Турунтаев Л.П. Теория принятия решений

71

В задачах принятия решений значение функции полезности выражает предпочтение, полезность альтернатив. Она может быть оценена на множестве альтернатив и на множестве критериев, при этом критерии могут быть взаимно независимыми либо зависимыми.

Аксиоматический подход к ЗПР базируется на проверке ряда аксиом для построения функции полезности альтернатив. Аксиомы делятся на две группы: аксиомы существования функции полезности и аксиомы независимости критериев.

Аксиомы существования функции полезности сформулированы на множестве альтернатив и множестве критериев. В слу-

чае независимости альтернатив xi X , i =1,n и существования линейного порядка их предпочтения x1 f x2 f... f xn ( f —

знак отношения строгого предпочтения) в работе [22] показано, что можно на этом множестве альтернатив построить функцию полезности ui (xi ) , такую, что u1(x1) > u2 (x2 ) >... > un (xn ).

При наличии информации (количественной либо качественной) на множестве критериев k j K, j =1,m, характери-

зующей соответствующие альтернативы, в [19, 22] показано, что для них могут быть построены функции полезности как по каждому критерию v j (k j ), так и по совокупности критериев.

В случае выполнения аксиом взаимной независимости критериев доказано существование аддитивной функцииполезности

			m
	U (K ) = ∑ λ j v j (k j ),
			j =1
где U (K) — функция полезности альтернативы на множестве
критериев К, 0 ≤U (K ) ≤1;
v j	(k j ) — функция полезности альтернативы по критерию
k j , 0 ≤ v j (k j ) ≤1, j =			;
		1,m
			m
λ j	— вес j-го критерия, ∑λ j =1, λ j > 0.

j=1

72

В случае невыполнения аксиом независимости критериев строятся кривые безразличия с целью оценки полезности альтернатив. Для кривой безразличия характерно то, что полезность любых двух альтернатив х и y, лежащих на одной такой кривой, одинакова: u(x) = u( y) = const (рис. 4.3). При этом счи-

тают, что известна сравнительная полезность любых двух альтернатив x и y, отличающихся не более чем по двум критериям. На рис. 4.3 показано, что полезность альтернатив x′ и y′ выше,

′	′
чем полезность альтернатив x и y : U (x ) >U (x);	U ( y ) >U (x).

k2 … …

x

x′

y

U (x′) =U ( y′)

y′

… …	U (x) =U ( y)

0 k1

Рис. 4.3 — Кривые безразличия

С ростом числа зависимых критериев усложняется процедура решения задачи выбора, так как увеличивается число кривых безразличия и соответственно число компромиссных вариантов решения задачи. Для решения подобных задач предложены методы компенсации [19, 20, 22, 35].

4.2.2 Построение аддитивной функции полезности

Рассмотрим следующую задачу. Перед выпускником учебного заведения стоит проблема выбора места дальнейшей работы. Выбор определяется значением критериев:

73

k1 — величина заработной платы; k2 — процент творческой работы;

k3 — время, за которое можно добраться до места работы.

Выпускник может производить выбор из пяти предлагаемых мест работы со следующими оценками (табл. 4.1).

Таблица 4.1 — Исходные данные

Предприятие		Критерии
	k1		k2		k3
x1	100		50		30
x2	140		30		50
x3	170		25		45
x4	130		15		10
x5	140		40		40

Прежде чем начать строить функцию полезности для выпускника по каждому предприятию в виде аддитивной функции, следует убедиться во взаимной независимости критериев. Критерии будут считаться независимыми, если каждая пара критериев не зависит по предпочтению от своего дополнения [22].

Иными словами, если две альтернативы отличаются только по двум критериям (остальные, дополняющие, критерии у этих альтернатив имеют равные значения) и их предпочтения не будут изменяться при одинаковом изменении значения у дополняющих критериев, то эти критерии будут считаться независимыми от дополняющих критериев. Если такая независимость будет наблюдаться для любой пары критериев, то все критерии будут взаимно независимыми. Если ЛПР установит, что это так, то переходим к построению функций полезности по каждому

критерию v j (k j ), j =1,3, 0 ≤ v j (k j ) ≤1.

Введем обозначения:

k j — лучшее значение по критерию

j (k1 =170, k2 = 50, k3 =10);

74

koj — худшее значение по критерию

j (k1o =100, k2o =15, k3o = 50).

Далее для удобства работы с ЛПР все критерии удобно представить с позиции их максимилизации (либо минимизации).

Поэтому новое значение критерия k3í лучше представить как

разность kí	= k	3 max	− k		, где k	3 i	— значение критерия 3 для
3 i			3 i
i-й альтернативы, k3 max				— максимальное значение критерия 3

( k3 max = 50).

Тогда для третьего критерия будем иметь:

k3 = max (50-30; 50-50; 50-45; 50-10; 50-40)=40;

k3o = 0, т.е. 0 ≤ k3 ≤ 40 .

