Турунтаев Л.П. Теория принятия решений

61

Пример

Пусть A ={< 0,3/ x1 >,< 0,8/ x3 >,< 0,4/ x6 >} и

B ={< 0,9 / x1 >,< 0,2 / x2 >,< 0,4 / x3 >,< 0,5/ x4 >} — расплыв-

чатые множества в x ={x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 , x7}.

A UB ={< 0,9/ x1 >,< 0,2/ x2 >,< 0,8/ x3 >,< 0,5/ x4 >,< 0,4/ x6 >} A IB ={< 0,3/ x1 >,< 0,4 / x3 >}.

¬A ={< 0,7 / x1 >,<1/ x2 >,< 0,2/ x3 >,<1/ x4 >,<1/ x5 >,< 0,6/ x6 >, <1/ x7 >}.

¬B ={< 0,1/ x1 >,< 0,8/ x2 >,< 0,6/ x3 >,< 0,5/ x4 >,<1/ x5 >,<1/ x6 >,

<1/ x7 >}.

3.2.3Субъективные методы определения предпочтений объектов

Для получения оценок субъективных измерений наиболее часто используются методы ранжирования, парного сравнения, непосредственной оценки и последовательного сравнения. Эти методы хорошо описаны в [6].

Напомним основные особенности.

Ранжирование представляет собой процедуру упорядочения объектов, выполняемую ЛПР или экспертом в порядковой шкале. Объектам приписываются, как правило, ранги. Если среди объектов нет объектов с равными рангами, то упорядочение называется строгим, в противном случае — нестрогим.

Парное сравнение представляет собой процедуру установления предпочтения объектов при сравнении всех возможных пар в порядковой шкале (бинарные отношения). Как правило, результаты парных сравнений записываются в виде матрицы предпочтений (отношений), состоящей из нулей и единиц. Если объект xi предпочтительней или эквивалентен (не уступает) объ-

екту x j , то в матрице проставляется 1, а в противном случае — 0.

От матрицы парных сравнений можно перейти к ранжированию объектов.

62

Парное сравнение можно задать и в виде расплывчатых бинарных отношений. Пусть объект xi находится с объектом x j в

отношении R : xi Ry j , где под R будем понимать расплывчатое

отношение. Если в качестве расплывчатого отношения R на множестве X возьмем отношение «намного больше», а множество X ={1,2,3,4} , Тогда отношение R можно задать матрицей

расплывчатых бинарных отношений M (R) , элементами которой будут числа µR (xi , x j ) , определяющие принадлежность объектов к расплывчатому отношению R.

	1	0	0	0	0
Например, M (R) =	2	0,6	0	0	0	.
	3	0,8	0,4	0	0
	4	1	0,6	0,4	0

Непосредственная оценка представляет собой процедуру приписывания объектам числовых (балльных) значений в принятой шкале интервалов.

Последовательное сравнение представляет собой поэтап-

ную процедуру упорядочения объектов с последующим уточнением их предпочтения путем попарного сравнения наиболее предпочтительного объекта с группой наименее предпочтительных. Наибольшую известность процедуры последовательного сравнения получили благодаря методу Черчмена-Акоффа [41].

Контрольные вопросы

1.Какова последовательность оценки альтернативных решений, принимаемых с учетом возможных ситуаций и целевых установок?

2.Что такое измерение?

3.Назовите основные свойства количественных шкал измерения.

4.Назовите основные способы нормализации критериев

5.В чём отличие нормализации критерия с инверсией и без инверсии? Для чего они делаются?

6.Что такое расплывчатое множество?

63

7.Укажите основные операции над расплывчатыми множествами.

8.Назовите основные субъективные методы определения предпочтений объектов.

64

4 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ

4.1 Задачи векторной оптимизации

В жизни целенаправленная деятельность человека устроена так, что приходится учитывать не одну, а сразу несколько целей. Так, при транспортировке грузов возникают желания организовать перевозку быстро, дешево, надежно. Три сформулированные целевые установки приводят по отдельности к различным трем решениям, а так как цели сами по себе противоречивы, то возникают определенные трудности сравнения этих решений, выбора наилучшего в определенном смысле или какого-то компромиссного. В данном разделе рассмотрим подходы количественного обоснования решения многокритериальных задач оптимизации.

Вернемся к задаче определения плана выпуска продукции, рассмотренной [46]. Напомним постановку задачи.

