Турунтаев Л.П. Теория принятия решений

151

	Стоимость	Стоимость	Функция	Отноше-
	в $	нормиро-	полезности	ние
		ванная
Жигули	4 000	0,24	0,2791	1,16
Москвич	3 000	0,18	0,2691	1,50
Иж	2 500	0,15	0,0858	0,57
Волга	7 000	0,43	0,3660	0,85
Сумма	16 000	1,00	1,00

Таким образом, учитывая предпочтения данного конкретного ЛПР, предлагаемая процедура рекомендует ему выбрать Москвич.

Главным достоинством процедуры следует считать тот факт, что веса критериев и оценки по субъективным критериям не назначаются прямым волевым методом (как чаще всего пытаются делать, не сильно задумываясь о корректности такого волюнтаризма), а определяются на основе метода парных сравнений. Другое достоинство — представление критериев в виде иерархии (дерева). Такая структуравнутренне присуща самому понятию «критерий». Критерии по своей природе иерархичны и они могут быть сопоставимы целям (дереву целей), отражая степень их достижения.

Основным недостатком процедуры следует признать введение понятия и установления «количественного превосходства в N раз» сравниваемых объектов.

Контрольные вопросы

1.Назовите основные шаги процедуры STEM.

2.Какие принципы выбора компромиссных решений заложены в процедуре STEM?

3.Назовите основные шаги метода «ЭЛЕКТРА».

4.Как определяются пороги согласия и несогласия?

5.Назовите основные шаги решения многокритериальной задачи о назначениях.

6.Что такое дерево решений?

7.На решение каких задач ориентирован метод анализа иерархий?

8.Опишите метод анализа иерархий.

152

7 ГРУППОВОЙ ВЫБОР И СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

7.1 Групповые решения

7.1.1 Проблемы многокритериальных задач группового выбора

До сих пор можно было считать, что у нас есть один эксперт или одно ЛПР. А что делать, если их несколько? Пусть, для примера, мы готовим предложения для одного ЛПР и хотим учесть мнение нескольких экспертов. Рассмотрим такой случай применительно к модели критериального выбора.

При групповой экспертизе наиболее типична следующая ситуация:

•у экспертов разные мнения по поводу набора критериев,

•у экспертов разные мнения о сравнительной значимости критериев,

•эксперты дают разные оценки альтернатив по критериям. Можно сказать, что методы группового выбора позволяют

структуризовать множество альтернатив в ситуации «разноголосицы» суждений экспертов. Для начала вспомним, как преодолевается разница мнений в обычной практике. На ум тут же приходит способ решения спорных вопросов методами голосования: консенсус (полное согласие), простое большинство, квалифицированное большинство. При всей хрестоматийности и широкой распространенности, эти методы имеют по меньшей мере один существенный недостаток. Они отбрасывают мнение меньшинства (кроме консенсуса, где изначальное меньшинство попросту сводится на нет путем убеждения). В методах поддержки принятия решений пытаются, по возможности, обрабатывать экспертные суждения без отбрасывания. Действительно, ведь мы имеем дело с экспертами, т.е. со специалистами высокой квалификации. Как же можно просто отбрасывать их мнения? Иногда к отбрасыванию все же прибегают, но — в редких случаях, например в методах так называемой «борьбы с манипулированием», т.е. сознательным искажением экспертами своих оценок с целью лоббирования тех или иных альтернатив.

153

Любители фигурного катания знают, что при выставлении оценки участнику соревнований крайние оценки судей отбрасываются, а оставшиеся усредняются. Это пример одного из простых методов борьбы с манипулированием. Какие же методы применяются для решения проблем, обозначенных в начале этого раздела? При формировании набора критериев можно попросить каждого эксперта дать свое множество критериев, а затем объединить все множества в одно. Если есть жесткое ограничение по количеству критериев, то тут без отбрасывания не обойтись. Проще всего упорядочить критерии по частоте упоминания и «подвести черту» в том месте, которое удовлетворяет заданному ограничению.