В большинстве практических задач для построения функции полезности достаточно пяти точек (две точки с координата-

ми koj , v j (koj ) = 0 и k j , v j (k j ) =1 известны по определению). Остальные три определяются опросом ЛПР. ЛПР должно указать последовательно значения критерия k j , для которых зна-

чения полезности соответственно будут равны 0,5; 0,25 и 0,75. Допустим, в результате диалога ЛПР — аналитик получили следующую картину (рис. 4.4).

Для определения коэффициентов λ j предлагается следующий подход [22].

Пусть даны две альтернативы (k1o, k2 , k3 ) и (k1 −?, k2o, k3 ), где k0j , k j — худшее и лучшее значение критерия j, k3 — значе-

ние 3-го критерия (для нас безразлично значение дополняющего критерия, т.к. все критерии взаимно независимые). Спрашиваем у ЛПР: каково должно быть значение критерия k1 у второй альтер-

нативы, чтобы эти альтернативы были эквивалентными, т.е. функции полезности у них были одинаковыми. Для нашей задачи сравниваем альтернативы (100, 50, k3 ) ~ ( k1 −?, 15, k3 ). Выясняем

у ЛПР: какова должна быть заработная плата на предприятии,

75

v1 1
0,75
0,5
0,25
0
100	110	120	130	140	150	160	170
							k1

v2	1
	0,75
	0,5
	0,25
	0
	15	20	25	30	35	40	45	50
								k2

v3 1
0,75
0,5
0,25
0
0	10	15	20	25	30	40
						k3
Рис. 4.4 — Функции полезности

если процент творческой работы составляет 15 %, а работа должна быть эквивалентна по степени удовлетворения работе, заработная плата которой 100 $, но процент творческой работы составляет 50 %. Если ЛПР называет, допустим, k1 =155 $, то

U (ko, k , k ) =U (k , ko										, k ) ,
1	2	3					1		2		3
λ v (ko) + λ		2	v (k ) + λ					3	v (k ) = λ v (k ) + λ					2	v (ko) + λ		3	v (k ),
1 1	1			2	2				3		3	1 1	1		2	2			3	3
т.е. λ2 = λ1v1(k1).				По графику функции полезности v1(k1)															опре-
деляем для k1 =155.						155	−150			[0,75 −0,5] + 0,5 = 0,625 = λ2 .
	v (155) =
	1				160		−150									λ1

76

Аналогично у ЛПР определяем эквивалентность альтернатив: (100, k2 , 40) ~ (k1 −?, k2 , 0). Пусть ЛПР называет k1 =140. Тогда после подстановок в функцию полезности λ3 = λ1v1(140).

v1(140) = 140 −130[0,5 −0,25] + 0,25 = 0,375. 150 −130

λ1 + λ2 + λ3 =1;

Решаем 0,625λ1 −λ2 = 0;

0,375λ1 −λ3 = 0.

Получаем λ1 = 0,5; λ2 = 0,3125; λ3 = 0,1875.

Определяем значения функции полезности для вышеприведенных альтернатив

x :	U (100, 50, 20) = 0,5 0 + 0,3125 1+		20-15	0,25 + 0,25	0,1875	=
1			25-15

= 0,3828;
x2	:	U (140, 30, 0) = 0,3047;	x3 :	U (170, 25, 5) = 0,6093;
x4	:	U (130, 15, 40) = 0,3125;	x5 :	U (140, 40, 10) = 0,4139.

Итак, наиболее благоприятное место работы — это третье предприятие.

4.3Задачи принятия решений на основе бинарных отношений предпочтений

Важным предположением в языке бинарных отношений является независимость предпочтения двух альтернатив от любой третьей [3]. Бинарные отношения могут быть установлены на множестве альтернатив и множестве критериев. И в том и в другом случае для каждой пары сравниваемых объектов x, y X

некоторым образом можно установить, что один из них предпочтительнее другого либо они равноценны или несравнимы.

В общем виде для задания бинарного отношения R на множестве Х необходимо тем или иным способом указать все пары (x, y) множества Х, для которых выполнено отношение R.

Существует четыре способа задания отношений: 1) непосредственное перечисление пар,

77

2)матричный,

3)графовый,

4)сечением.

Рассмотрим пример отношений в студенческой группе, состоящей из трех человек. На множестве X = (x1, x2 , x3 ) студентов зададим отношение R — «учится лучше». Пусть первым способом задано отношение R следующим образом: x1Rx2; x1Rx3.

Тогда можно составить матрицу А отношений R, состоящую из нулей и единиц, в которой

			1, åñëè x Rx			j
	aij	(R) =		i
				â ï ðî òèâí î ì			случае (xi Rx j ).
			0,
				x1			x2	x3
		x1		0			1	1
		x2		0			0	0
		x3		0			0	0

Граф отношений, в котором стрелки направлены в сторону менее предпочтительного студента, показан на рис. 4.5.

x1

x3

x2

Рис. 4.5 — Графовый способ задания отношений

Сечения задаются по каждому элементу множества Х. Различают верхнее сечение R+ (x) и нижнее — R−(x). Верхним

сечением для х называется множество элементов из Х, предпочтительных относительно рассматриваемого х. Нижним сечением для х называется множество элементов из Х менее предпочтительных х.

