Турунтаев Л.П. Теория принятия решений

131

o1

o2

o3

c1

c

c

c

11

12

13

c2

c21

c23

c

22

c3

c

c

c

31

32

33

↑

↑

↑

T1

T2

T3

		= (ci1ν, ..., ciνj , ..., cimν )				— вектор несоответствия возмож-
	ciν
ностей субъекта i				требованиям объекта ν ,
где c j		— индекс несоответствия пары (iν) по критерию j .
	iν
	j			j	j	(возможность выше потребности);
		0, åñëè		ci	−oν ≥ 0
	ciν =			, èí à÷å		(возможность ниже потребности).
		o j −c j
		ν	i

Тогда на основании информации Tν : c1ν, c2ν, c3ν можно установить бинарные отношения между субъектами c1, c2 , c3 в предположении, что они будут распределяться на объект oν :

•

отношение строгого предпочтения (Парето)

P —

P

{(c j

≤ c j

, j =

)

( k ≠ j, ck

< ck

) };

c

c

pν

1,n

iν

iν

pν

iν

pν

•

отношение эквивалентности

I —

I

{ ciνj = cpjν, j =

};

ciν

cpν

1,n

•

отношение несравнимости

N —

c ν N c ν {( j =1,n, c νj < c jν,) ( k ≠ j, ckν > ckν ) }.

i p i p i p

Определим вектора ciν и покажем отношения между субъектами по каждому объекту графически (рис. 6.4).

132

= (0; 0; 0; 1)

= (0; 0; 0; 1)

= (0; 0; 0; 2)

c11

c12

c13

= (0; 0; 1; 0)

= (0; 0; 1; 0)

= (0; 0; 0; 0)

c21

c22

c23

= (0; 1; 1; 1)

= (1; 2; 1; 1)

= (1; 2; 0; 2)

c31

c32

c33

T1 :

T2 :

T :

3

c1

c2 c1

c2

c1

c2

c3

c3

c3

а

б

в

Рис. 6.4 — Графы отношений T1, T2 , T3

между субъектами

относительно объектов o1 (а), o2

(б) и o3

(в)

Рассмотрим распределение курсантов с другой позиции. Определенный курсант может быть распределен на один из трех объектов, при этом предпочтение будет отдаваться тому объекту, у которого степень соответствия требований возможностям курсанта будет выше относительно других объектов.

Информацию Si относительно каждого курсанта i (i =1,3) о

приоритетном предоставлении мест практики можно получить через матрицу индексов соответствия требований воинских

подразделений возможностям курсанта oiν

c1

c2

c3

o1

o

o

o

11

12

13

o2

o

o

o

21

22

23

o3

o

o

o

31

32

33

↑

↑

↑

S1

S2

S3

133

oνi = (o1νi , ..., oνji , ..., oνmi ) — вектор соответствия требований

ν -го объекта возможностям i -го субъекта,

где oνji — индекс соответствия пары (νi) по критерию j .

Определим oνji = −ciνj как j -ю компоненту вектора oνi , характеризующего соответствие между характеристиками ν -го объекта и i -го субъекта.

На основании информации Si : o1i , o2i , o3i можно установить бинарные отношения между объектами o1, o2 , o3 относи-

тельно субъекта

ci в предположении, что они наиболее полно

позволят реализовать на практике его возможности:

•

отношение строгого предпочтения

P —

P

{(oνji ≥ otij , j =

) ( k ≠ j, oνki > otik )

};

oνi

oti

1,n

•

отношение эквивалентности

I —

I

{ oνji = otij , j =

};

oνi

oti

1,n

•

отношение несравнимости

}

{

N

—

o

N

o

(

j =

1,n

, o j

> o j ,

)

(

k ≠ j, ok

< ok

)

.

νi

ti

νi

ti

νi

ti

Определим вектора

для нашего примера и покажем от-

oνi

ношения между объектами по каждому субъекту графически

(рис. 6.5).

134

= (0; 0; 0; −1)

= (0; 0; −1; 0)

= (0; −1; −1; −1)

o11

o12

o13

= (0; 0; 0; −1)

= (0; 0; −1; 0)

= (−1; −2; −1; −1)

o21

o22

o23

= (0; 0; 0; −2)

= (0; 0; 0; 0)

= (−1; −2; 0; −2)

o31

o32

o33

S2 :

S :

S

3

:

1

o2

o1

o

o2

o

o

1

1

2

o	o3	o3
3
а	б	в

Рис. 6.5 — Графы отношений S1, S2 , S3 между объектами относительно субъектов c1 (а), c2 (б) и c3 (в)

Для определения пар «объект-субъект» проанализируем графы отношений субъектов Tν и объектов Si . В графах будем

