Турунтаев Л.П. Теория принятия решений

81

Пример

Пусть x = (5, 8, 6, 5, 3, 3, 3); y = (3, 3, 3, 4, 9, 9, 9). Очевид-

7

но, что имеет место ∑σixy =1 > 0 x Pì y.

i=1

Отношение лексикографии PL

Предполагается, что критерии упорядочены по важности значимости. Пусть критерий первый важнее второго, второй — третьего и т.д. Отношение лексикографии определяется:

x Pì y [x1 > y1] [x1 = y1 x2 > y2 ] ...

... [x1 = y1 x2 = y2 ... xm > ym ] .

Отношения Подиновского Pï , I ï :

а) для равноважных критериев имеет место отношения предпочтения P и эквивалентности I по Подиновскому:

m	m
x Pï y ∑xi > ∑yi ,
i=1	i=1
m	m
x I ï y ∑xi = ∑yi ;
i=1	i=1

б) для разноважных критериев (пусть упорядочены по убыванию важности) имеет место отношения:

n

n

K

K

x Pï

∑ i

≥

∑ i

K,

∑ i

>

∑ i

y

x

y , n =1, m

x

y ,

i=1

i=1

i=1

i=1

n

n

x I ï y ∑xi = ∑yi , n =

.

1, m

i=1

i=1

Пример

Пусть x = (4, 5, 3, 2); y = (4, 3, 5, 5)

а) для равноважных — x				ï	y;	y				ï	x;
		P						P
б) для разноважных — x			ï		y;	y			ï		x.
	P						P

82

4.4 Принятие решений на основе функций выбора

4.4.1 Постановка задачи

Пусть задано множество альтернатив Х и имеется возможность наблюдать, какие альтернативы выбираются ЛПР. Необходимо по наблюдаемым оптимальным решениям и согласно некоторым принципам рационального поведения ЛПР построить функцию выбора C(X ). В общем виде

C(X ) ={x X x f xo} ,

где xo — база сравнения. Функция C(x) описывает выбор как

операцию над произвольным множеством альтернатив Х, которая учитывает особенности получаемой от ЛПР информации (качественной или количественной) о предпочтениях на множестве критериев альтернатив и ставит этому множеству в соответствие некоторое его подмножество. Накладывая на функцию выбора определенные требования, можно через нее описывать и варианты выбора, которые отражаются в критериальном языке и языке бинарных отношений. Рассмотрим ниже некоторые функции выбора [38].

4.4.2 Выбор с учетом числа доминирующих критериев

Пусть X — множество альтернатив измеряется через критериальное множество К, критерии будем считать равнозначными. Рассмотрим x, y X , и пусть для каждой альтернативы x X

определено значение q(x, y), характеризующее число критериев, по которым альтернатива x превосходит альтернативу y X q(x, y) = ∑δkxy ,

	åñëè x	− y		k
1,				> 0;
где δkxy =	k		k	≤ 0;
0, åñëè xk − yk

xk — оценка альтернативы х по критерию k .

Определим Qx ( y) как доминирующий показатель над альтернативой y X , равной максимальному числу критериев, по которым другие альтернативы предпочтительнее альтернативы y

83

Qx ( y) = max q(x, y).

x

Значением функции выбора в критериальном пространстве Ck (X ) является подмножество всех вариантов x X с максимальным доминирующим показателем

Ck (X ) = x X	QX (x) = min QX ( y) .
	y

Пример

Пусть X = (x1, x2 , x3, x4 , x5 ),

x1 = (1, 1, 5); x2 = (3, 2, 4); x3 = (4, 3, 2); x4 = (7, 0, 1); x5 = (2, 8, 0).

Найти Ck (X ) подмножество альтернатив, не уступающих

другим по совокупности критериев.

Построим матрицу А размерности (5×5) с элементами

a = q(xi , x j	) :
ij
				x1			0		1	1	2	1
				x2
							2		0	1	2	2
				A = x3			2		2	0	2	2
				x	4		1		1	1	0	2
							2		1	1	1	0
				x	5
						2			2	1	2	2
Для каждого столбца матрицы А определим доминирующие
показатели Q		X	(x j	) = max a .
				i				ij
QX (x1) = 2; QX (x2 ) = 2; QX (x3 ) =1; QX (x4 ) = 2;
QX (x5 ) = 2.	Показатель QX (x3 ) =1										говорит о том, что над аль-

тернативой x3 доминируют другие альтернативы максимум по одному критерию. Значит альтернатива x3 является наилучшей,

84

т.е. Ck (X ) ={x }. Все рассмотренные альтернативы	xi X со-
3

ставляют множество Парето. Из примера видно, что функция выбора Ck (X ) «сужает» это множество.