Итак, набор критериев сформирован. Как получить их сравнительную значимость? Здесь хорош, например, метод построения компромиссной ранжировки [6]. Каждый эксперт дает свою ранжировку критериев по важности. На основе индивидуальных ранжировок нужно построить обобщенную. Это можно сделать разными методами. Наиболее корректным (но и наиболее трудоемким) считается метод «медианы Кемени» (по имени автора — американского математика и экономиста, лауреата Нобелевской премии). Для нахождения медианы, прежде всего, нужно задать способ определения расстояния между ранжировками, как говорят математики, «определить метрику в пространстве ранжировок». После этого нужно найти (построить) такую ранжировку, суммарное расстояние от которой до всех заданных экспертных ранжировок было бы минимально. Искомая ранжировка и будет медианой Кемени. Заметим, что тем самым мы получаем обобщенное мнение экспертов, не отбрасывая ни одного мнения, поскольку при построении медианы существенно учитываются все индивидуальные ранжировки.

Теперь займемся оценками альтернатив по критериям. Итак, первое, что приходит в голову, — нужно взять среднее арифметическое оценок экспертов. К сожалению, все не так просто. Прежде всего, нужно задуматься о согласованности экспертных суждений. Действительно, если эксперты оценивают реальный объект, то их оценки не должны сильно расходиться. А если они все-таки существенно расходятся? Тогда, прежде всего, нельзя использовать среднее арифметическое, поскольку

154

тогда мы получаем так называемую «среднюю температуру по больнице». Действительно, если сложить температуру всех высокотемпературных больных и температуру тел в морге, а потом поделить на общее количество замеров, то можно получить 36, 6°. Свидетельствует ли это о том, что «в среднем» все находящиеся в больнице здоровы? Тем не менее абсурдность усреднения оценок без предварительного анализа согласованности мало кто понимает. А как считать согласованность? Если распределение оценок близко к Гауссовому, можно использовать стандартное отклонение. Если нет, нужно использовать непараметрические методы расчета согласованности. А если согласованность все же оказалась низкой? В этом случае нужно пытаться выяснить причину расхождений и, по возможности, попытаться устранить ее. Часто причиной может быть отсутствие важной информации у некоторых экспертов. Иногда ситуация слишком неопределенна, «размыта». В некоторых случаях эксперты разбиваются на две устойчивые группы (ситуация разных научных школ или ситуация «разработчики-эксплуатанты»). В этом случае также нельзя строить обобщенные оценки. Группы нужно уметь выявлять и обрабатывать отдельно. Таким образом, способ обработки оценок в каждом конкретном случае должен подбираться индивидуально и тщательно обосновываться.

7.1.2 Постановка задачи группового выбора

Под групповым выбором понимается процедура принятия коллективного решения на основе согласования индивидуальных предпочтений членов группы. Это согласование производится на основе принципа группового выбора, который определяет правило согласования и выбора наилучшего решения.

Пусть для решения проблемной ситуации предложен ряд вариантов решений X = (x1, ..., xm ). Имеется групповое ЛПР,

состоящее из s коалиций (малых групп) — объединений участников группового выбора с совпадающими целями. Каждый член i коалиции j может выбирать решения в соответствии со

своими предпочтениями f ij ,i =1,l, j =1, s.

155

Оценка решений коалицией Fj представляет собой вектор индивидуальных предпочтений Fj = ( f 1 j , ..., f lj ) . Для образования единого группового предпочтения F = F(F1, ..., Fs ) необходимо согласовать индивидуальные предпочтения f ij в коа-

лициях (раздел 7.1.3), а затем — коалиционные решения в виде единого решения по некоторым принципам группового выбора (раздел 7.1.4). Рассмотрим наиболее распространенные принципы коллективного выбора [6, 12, 43].

7.1.3 Принятие коллективных решений в малых группах

Имеется групповое ЛПР, состоящее всего из одной коалиции, отражающей общность целей всех ее членов. Необходимо согласовать индивидуальные предпочтения членов группы по соответствующим принципам и выбрать наилучшее решение.

Принцип большинства голосов утверждает, что групповое предпочтение должно соответствовать предпочтению коалиции, которая имеет число голосов, превышающих некоторый порог. Если порог равен половине участников группового ЛПР (51 %),

то говорят о принципе простого большинства голосов, при пороге в ¾ голосов — о принципе подавляющего большинства голосов, при пороге, близком к 100 %, — о принципе абсолютного большинства, при пороге в 100 % — о принципе единогласия

(консенсуса).