послойно выделять вершины, над которыми нет доминирующих вершин (в эти вершины не входят однонаправленные дуги). В каждый слой будут входить вершины с отношениями либо эквивалентности, либо несравнимости. Вершины первого слоя будут доминировать над вершинами второго слоя, второго — над вершинами третьего и т.д. Несравнимым вершинам первого слоя присваивают индекс N1 , эквивалентности — I1 , для второ-

го слоя соответственно присваивают индексы N2 , I2 и т.д.

	o1 …	oν …	on
c1	N1
…
ci	N1	N2	N2	Si
…
cn	I2
	Tν
	Рис. 6.6 — Матрица сходства

Всю информацию, полученную при послойном выделении вершин, занесем в таблицу сходства (рис. 6.6). Строкам матрицы сходства соответствуют субъекты, столбцам — объекты.

135

В каждой клетке матрицы сходства проставляются индексы: в верхней ее части — из графа несоответствия Tν , в нижней

ее части — из графа соответствия Si .

Очевидному индексу соответствует клетка матрицы сходства с индексами I1 \ I1 . В случае если имеются такие клетки, де-

лается идеальное назначение и понижается размерность задачи. После понижения размерности задачи необходимо вернуться к графам Tν и Si и опять составить матрицу сходства. Если в

матрице сходства нет клеток « I1 \ I1 », то для назначения необхо-

димо обратиться к ЛПР за дополнительной информацией [12]. Для наших графов отношений матрица сходства будет

иметь вид

	o1	o2	o3
c1	N1	N1	I2
	I1	I1	I2
c2	N1	N1	I1
	I2	I2	I1
c3	I2	I2	I3
	N1	I2	N1
T :		T :	S :		S3 :
		2	1
1
c		c1	o1	o2	o1	o2
1
	c3		c3

Рис. 6.7 — Графы отношений между субъектами и объектами

Идеальное назначение « c2 −o3 », понижаем размерность задачи (не учитываем далее субъект второй и объект третий) и

136

обращаемся к графам отношений, не учитывая в них c2 и o3 .

Получим новые графы отношений (рис. 6.7). Строим матрицу сходства:

		o1	o2
	c1	I1	I1
		I1	I1
	c3	I2	I2
		I1	I2

Идеальное назначение либо « c1 −o1 », а далее назначение « c3 −o2 », либо назначения « c1 −o2 » и « c3 −o1 ».

Таким образом, возможны варианты решения задачи:

1)« c2 −o3 », « c1 −o1 », « c3 −o2 »;

2)« c2 −o3 », « c1 −o2 », « c3 −o1 ».

6.4 Многоэтапное принятие решений

На практике, в таких задачах, как проектирование изделий, программ, других систем и комплексов, приходится столкнуться с принятием последовательных решений. Результат одного решения заставляет нас принимать следующее решение и т.д. Эту последовательность нельзя выразить таблицей доходов, поэтому нужно использовать какой-то другой процесс принятия решений. Рассмотрим вопрос принятия многоэтапных решений [47].

Многоэтапность приводит к тому, что схема принятия решения может быть представлена в виде дерева. Схема «дерево» решений очень похожа на схему «дерево» вероятностей. Её используют, когда нужно принять несколько решений в условиях неопределенности, когда каждое решение зависит от исхода предыдущего или исходов испытаний. Составляя «дерево» решений, нужно нарисовать «ствол» и «ветви», отображающие структуру проблемы. «Ветви» обозначают возможные альтернативные решения, которые могут быть приняты, и возможные

137

исходы, возникающие в результате этих решений. На схеме мы используем два вида «ветвей»:

первый — пунктирные линии, соединяющие квадраты возможных решений,

второй — сплошные линии, соединяющие кружки возможных исходов.

Квадратные «узлы» обозначают места, где принимается решение, круглые «узлы» — появление исходов.

Так как лицо, принимающее решение, не может влиять на появление исходов, ему остается лишь вычислять вероятность их появления.

Когда все решения и их исходы указаны на «дереве», просчитывается каждый из вариантов и в конце проставляется его денежный доход. Все расходы, вызванные решением, проставляются на соответствующей «ветви».

Пример 1.

Для финансирования проекта бизнесмену нужно занять сроком на один год 15000 ф. ст. Банк может одолжить ему эти деньги под 15 % годовых или вложить в дело со 100 %-ным возвратом суммы, но под 9 % годовых. Из прошлого опыта банкиру известно, что 4 % таких клиентов ссуду не возвращают. Что делать? Давать ему заем или нет? Перед нами пример задачи с одним решением, поэтому можно воспользоваться как таблицей доходов, так и «деревом». Рассмотрим оба варианта.

Решение 1 (по таблице доходов).