4.4.3 Метод идеальной точки

Пусть Х — множество альтернатив, измеряемое через критериальное множество. Рассмотрим

x X , x = (x1, x2 , ..., xi , ..., xm ),

где xi — оценка альтернативы х по критерию i. Пусть дана идеальная точка (альтернатива)

a = (a1, a2 , ..., ai , ..., am ),

где ai — максимально возможное значение по i-му критерию

ai = max xi .
	x X
Зададим для всех альтернатив x X				функцию, являющуюся
взвешенным евклидовым расстоянием между точками a è x :
m			− x )2	1/ 2
ρ(x,a) =	α	(a		,
∑	i	i	i
i=1

где αi — весовой коэффициент критерия i.

Введенные понятия позволяют задать функцию выбора

CI (X ) = x X	ρ(x,a) = min ρ( y,a) .
	y

Если оценки альтернатив по критериям получены в порядковой (ранговой) шкале измерений, то евклидовое расстояние между точками a è x будет иметь вид

m			− r )2	1/ 2
ρ(x,a) =	α	(1		,
∑	i		i
i=1

где ri — ранг альтернативы по критерию i .

85

Контрольные вопросы

1.Назовите основные проблемы выбора компромиссных решений.

2.Охарактеризуйте основные принципы выбора компромиссных решений?

3.В чем основное отличие выбора компромиссного решения по принципу выделения главного критерия от принципа последовательных уступок?

4.Укажите основные способы задания бинарных отношений.

5.Дайте определение отношению Парето.

6.Верно ли, что элементы множества Парето находятся в отношении Парето?

7.В чем суть аксиоматического подхода в задачах принятия решений?

8.Как проверяется взаимная независимость критериев по предпочтению?

9.Как строятся функции полезности в задачах выбора?

10.Какими способами можно задать функцию выбора?

86

5 ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

5.1 Виды неопределенности ЗПР

Выбор наилучших способов действий в условиях неполной информации, в условиях недостаточной ясности обстановки — один из наиболее распространенных видов управленческих решений. Принятие решений в неопределенной обстановке связано с неизбежным риском. Сегодня большинство серьезных управленческих решений, сопряженных с риском, не может быть принято интуитивно, исходя лишь из предшествующего опыта и здравого смысла. Попытки выработки решений «на глаз» сплошь и рядом оканчиваются неудачами.

Для выработки наиболее рациональных решений применяются методы формализованного описания составляющих элементов процесса принятия решений: проблемной ситуации, целей, альтернатив, критериев, исходов (последствий альтернатив).

В общем случае описание элементов задачи ПР на формализованном (профессиональном) языке ЛПР подвержено в силу различных причин искажению. Наиболее важные для задач ПР виды неопределенности можно представить с помощью дерева

[33] (рис. 5.1).

Первый уровень данного дерева образован терминами, каче-

ственно характеризующими количество отсутствующей информации об элементах задачи ПР. Неизвестность связана с отсутствием любой информации, как правило, на начальной стадии изучения задачи. В процессе сбора информации на определенном этапе может оказаться, что собираемая информация недостоверна: собрана не полностью либо собранная информация характеризует элементы задачи ПР приблизительно (неадекватно). Наличие недостоверной информации связано с недостачей ресурсов, выделенных для ее сбора. Дальнейшее изучение задачи может привести либо к ситуации определенности, в которой все элементы описаны однозначно (например, транспортная задача линейного программирования), либо к ситуации неоднозначности. Для последней предполагается, что вся возможная инфор-

87

мация о задаче собрана, но полностью определенное описание не получено и не может быть получено.

Неопределенность

Неизвестность Недостоверность Неоднозначность

Физическая						Лингвистическая
неопределенность						неопределенность

Неопределенность	Неоднозначность
значений слов	смысла
(полисемия)	фраз

Омонимия

Нечеткость

Синтаксическая

Семантическая

Рис. 5.1 — Неопределенности описания задач ПР

Второй уровень дерева описывает источники (причины) возможной неоднозначности описания, которыми являются внешняя среда (физическая неопределенность) и используемый ЛПР профессиональный язык (лингвистическая неопределенность).

Физическая неопределенность может быть связана как с наличием во внешней среде нескольких состояний и возможностей, каждая из которых случайным образом становится действительностью (стохастическая неопределенность), так и с неточностью измерений вполне определенной величины (ситуация неточности).

Лингвистическая неопределенность связана с использованием естественного языка (в частном случае — профессионального языка ЛПР) для описания задачи ПР. Лингвистическая неопределенность порождается, с одной стороны, множественно-

88

стью значений слов (понятий и отношений) языка, которую условно называют полисемией, а с другой стороны, неоднозначностью смысла фраз.