Как отмечается в [3], правило большинства привлекательно своей простотой и экономичностью, но имеет некоторые особенности:

•только дальнейшая практика показывает, правильным или ошибочным было решение, принятое большинством голосов (само голосование — лишь форма согласования дальнейших действий);

•даже в простейшем случае выбора одной из двух альтернатив легко представить себе ситуацию, когда правило большинства не срабатывает — разделение голосов поровну при четном числе голосующих.

156

В соответствии с принципом диктатора в качестве группового предпочтения принимается предпочтение одного лица группы (коалиции). Ввиду того, что при данном принципе совершенно не учитываются предпочтения других членов группы, понятие группового ЛПР теряет содержательный смысл. Принцип диктатора характерен для военных организаций и широко используется при принятии решений в чрезвычайных обстоятельствах.

Принцип диктатора и большинства голосов не учитывает интересы всех членов группы. Их применение в принципе при отсутствии определенных сдерживающих факторов может привести к распаду группового ЛПР.

Французский ученый маркиз де Кондорсе (1743–1794 гг.) сформулировал принцип или критерий, позволяющий определить победителя в демократических выборах. Принцип де Кон-

дорсе состоит в следующем [12]: кандидат, который побеждает при сравнении один на один с любым из других кандидатов, является победителем на выборах.

Каждый из голосующих упорядочивает кандидатов по степени своего желания видеть его победителем. Согласно де Кондорсе, справедливое определение победителя возможно путем попарного сравнения кандидатов по числу голосов, поданных из-за них. Однако вскоре маркиз де Кондорсе столкнулся с парадоксом, получившим впоследствии его имя.

Согласно методу Борда результаты голосования выражаются в виде числа баллов, набранных каждым из кандидатов [12]. Если число кандидатов равно n, то за первое место присуждается n баллов, за второе — (n −1) балл, за последнее — один

балл.

Рассмотрим примеры голосования в собрании представителей из 60 человек [12].

Пример 1. Парадокс де Кондорсе

Пусть на голосование поставлены три кандидата: A, B, C и голоса распределились, как в таблице 7.1.

157

Таблица 7.1 — Примеры распределения голосов

№	Предпочтения	Число голосующих
пп		Пример 1	Пример 2		Пример 3
1	A → B →C	23	0		0
2	A →C → B	0	23		31
3	B →C → A	17	19		12
4	B → A →C	2	0		0
5	C → A → B	10	2		2
6	C → B → A	8	16		15

Сравним предпочтения по отношению к парам кандидатов.

Берем A и	B : тогда A предпочитают B (A → B) 23 +10 = 33 ;
B предпочитают A (B → A) 17 + 2 +8 = 27.						Следовательно, A
предпочтительнее B (A → B)				по воле большинства. Аналогично
сравним другие пары (табл. 7.2).
Таблица 7.2 — Попарное распределение голосов
A		A		B		C
		–		23+10=33		23+2=25
B		17+2+8=27		–		23+17+2=42
C		17+10+8=35		10+8=18		–

Анализируя распределение голосов, приходим к противоре-

чию, к нетранзитивному отношению A → B →C → A .

Столкнувшись с этим парадоксом (нетранзитивным отношением), де Кондорсе выбрал решение, которое поддерживается большинством голосов: A → B →C (23+0 >17+2 > 10+8). Причина данного парадокса нетранзитивности группового выбора в цикличности совокупности исходных индивидуальных предпочтений.

Пример 2. Принцип большинства Пусть голоса по трем кандидатам распределились иначе

(табл. 7.1). Нетрудно подсчитать, что при этих новых результатах голосования, в соответствии с принципом Кондорсе, попар-

158

ное распределение голосов будет представлено таблицей 7.3, а, в соответствии с принципом Кондорсе, избранным будет кандидат C , который при попарном сравнении побеждает двух других кандидатов ( C → A с числом голосов, равным 37, и C → B с числом голосов, равным 41). В целом отношение между тремя кандидатами по принципу Кондорсе будет C → B → A . Однако если применить принцип большинства голосов, то отношение между тремя кандидатами будет A → B →C (23 > 19 > 18) и победителем оказывается кандидат A . Но при этом кандидат A не набрал простого большинства голосов (51 %).