Заполним матрицу исходов (табл. 6.3). Максимизируем ожидаемый в конце года чистый доход, который представляет собой разность суммы, полученной в конце года и инвестированной в его начале. Таким образом, если заем был выдан и возвращен, то чистый доход составит:

Чистый доход = ((15000 + 15 % от 15000) – 15000) = 2250 ф. ст.

Если ссуду не выдавать, а инвестировать в другие дела (свой кредит под 9 % годовых), то доход составит:

Чистый доход = ((15000 + 9 % от 15000) – 15000) = 1350 ф. ст.

138

Таблица 6.3 — Чистый доход в конце года, ф. ст.

	Возможные	Возможные решения		Вероятность
	исходы
		Выдавать	Не выдавать
		заем	(инвестиро-
			вать)
	Клиент заем	2250	1350	0,96
	возвращает
	Клиент заем	–15000	1350	0,04
	не возвраща-
	ет
	Ожидаемый	1560	1350
	чистый до-
	ход

По критерию Байеса оцениваем возможные исходы реше-

ний. Для решения «выдавать»: 2250×0,96 + (–15000)×0,04 = = 1560. Для решения «не выдавать» — исход будет равен 1350. Банку рекомендуется выдать заем, максимальный ожидаемый чистый доход будет равен 1560 ф. ст.

Рис. 6.8 — «Дерево» решений для примера 1

139

Решение 2 (по «дереву» решений).

Вданном случае также используем критерий максимизации ожидаемого чистого дохода на конец года.

Далее расчет ведется аналогично расчетам по таблице доходов. Ожидаемый чистый доход в кружках А и В вычисляется следующим образом:

Вкружке А:

Е(давать заем) = {17250 × 0,96 + 0 × 0,04} – 15000 =

= 16500 – 15000 = 1560 ф. ст.

В кружке Б:

Е (не давать заем) = {16350 × 1,0 – 15000} = 1350 ф. ст.

Поскольку ожидаемый чистый доход больше в кружке А, то принимаем решение выдать заем.

Пример 2.

Рассмотрим ситуацию, более сложную, чем в предыдущем примере, а именно: банк решает вопрос, проверять ли конкурентоспособность клиента, перед тем, как выдавать заем. Аудиторская фирма берет с банка 80 ф. ст. за проверку. В результате этого перед банком встают две проблемы: первая проводить или нет проверку, вторая — выдавать после этого заем или нет (двухуровневое «дерево» решений).

Решая первую проблему, банк проверяет правильность выдаваемых аудиторской фирмой сведений. Для этого выбираются 1000 человек, которые были проверены и которым впоследствии выдавались ссуды:

Таблица 6.4 — Рекомендации аудиторской фирмы и возврат ссуды

	Рекомендации после	Фактический		Всего
	проверки кредито-
		результат
	способности
		Клиент	Клиент ссу-
		ссуду	ду не вер-
		вернул	нул
	Давать ссуду	735	15	750
	Не давать ссуду	225	25	250
		960	40	1000

140

Какое решение должен принять банк?

Решение.

Этап 1. Построим «дерево», как показано ниже. Вероятности проставляются по данным этапа 2.

Этап 2. Используя данные табл.6.4, вычислим вероятность Р каждого исхода:

Р(клиент ссуду вернет; фирма рекомендовала) = 7,35/750 =

=0,98;

Р(клиент ссуду не вернет; фирма рекомендовала) = 15/750 =

=0,02;

Р(клиент ссуду вернет; фирма не рекомендовала) = 225/ 250 =

=0,9;

Р(клиент ссуду не вернет; фирма не рекомендовала)= =25/250= 0,1.

Этап 3. На этом этапе слева направо проставим денежные исходы каждого из «узлов», используя конечные результаты, вычисленные ранее. Любые встречающиеся расходы вычитаем из ожидаемых доходов. Таким образом, подсчитываем все «дерево», опираясь на ранее полученные результаты. После того, как пройдены квадраты «решений», выбирается «ветвь», ведущая к наибольшему из возможных исходов при данном решении — ожидаемому доходу. Другая «ветвь» зачеркивается, а ожидаемый доход проставляется над квадратом решения.

Сначала посмотрим на кружки исходов В и С, являющиеся следствием квадрата 2 (выдавать ли заем клиенту?).

Доход, ожидаемый от исхода В:

Е (В) = 17250 ф. ст. × 0,98 + 0 × 0,02 = 16905 ф. ст., чистый ожидаемый доход:

NЕ (В) = 16905 – 15000 = 1905 ф. ст.

Доход, ожидаемый от исхода С:

Е (С) = 16350 ф. ст. × 1,0 = 16350 ф. ст., чистый ожидаемый доход:

NЕ (С) = 16350 – 15000 = 1350 ф. ст.

Предположим, что мы сейчас в квадрате 2. Максимальный ожидаемый доход 1905 ф. ст. в кружке В, поэтому принимаем решение выдать заем.