Если отображаемые одним и тем же словом объекты задачи ПР существенно различны, то соответствующую ситуацию относят к омонимии. Например, коса — вид побережья, сельскохозяйственный инструмент, вид прически. Если же эти объекты сходны, то ситуацию относят к нечеткости. Например, пожилые люди: Иванов, 65 лет; Петров, 77 лет и т.д. (см. подразделы

4.2.3, 4.2.2, 4.4.2).

Неоднозначность смысла фраз, как правило, вызвана синтаксической и семантической неоднозначностью. В первом случае уточнение синтаксиса позволяет понять смысл фразы. Примеры: «казнить, нельзя помиловать» — «казнить нельзя, помиловать»; «он встретил ее на поляне с цветами» — «он встретил ее на (поляне с цветами)». Во втором случае при семантической неопределенности смысла фраз отдельные слова понятны, но неясен смысл всей фразы.

5.2 Принятие решений в условиях риска

5.2.1 Постановка ЗПР в условиях риска

Выбор (принятие решения) является наиболее ответственным этапом процесса разработки управленческих решений. На этом этапе ЛПР должно осмыслить всю информацию, полученную на предыдущих этапах процесса ПР, и использовать ее для интегральной оценки решений и обоснования выбора, наилучшего с точки зрения некоторого критерия.

Рассмотрим индивидуальный (одним ЛПР) выбор решения на матрице исходов Y = yij альтернатив xi X в ситуациях

ej E . Оценка yij исходовальтернатив xi в конкретнойситуации ej может быть проведена по одному и совокупности критериев

достиженияцелей, способы ее получения рассмотрены ранее. Рассмотрим задачу по транспортировке грузов. Перед ЛПР

стоит цель: перевозка грузов от поставщиков к потребителям

89

автомобильным транспортом (либо по асфальтовой дороге — альтернатива x1 , либо по грунтовой — x2 , либо по гравийной —

x3 ), при этом в день отправки автомобилей возможно изменение

погодных условий, а вместе с ними ожидаемых транспортных расходов(ремонт, бензин и др.) идоходовот доставкигрузов.

Возможные погодные условия:

e1 — сухая ясная погода; e2 — кратковременные дожди; e3 — сильные продолжительные дожди; e4 — заморозки.

Необходимо выбрать маршрут движения автомобилей с учетом погодных условий и ожидаемых доходов от доставки грузов.

Вышеизложенной информации о ситуации недостаточно для формальной постановки задачи выбора. Если матрицу исходов (ожидаемых доходов) мы можем в целом определить для

каждой альтернативы xi , x(i =1,3) и каждого состояния ej , x( j =1,4) через решение соответствующих транспортных

задач (решается 3×4 задач), то учет погодных условий требует знания закона (априорной информации) о случайном поведении среды. При различной конкретизации этой задачи она приобретает различный смысл и требует различных методов решения: в условиях риска и в условиях неопределенности. Если закон описания состояний внешней среды задан в виде распределения вероятностей на множестве этих состояний, имеющих объективный характер на основе статистических оценок и строгих аналитических расчетов, то для решения задачи выбора могут быть использованы методы теории статистических решений [31].

Пусть P = pij — матрица значений вероятностей наступ-

ления исхода yij либо P = p j — вектор-строка распределения вероятностей появления каждого из состояний среды, если pij = p j (ej ), i =1,m, j =1,n .

Распределение вероятностей Р определяется на основе статистических оценок либо аналитическими методами, основанными на формулировке гипотез о поведении среды с использованием аксиом, теорем и методов теории вероятности. Получен-

90

ное таким образом распределение Р называют объективным распределением вероятности. Если множество Е образует пол-

n

ную группу событий, то ∑pij =1, i =1,m .

j=1

Рассмотрим основные критерии (правила) выбора альтернатив для данного класса задач ПР, которые получили названия ЗПР в условиях риска.

5.2.2 Критерий Байеса

Обозначим Bi ( p, xi ) = ∑pij yij — математическое ожида-

j

ние значений оценочного функционала при выборе стратегии xi . В соответствии с критерием Байеса стратегия xk считается оптимальной, если

B	( p, x ) = max B			( p, x ) , т.е.	x = arg	max B ( p, x ) .
k	k	i	i	i	k	i	i	i

Этот критерий обеспечивает максимальную среднюю «полезность» (например, доход). Естественно, при однократной реализации решения, доход ЛПР может существенно отличаться от математического ожидания.

Пример

Пусть результаты анализа ранее описанной ситуации по транспортировке грузов представлены в табл. 5.1.

Таблица 5.1 — Исходные данные

Стратегии

Погодные условия

	e1	e2	e3	e4
x1	100	25	80	64
x2	70	80	20	120
x3	60	90	50	30
Вероятно-	0,4	0,3	0,1	0,2
сти