Таблица 7.3 — Попарное распределение голосов

A	A	B	C
	—	25	23
B	27	—	19
C	37	41	—

Пример 3. Метод Борда.

Применим метод Борда к приведенному выше примеру 2. Для каждого кандидата баллы распределятся следующим образом:

A: 23 3 +19 1+ 2 2 +16 1 =108,

B: 23 1+19 3 + 2 1+16 2 =114,

C: 23 2 +19 2 + 2 3 +16 3 =138.

Всоответствии с методом Борда следует объявить победителем кандидата C , как и по принципу Кондорсе. Однако с ме-

тодом Борда тоже возникают проблемы. Рассмотрим результаты голосования для примера 3 (табл. 7.1). Подсчитав баллы для каждого кандидата методом Борда, получим: (A — 124, B — 99,

C — 137 ) . Следовательно в соответствии с методом Борда по-

бедителем следует считать кандидата C . Однако по принципу большинства голосов следует считать победителем кандидата A

(31 голос из 60).

Приведенные примеры (табл. 7.4) позволяют считать, что парадоксы при голосовании не возникают лишь в случае, когда

159

победитель определяется по принципу большинства голосов при пороге 51 %.

Однако такой случай нетипичен для большинства выборов, поэтому прибегают к проведению двух туров голосования. Во второй тур выходят два кандидата, набравшие большинство голосов. Но и при такой системе сохраняются парадоксы голосо-

вания [3, 12, 43].

Таблица 7.4 — Результаты голосования

Правила	Варианты голосования
голосования	Пример 1	Пример 2	Пример 3
Кондорсе	нетранзитив-	C	A и C
	ность
Большинство голосов	A (38,3 %)	A (38,3 %)	A (51,1 %)
Борда	B	C	C

7.1.4 Коалиционный выбор

Имеется групповое ЛПР, состоящее из нескольких коалиций со своими функциями предпочтений. Следует согласовать коалиционные решения по некоторым принципам группового выбора, обеспечивающим в некотором смысле выбор «оптимальных» решений и устойчивость существования всей группы.

Принцип оптимальности Курно отражает индивидуаль-

ную рациональность: ни одному участнику/коалиции группового ЛПР отдельно невыгодно менять своего решения за неимением лучшего.

По принципу Парето группа может улучшать свои решения без несения ущерба каждому участнику. Этот принцип применим при сильной зависимости всех участников группового ЛПР.

Конкретизация принципов согласования группового выбора может быть приведена в следующих условиях отношений между коалициями: статус-кво, конфронтации, рациональности [6, 43].

При отношении статус-кво коалиции стараются сохранить существующее положение. При отношении конфронтации коалиции действуют так, чтобы навредить друг другу. При отноше-

160

нии рациональности коалиции действуют в собственных интересах, что, естественно, не обязательно приносит ущерб другим коалициям.

Таблица 7.5 — Индивидуальные предпочтения

	Решение	Члены группы
		e1	e2
	x1	y11 =1	y12 = 2
	x2	y21 = 2	y22 =1

Рассмотрим применение принципов группового выбора в условиях гипотезы статускво на примере [6]. Пусть имеется групповое ЛПР, включающее всего два члена. Сформулировано два варианта решения проблемы, и каждый из членов группы в соответствии со своими предпочтениями y может выбрать любое

решение (в табл. 7.5 даны ранговые оценки).

Поэтому возможны следующие варианты решений при групповом выборе:

( y11, y12 ) — первый член группы выбрал решение x1 , второй член группы — решение x1 ;

( y11, y22 ) — первый член группы выбрал решение x1 , второй член группы — решение x2 ;

( y21, y12 ) — первый член группы выбрал решение x2 , второй член группы — решение x1 ;

( y21, y22 ) — первый член группы выбрал решение x2 , второй член группы — решение x2 .

Допустим, что члены группового ЛПР высказали свои предпочтения состояний в рангах (табл. 7.6).

Таблица 7.6 — Групповое предпочтение

	Предпочтение			Решения
		(y11, y12)	( y11,	y22 )	(y21, y12)	(y21, y22)
	состояний
	f1	1	3		3	2
	f2	2	3		3	1