Пусть мебельная фабрика изготавливает два вида продуктов: столы и шкафы. Для их производства используется три вида ресурсов (пиломатериал, шурупы, краска). Будем считать, что месячные запасы ресурсов ограничены: пиломатериал — вели-

чиной b1 ( ì 3 ), шурупы — b2 (кг), краска — b3 (кг). Расходы

соответствующих ресурсов на изготовление одной единицы соответствующих продуктов известны и задаются таблицей (матрицей) Α. Прибыль (доход) от выпуска единицы соответствующей продукции задана: для стола она равна C1 (руб./шт.), для

шкафа — C2 (руб./шт.). Требуется определить план выпуска

продукции каждого вида, максимизирующий доход фабрики. Кроме этой цели, добавим еще одну. Допустим, что нам

нужно максимизировать выпуск продукта первого типа — столов, которые идут не на продажу, а для своих нужд. Таким образом, теперь модель задачи будет выглядить так:

2
max y1 = ∑C j x j — критерий первого вида;	(4.1)

j=1

65

max y2 = x1 — критерий второго вида;	(4.2)
при ограничениях:
2
∑aij x j ≤ bi , i =1,2,3 ,	(4.3)
j=1
x j ≥ 0, j =1,2,	(4.4)

где x j — количество производимых продуктов j-го типа (соот-

ветственно столов и шкафов), j = 1,2;

aij — нормативная матрица затрат i-го вида сырья на 1 еди-

ницу j-го типа продукта;

bi — ограничение на i-й вид сырья (пиломатериал, шуру-

пы, краска), j = 1,2,3.

Вернемся к графическому способу решения задачи в отдельности по каждому из критериев (рис. 4.1).

x2

X ′
x2′	y1
		y2
		X ′′
x1′	x1′′	x1

Рис. 4.1 — Графическое решение задачи

Если решать задачу только с учетом критерия первого вида y1 , то решение получим в точке X ′ = (x1′, x2′ ) =(517,156), а значе-

ние критерия y1 = 517 500 +156 750 = 375500 рублей. Если ре-

шать задачу без учета критерия первого вида, а только с учетом критерия второго вида, то получим решение в точке X ′′ = (x1′′,0) = (700,0) , а значение критерия y2 = x1′′=700 столов.

66

Одновременный учет двух критериев приведет к решению, которое лежит на отрезке между точками (решениями) X ′ и X ′′. Множество решений на отрезке между X ′ и X ′′ называют множеством решений, оптимальных по Парето (оно же компромиссное множество, недоминируемое, эффективное). Множество компромиссных решений обладает свойством противоречивости: улучшение качества решений по одним критериям вызывает ухудшение качества других (рис. 4.2).

y2 (столы)

	x1′′	Множество
		Парето
	x1′	∆2
		∆1

y (x′′,0)		y (x′		, x′	) y1 (доход)
1	1	1	1	2

Рис. 4.2 — Компромиссное множество решений

Вообще говоря, в многокритериальных задачах принятия решений понятие оптимальности плана теряется, так как не существует такого плана, который доставлял бы одновременно экстремальное значение отдельным критериям. Это обстоятельство и является причиной того, что методы решения многокритериальных задач предусматривают в том или ином виде учет мнения лица, принимающего решение. Чтобы выбрать из области Парето лучшие решения, ЛПР обязан ввести соответствующие принципы выбора компромиссного решения, приводящие к тому или иному методу решения задачи (рис. 1.4). Рассмотрим наиболее часто употребляемые методы решения многокритериальных задач.

Сведениемногокритериальнойзадачикоднокритериальной

Идея метода состоит в том, чтобы два и более критериев представить в виде единого суперкритерия, т.е. скалярной функции, зависящей от локальных критериев:

67

y0 = y0 ( y1, y2 , ..., yn ) .

Вид функции y0 определяется тем, как ЛПР представляет вклад каждого критерия yi в суперкритерий. В силу того, что критерии yi могут измеряться в различных единицах измерения

и иметь различные несоизмеримые масштабы, сравнивать решения в таких условиях зачастую невозможно. Возникает проблема приведения их масштабов к единому, обычно безразмерному масштабу измерения (проблема нормализации). А так как обычно локальные критерии имеют относительно друг друга различную важность, относительный вклад в суперкритерий, то это следует учитывать при выборе лучшего решения (проблема учета приоритета критериев).

Наибольшее распространение получил подход определения глобального критерия (суперкритерия) в виде взвешенной суммы критериев

n

y0 = ∑αi yií ,

i=1

где yií — отнормированное значение i-го критерия;

αi — коэффициент относительной важности i-го критерия (весовой коэффициент);

n

0 ≤ αi ≤1, i =1,n; ∑αi =1.

i=1

Весовой коэффициент определяется экспертными методами. Значение yi для каждого из критериев, как правило, есть безраз-

мерная величина и находится в интервале 0 ≤ yi ≤1(10, 100). Наиболее простым способом нормализации [7] является получение оценок по формуле yií = yi / yiu , где yiu — идеальное (возможно

максимальное) значение i-го критерия.

