Турунтаев Л.П. Теория принятия решений

								121
1		0				0.72		y′13 = 270.75 (375.5 − 0) = 0.72
0		1				0.2		y′23 =139 (700 − 0) = 0 / 2
0.79		0				1		y′31 = (466.5 − 350) (497 − 350) =
								= 116.5:147=0.79
3. Рассчитываются весовые коэффициенты αi .
	1−0.36	=	α1	;		1−0.36		= α1 ; α	+ α	2	+ α	3	=1.
	1−0.1		α2		1−0.395			1
								α3

0.9 α1 – 0.64 α2 =0;

0.605 α1 – 0.64 α3 =0;

α1 + α2 + α3 =1.

Решая эту систему уравнений, получаем:

α1 =0.3; α2 =0.42; α3 =0.28.

Шаг B1 .

1. Определяется решение по глобальному критерию Y 0

					3
			Y 0 =		∑ αi yi(X ) .
					i=1
	Решая задачу линейного программирования
0.3	500x1Ï	+ 750x2	+0.42	x1Ñ	+0.28	0.5(x1П + x1С) +1.33 x2	→max
	375500					497
			700
при ограничениях на ресурсные параметры:
	0.06 xÏ	0.06 xC + 0.07 x2 ≤42;
	1	1
	0.04 xÏ	+0.04 xÑ +0.085 x			2 ≤34;		(*)
	1		1

0.035 x1Ï +0.035 x1Ñ +0.12 x2 ≤42;

x1Ï , x1Ñ, x2 ≥ 0 ,

x1Ï , x1Ñ, x2 — целые.

Получим компромиссное решение X Ñ с координатами x1Ï =0; x1Ñ =517; x2 =156.

2. Вектор критериальных оценок P1 для решения X Ñ

122

P1 ={y1(X Ñ); y2(X Ñ); y3(X Ñ)}={117 тыс. руб.; 517 шт.; 466.5 час}.

ШагC1 .

Формируется сообщение ЭВМ для ЛПР ω1 :

	Вектор оценок		Критерии
		y1	y2	y3
	Вектор y1 идеальных	375.5 тыс.	700 шт.	497 час
	решений X	руб.
	Вектор P1 компро-	117 тыс. руб.	517 шт.	466.5 час
	миссных решений

Шаг D1 .

ЛПР оценивает компромиссное решение по значениям критериев. Если оно считает это решение удовлетворительным, то процедура поиска на этом заканчивается. Иначе, переходим на следующий шаг.

Шаг E1 .

ЛПР указывает, какой из критериев в векторе P1 имеет

наименее удовлетворительное значение. Пусть оно указывает на критерий 1 и устанавливает порог в 300 тыс. руб., то есть дает сообщение

ϖ1 ={1; 300 тыс. руб.}.

Переходим на шаг A2 .

Шаг A2 .

1. Рассчитывается матрица Y 2

	Критерии			Решения X = (x1П; x1С; x2)
			X 2	= (0;700;0)	X 3 =( λ 279;(1– λ )279;268)
	y2	(шт.)	700		0 ÷ 279
	y3	(час)	350		497

	123
2. Нормируем таблицу Y 2				по каждому из критериев, при-
няв y23 =139 шт.
Y ′2	=	1		0
		0		1

3. Рассчитываются весовые коэффициенты α2 и α3 :

α2 =0.5; α3 =0.5.

Шаг B2 .

1. Определяется решение по глобальному критерию

				3
			Y 0 = ∑αi yi(X ) .
Решаем задачу				i=2
	xÑ		0.5 (xÏ	+ xÑ) +1.33 x2
0.5	1	+0.5	1	1		→max
	700			497

при ограничениях на ресурсные параметры (*) и на значение критериальной функции y1

500 xÏ +750 x2 ≥ 300000.
1
Получим новое компромиссное решение X Ñ с координата-
ми xÏ =365;	xÑ =152; x2 =156.
1	1
2. Вектор критериальных оценок P2				для решения X Ñ
P2 ={y1(X Ñ); y2(X Ñ); y3(X Ñ)}={300				тыс. руб.;		152 шт.;
466.5 час}.
Шаг C2 .
Формируется сообщение для ЛПР ω2 .
Вектор оценок			Критерии
		y1		y2		y3
X идеальных решений		375.5 тыс.		700 шт.		497 час
		руб.
X С компромиссных		300 тыс. руб.		152 шт.		466.5 час
решений

124

Шаг D2 .

ЛПР оценивает полученное решение. Если оно считает это решение удовлетворительным, то процедура поиска решения заканчивается, иначе, повторяются шаги E2, A3, B3,C3, D3 .

6.2 Метод порогов несравнимости «ЭЛЕКТРА»

В методе «ЭЛЕКТРА» [18] разработана процедура многокритериального выбора наиболее предпочтительных объектов, включающая следующие этапы.

1.Для каждого из критериев вводится дискретная шкала возможных значений этого критерия, весовые коэффициенты критериев.

2.Для каждого из критериев строится граф, вершинами которого являются отдельные объекты множества, а дуги указывают на отношение доминирования между объектами в соответствии с данным критерием.

3.С учетом важности критериев и предпочтительности объектов вычисляются матрицы значений специальных коэффициентов, называемых индексами согласия и несогласия.

4.Для каждой пары объектов (x, y) X считается установ-

ленным отношение превосходства, скажем х над у, если значение соответствующего индекса согласия больше некоторого порогового значения, а индекс несогласия — меньше соответствующего порогового значения.

5. Строится обобщенный граф превосходства, структура которого зависит от выбранных пороговых значений.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть Х представляет собой множество абитуриентов, принимающих участие в конкурсных экзаменах при поступлении в технический вуз. На основании проведенных экзаменов необходимо отобрать лучших кандидатов. Состав дисциплин и возможные способы оценки абитуриентов по дисциплинам могут варьироваться согласно специфическим особенностям вуза. Рассмотрим этапы процедуры «ЭЛЕКТРА».

1. В качестве примера рассмотрим оценки трех абитуриентов по трем дисциплинам в пятибалльной шкале (табл. 6.2).

125

Таблица 6.2 — Оценки вступительных экзаменов

Абитуриенты		Дисциплина
	Математика		Физика	Литература
x	5		3	4
y	5		4	3
z	4		5	3

Обозначим:

x, y, z X — множество оцениваемых объектов;

xi	— оценка объекта x по критерию i, i =		1,3;
ci	— весовой коэффициент критерия i, i =
				1,3;
0 < ci <1(10,100, ...).
Пусть c1 = 5, c2 = 3, c3 = 2.
2.	Для каждого критерия i	строим граф Gi = (X ,Vi ),					где
Vi — множество дуг графа Gi		(рис. 6.1). Дуга в графе Gi					из

вершины х в вершину у существует, если xi ≥ yi . Равенство оце-

нок xi = yi	в графе влечет наличие двух дуг из х в у и из у в х.
	(x, y) Vi	xi	≥ yi , i =
				1,3.
х	у	х	у			х	у
	z	z				z
	а	б				в
	Рис. 6.1 — Графы отношений по математике (а),
	физике (б) и литературе (в)
							3
Построим объединенный граф			G0 = (X ,V0 ),			где V0 = IVi
							i=3

есть пересечение трех графов с дугами Vi (рис. 6.2). В нашем примере V0 = {Ø}, т.к. в трех графах нет дуг, одновременно сов-

126

падающих по направлению. Объединенный граф характеризует полное согласие превосходства одних объектов над другими.

ху

z

Рис. 6.2 — Объединенный граф

3. Строим матрицу индексов согласия превосходства объектов и матрицу индексов несогласия с этим превосходством.

Рассмотрим пару объектов (x, y) X . Применительно к ней

множество всех критериев может быть разбито на два «противоположных» класса. К первому классу C(x, y) отнесем все

критерии ki , для которых xi ≥ yi , i =1,3, т.е. критерии, согласно которым в графах Gi имеет место дуга (х, у):

C(x, y) ={ki (x, y) Vi , i =1,3}.

В примере

C(x, y) ={k1,k3}; C(x, z) ={k1, k3}; C( y, x) ={k1, k2};

C( y, z) ={k1, k3}; C(z, x) ={k2}; C(z, y) ={k2 , k3},

где k1 — математика, k2 — физика, k3 — литература.

Ко второму классу D(x, y) пары объектов (x, y) отнесем

критерии ki , для которых отсутствуют в графах Gi дуги (x, y) :

D(x, y) ={ki (x, y) Vi , i =1,3}.

В примерах D(x, y) ={k2}; D(x, z) ={k2}; D(x, y) ={k3};

D( y, z) ={k2}; D(z, x) ={k1,k3}; D(z, y) ={k1}.

Рассчитываем матрицу для индексов согласия по формуле

	c(x, y) =	1		∑ ci ,
		c k
				C(x, y)
			i

3

где ci — весовой коэффициент критерия ki ; c = ∑ci .

i=1

127

Матрица индексов согласия будет иметь вид

x		x	y	z
		−	0,7	0,7
y		0,8	−	0,7		.
z		0,3	0,5	−

Индексы согласия в матрице c(x, y) могут изменяться от 0

до 1 и выражают степень согласия о предпочтении х над у. Рассчитываем матрицудля индексов несогласия поформуле

0, åñëè			D(x, y) = ;
d(x, y) =	1	max		y	− x		, åñëè D(x, y) ≠ ,
				i	i
d ki D(x, y)

где d — нормирующий коэффициент, равный максимальному разбросу оценок на всем множестве критериев.

Матрица индексов несогласия будет иметь вид

		x	y	z
x		−	0,5	1
y		0,5	−	0,5		.
z		0,5	0,5	−
Индексы несогласия d(x, y)			в матрице могут изменяться от

0 до 1 и выражают степень несогласия, недоверия к превосходству х над у.

Абсолютная уверенность в превосходстве х над у будет при c(x, y) =1 и d(x, y) = 0 . В объединенном графе G0 в этом случае

будет дуга (х,у).

4. Вводится отношение превосходства на объектах через пороговые значения p и q. Значение порога p вводится для индексов согласия и должно быть ближе к единице, значение порога q вводится для индексов несогласия и должно быть ближе к нулю. Говорят, что объект х превосходит объект у, если c(x, y) ≥ p è d(x, y) ≤ q, т.е. выполняются следующие условия:

• совокупность критериев (с учетом их относительной важности) покоторым x f y достаточна представительна (порогp);

128

• оценки по остальным критериям не дают достаточных оснований (порог q) для отказа о превосходстве x f y , степень

недоверия к этому предположению не выходит за допустимый предел qi .

5. Объединенный граф превосходства G0 (1;0) при p =1 è q = 0 представлен на рис. 6.2. В графе G( p, q) появится дополнительная дуга (рис. 6.3), например, если верхний порог

p = 0,8, а нижний порог q = 0,5.		Всегда G0 (1; 0) является час-
′ ′	p	′	<1,	à q	′	> 0.
тичным графом G( p ,q ), если
х			у

z

Рис. 6.3 — Обобщенный граф G(0,8;0,5)

6.3 Многокритериальная задача о назначениях

Впрактике организационного управления весьма распространена задача принятия решения о распределении прав, обязанностей, работ, благ между членами коллектива, получившая название задачи о назначениях. Приведем несколько примеров многокритериальных задач [12]. Выпускники военной академии получают назначения на места службы. Каждый офицер имеет определенные пожелания (в соответствии со своими возможностями) относительно места службы. В свою очередь, в зависимости от места службы определенные требования предъявляются к офицеру. Необходимо найти наилучшие (с точки зрения обеих сторон) назначения.

Встуденческом общежитии студенты первого курса расселяются по комнатам. Возникает необходимость расселить студентов так, чтобы учесть определенные требования со стороны студентов к своим соседям (например, предпочитают в комнате некурящих, занимающихся спортом либо художественной самодеятельностью и т.п.) и к расположению комнаты. С другой

129

стороны, каждое помещение имеет определенные характеристики. Необходимо найти такой вариант распределения, при котором бы был обеспечен нормальный психологический климат в коллективе.

Выставочный комплекс располагает местами для демонстрации экспонатов со своими возможностями. Экспонаты должны демонстрироваться в определенных условиях (требования к свету, площади и т.д.). Необходимо разместить наиболее удачно экспонаты с точки зрения целостного восприятия выставочной экспозиции.

Во всех приведенных примерах определяются пары наибольшего соответствия возможностей одних элементов (будем называть их в дальнейшем субъектами) требованиям других элементов (будем называть их объектами).

Сделаем содержательную и формальную постановку многокритериальной задачи о назначениях.

Пусть имеется n субъектов и n объектов, каждый из которых характеризуется совокупностью оценок по m критериям. Оценка возможностей субъектов по соответствующим критериям и оценка потребностей объектов по этим критериям пусть производится в пятибалльной шкале измерения. Имеется ЛПР, ответственное за решение задачи. Необходимо определить n наиболее близких по своим оценкам пар «объект-субъект».

Основная идея подхода к решению задачи схожа с процедурой образования пар в известной телевизионной передаче «Любовь с первого взгляда», в которой образование пар молодых людей происходит, если их взгляды и выбор совпадают.

Пусть Ci (i =1,n) и Oν (ν =1,n) — множество субъектов и объектов.

C = (c1, c2 , ..., ci , ...,cn ) — множество оценок возможностей субъектов i, i =1, n ,

где ci = (c1i , ci2 , ..., cij , ..., cim ) — вектор оценок субъекта i по критериям j, j =1, m ,

cij — оценка i -го субъекта по критерию j .

130

O = (o1, o2 , ..., oν, ...,on ) — множество оценок потребностей

(требований) объектов ν, ν =1, n ,

где oν = (o1ν, oν2 , ..., oνj , ..., oνm ) — вектор оценок объекта ν по критериям j, j =1, m ,

oνj — оценка ν -го субъекта по критерию j .

Далее работу алгоритма решения задачи проследим на примере.

Пусть решается задача распределения курсантов на практику в воинские подразделения. Оценки по критериям (теоретическая подготовка, техническая, боевая, строевая) приведены в табл. 6.3.

Таблица 6.3 — Значения оценок по критериям субъектов и объектов

Субъект		Критерии			Объект		Критерии
	1	2	3	4		1	2	3	4
c1	4	3	5	1	o1	3	2	5	2
c2	4	3	4	3	o2	4	3	5	2
c3	3	1	4	1	o3	4	3	4	3

На первый объект может быть распределен один из трех курсантов, при этом приоритет распределения у курсантов будет зависеть от степени соответствия их оценок оценкам первого объекта. Аналогично для второго и третьего объектов. Можно получить информацию Tν относительно каждого объекта

ν (ν =1,3) о распределении курсантов i (i =1,3) через индексы

несоответствия возможностей курсантов потребностям воинских подразделений в виде матрицы индексов несоответствия

ciν