78

R+ (x1) = {Ø — пустое множество};

R+ (x ) ={x }; R+ (x ) ={x };
2	1		3	1
R−(x ) ={x , x },			R−(x ) = {Ø};		R−(x ) ={Ø}.
1	2	3		2	3

В приведенном примере отношения R заданы не на всем множестве Х. Если не все элементы сравнимы по отношению R, то оно называется неполным (несовершенным, нелинейным, частичным). На всем множестве объектов Х могут быть уста-

новлены отношения эквивалентности, строгого порядка и нестрогого порядка. В [3, 4, 6] даны определения данных отношений. Напомним, что отношение эквивалентности содержательно интерпретируется как взаимозаменяемость, одинаковость объектов. Часто отождествляют понятия эквивалентности, равноценности и несравнимости. Отношение эквивалентности порождает разбиение множества объектов на классы, объединяющие неразличимые объекты по одному либо группе критериев. В приведенном примере x2 и x3 находятся в отношении

эквивалентности x2 ~ x3 .

Отношение строгого порядка может интерпретироваться как предпочтительность одного объекта по сравнению с другим, например «лучше», «важнее», «старше» и т.д. В приведенном примере x1 учится лучше x2 и x3 , x1 f x2 и x1 f x3 . Отношение строгого порядка порождает строгое упорядочение по предпочтительности. Если бы добавили, например, отношение x3 f x2 , то получили бы строгий порядок x1 f x3 f x2 .

В случае строгого упорядочения объектов по предпочтительности П. Фишберном [22] доказана теорема, что можно построить функцию полезности U (x) , такую, что для

xi f x j U (xi ) >U (x j ). Определение функции U (x) позволяет

перейти от языка бинарных отношений к критериальному языку, взяв U (x) в качестве критериальной функции.

Отношение нестрогого порядка есть объединение отношений строгого порядка и эквивалентности, оно интерпретируется как предпочтительность либо эквивалентность xi ≥ x j объектов

79

( xi не хуже x j ). Отношение полного нестрогого порядка поро-

ждает строгое упорядочение классов эквивалентности объектов. Если добавим отношения x2 ≥ x3 и x3 ≥ x2 , получим порядок

x1 f (x2 x3 ).

Альтернатива в ЗПР может быть представлена описанием в критериальном пространстве. Через критериальное пространство на множестве альтернатив можно установить бинарные отношения.

Обозначим:

x = (x1, x2 , ..., xm ) — вектор оценок альтернативы х; y = ( y1, y2 , ..., ym ) — вектор оценок альтернативы y.

Введем на альтернативах x и y отношения строгого предпочтения (отношение Парето), равноценности и несравнимости для равнозначных критериев.

Отношение Парето Р

Объекты х и y находятся в отношении Парето Р (строгого

предпочтения), если для всех критериев оценки	xi ≥ yi , i =			1,m
и хотя бы по одному критерию j оценка x j > y j ,	j =		.
		1,m

xPy {(xi ≥ yi , i =1,m) ( j , x j > y j , j =1,m)}.

Пример

Установить отношения Парето для x, y, z, если х = (5,5,5,5); у = (5,4,5,5); z = (5,5,5,4). Сравнивая попарно критерии для всех альтернатив, получим

xPy; xPz; yPz; zPy.

Отношение равноценности I

Объекты х и у находятся в отношении равноценности I, если для всех критериев оценки xi = yi , i =1,m.

x I y {xi = yi , i =1,m}.

80

Отношение несравнимости N

Объекты х и y находятся в отношении несравнимости N, если хотя бы по одному критерию i оценка xi > yi и найдется дру-

гой критерий j, для которого оценка x j < y j .

xNy {( i, xi > yi , i =1,m) ( j , x j < y j , j =1,m)}.

Отношение Парето на всем множестве альтернатив позволяет установить множество предпочтительных (недоминируемых) альтернатив, верхнее сечение которых пусто. Данное множество называют множеством Парето, внутри него выполняются отношения несравнимости. При необходимости же выбора из множества Парето более предпочтительных следует привлекать дополнительные соображения: вводить новые отношения (например, мажоритарное, лексиграфическое и др. [42]), новые критерии и ограничения, привлекать экспертов либо бросать жребий.

Выбор альтернатив в целом целесообразно производить в два этапа: определение множества Парето, затем определение подмножества более предпочтительных альтернатив из множества Парето.

Ниже рассмотрим некоторые из отношений, которые позволяют «сузить» множество Парето.

Мажоритарное отношение Pì

Идейная основа мажоритарного отношения — это принцип выбора лучшего решения на основе голосования. Предполагается, что критерии равнозначны и утверждение «x предпочтительней y» выполняется тогда и только тогда, когда x превосходит y

по большему числу оценок, чем y превосходит x. Формально Pì определяется:

m

xPyì ∑σixy > 0, i=1

1, åñëè xi − yi > 0;

где σixy = 0, åñëè xi − yi = 0;

−1, åñëè xi − yi < 0.