Для решения нашей двухкритериальной задачи ЛПР должен установить значения весовых коэффициентов α1 и α2 , что-

бы α1 + α2 =1, а также учесть нормализацию критериев y1 и y2 , а затем построить единую целевую функцию и решить зада-

68

2

чу: maxY0 = α1(∑C j x j ) / 375500 + α2 x1 / 700 , при ограничениях

j=1

2

∑aij x j ≤ bi , i =1,2,3 ; x j ≥ 0, j =1,2 .

j=1

Если α1 =1, то получим решение с учетом первого критерия, если α1 = 0 — решение с учетом второго критерия. Глубокое знание реальной проблемы, накопленный опыт могут позволить ЛПР выбрать 0 < αi <1 , чтобы, решив оптимизационную задачу с единственной целевой функцией Y0 , он получил бы

удовлетворяющее его решение исходной задачи с двумя целевыми функциями.

Выделение главного критерия

Допустим, что среди критериев y1 и y2 ЛПР удается выбрать основной. Пусть это будет критерий y2. Допустим, что ЛПР желает получить доход от реализации продукции не ниже определенной им величины C0 (C0 < 375500) . Тогда можно решать задачу вида: max y2 = x1 , при ограничениях:

2
∑αij x j ≤ bi ,	i =		;
		1,3
j=1
2
∑C j x j ≥ C0	— ограничение по критерию y1 ;
j=1
x j ≥ 0, j =1,2 .

Метод последовательных уступок

Предположим, что частные критерии упорядочены в поряд-

ке убывания их важности		y1 f y2 f ... f yn . Решая задачу по
		2
критерию y1	: max y1(X ) =	∑C j x j = y1 = 375500 , найдем реше-
	x	j=1

ние X ′ . Если ЛПР может сделать некоторую уступку по перво-

69

му критерию y1 в объеме ∆1 (пусть ∆1 =5500), чтобы улучшить решение по следующему критерию y2 (рис. 4.2), то это приводит к задаче поиска решения по второму критерию с уступкой по первому: max y2 = x1;

при ограничениях:

2
∑aij	x j ≤ bi , i =1,3 ;
j=1
2
∑C j	x j ≥ 370000 — уступка по первому критерию;
j=1

x j ≥ 0, j =1,2 .

И так далее для других критериев. На последнем шаге решается задача поиска решения по n-му критерию с учетом уступок по (n −1) наиболее важным критериям, и решение этой за-

дачи принимается в качестве решения первоначальной.

Метод целевой точки

Метод целевой точки (опорной, идеальной) базируется на задании по каждому критерию так называемых уровней притязаний [3, 4,7] в виде желаемых значений критериев yˆi . Поскольку

оценки yˆi задаются без точного знания структуры множества до-

пустимых решений, то целевая точка может оказаться как внутри, так и вне области допустимых решений. Наиболее близкая точка решения к целевой будет определять наилучшее решение. В качестве меры близости между решением и целевой точкой, т.е. между векторами y(X ) = ( y1(X ), y2 (X ), ..., yn (X )), yˆ = ( yˆ1, yˆ2 , ..., yˆn )

предлагается использовать различные расстояния [4], в том числе расстояние типа

	n			y	(X ) − yˆ			2 1/ 2
d ( y, yˆ) =				i	i				,
	∑αi				yˆ
	i=1				i

где αi — коэффициент относительной важности критерия i.

70

Тогда модель поиска компромиссного решения для рассматриваемой задачи методом целевой точки будет иметь вид

2

2

1/ 2

− ˆ

C

x

y

x

− yˆ

∑j=1

j

j

1

2

2

min d =

α1

+ α2

1

,

ˆ

ˆ

y1

y2

при ограничениях (3.52) и (3.53).

На базе рассмотренных методов поиска решения многокритериальных задач созданы различные человеко-машинные эвристические процедуры [28], суть которых заключается в распределении ролей между ЛПР и ЭВМ. ЛПР готовит информацию, необходимую для моделирования, ЭВМ осуществляет расчет и выдает решение ЛПР для его анализа. При необходимости ЛПР сообщает сведения для корректировки решения в виде оценок относительной важности критериев, уступок по критериям, коэффициентов нормализации и другие.

4.2Аксиоматический подход в задачах принятия решений

4.2.1 Функции полезности

Понятие функции полезности возникло в теории потребительского спроса при сравнении различных наборов товаров [22]. Полезность потребления продукта, например, для потребителя может быть выражена в виде функции, отражающей полезность в зависимости от количества потребления этого продукта. В определенных пределах полезность может увеличиваться, уменьшаться либо оставаться без изменения при увеличении потребления продукта. Функция полезности может быть построена и для определенного набора продуктов. При этом в зависимости от того, являются ли продукты взаимозаменяемыми или нет, интегральная функция полезности набора потребляемых продуктов определяется с учетом независимости или с учетом взаимного их влияния на общую полезность потребления.