(−1) лежат все члены последовательности с нечётными номерами, т.е.

бесконечное множество членов последовательности.

Итак, мы построили Uε0(−1), вне которой находится бесконечное множество членов последовательности xn = (−1)n−1.

Следовательно, в силу определения 20, число

(−1) не является пределом данной последовательности.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 21. Будем говорить, что

(xn), xn Rk стремится к бесконечно удаленной точке, или стремится к ∞, если

вне каждой Uε(∞) находится лишь конечное число точек последовательности (xn).

Тот факт, что (xn) стремится к бесконечности,

будем кратко записывать так: lim xn = ∞ или xn → ∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 22. Если существует точка x0 Rk такая, что xn → x0, то последовательность (xn) называется сходящейся. В противном случае (xn), xn Rk, называется расходящейся.

Заметим, что если последовательность (xn) стремится к бесконечности, то эта последовательность - расходящаяся.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 4. Показать, что последовательность xn = (−1)n−1 расходится.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение. Предположим, что a R, к которому сходится последовательность xn =

(−1)n−1. Тогда a 6= 1 (см. пример 2) и a 6= −1

(см. пример 3).

S

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Возьмём ε	0	= min{d(a;1),d(a;−1)}	> 0.	S
		3

Тогда вне Uε0(a) лежат все члены последовательности xn = (−1)n−1, т.е. бесконечное

множество членов последовательности.

S

Итак, мы построили Uε0(a), вне которой находится бесконечное множество членов последовательности xn = (−1)n−1.

Следовательно, в силу определения 20, по-

следовательность xn = (−1)n−1 не сходится к числу a.

Тогда, в силу определения 22, последовательность xn = (−1)n−1 расходится.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 3. Последовательность в Rk может иметь только единственный предел.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Доказательство будем			ве-
сти методом от противного.
Пусть xn → x0 и xn → x1, причём x0 6= x1.			S
Возьмем ε =	d(x0;x1)	.
3			S
Тогда

Uε(x0) ∩ Uε(x1) = .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit