Основы механики твердого деформируемого тела

Глава 8	111
новения листов, возникнут касательные напряжения
τ = 4P/nπd2,	(8.9a)

где n – число заклепок в соединении.

Формулы (8.9) и (8.9a) применяются для вычисления касательных напряжений, равномерно распределенных по сечению. В более сложных случаях, например, при кручении массивных стержней, касательные напряжения вычисляются сложнее. Но здесь важно не то, как могут быть найдены касательные напряжения, а сам факт, что и при чистом сдвиге, и при чистом кручении в поперечных сечениях элементов нет никаких напряжений, кроме касательных. В таких случаях при оценке прочности удобнее пользоваться условием вида

max τ ≤ [τ ],

(8.10)

нежели переходить от площадок, находящихся в плоскости поперечного сечения, к главным площадкам, а затем уже применять ту или иную теорию прочности. Однако для того, чтобы воспользоваться формулой (8.10), надо знать допускаемые касательные напряжения. Как уже говорилось в п. 6.2, реализовать чистый сдвиг в эксперименте можно не для всех материалов, а потому не для всех из них удается установить величину [τ ] из опыта. Вот тут-то и могут помочь теории прочности.

На рис. 8.7 показан круг Мора для деформации чистого сдвига: площадке, на которой действуют только касательные напряжения, отвечает точка A окружности Мора. Следовательно,

σ1 = τ, σ3 = −τ (σ2 = 0),

(8.11)

и если воспользоваться теорией прочности Мора (см. формулу (8.8)), получится, что

(1 + k)τ ≤ [σ]+.

При переходе в этой формуле к равенству надо положить τ = [τ ], а тогда

[τ ] = [σ]+/(1 + k).

Для пластических материалов k = 1 и потому

[τ ] = 0, 5[σ].

(8.12)

Такой же результат дает и третья теория прочности. Согласно же энергетической теории (см. формулы (8.6) и (8.11)),

[τ ] = √			(8.13)
	3[σ]/3 ≈ 0, 6[σ].

112

Часть I

Разница между допускаемыми напряжениями (8.12) и (8.13) составляет примерно 20%. Это не так уж и мало, поэтому любопытно выяснить, какой из двух результатов ближе к истине. Оказывается, второй. Для обоснования такого ответа здесь достаточно сослаться на эксперименты, но не лишне вспомнить и о том, что в условии (8.6) представлены все три главных напряжения, тогда как и третья теория прочности, и теория Мора обходится без напряжения σ2.

Таким образом, теории прочности помогли решить вопрос о допускаемых касательных напряжениях, т. е. справиться с проблемой, относящейся, вообще говоря, к области экспериментов. Что же касается примеров использования теорий прочности при расчете силовых конструкций, то такие примеры приводятся в специальных разделах курса, посвященных изучению частных видов деформирования тел.

И последнее. Напряжения (8.11) приводят к следующим значениям для главных деформаций (см. вывод формулы (8.4)):

	1		1
ε1 =			(τ + ντ ), ε2 = 0, ε3 = −		(τ + ντ ).
	E			E

Но тогда

ε0 = ε1 + ε2 + ε3 = 0.

Следовательно, при чистом сдвиге объем тела не меняется.

КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ

К предисловию

Пособие дает начальное представление о тех разделах механики деформируемого твердого тела, которые в нем рассматриваются, но для более глубокого изучения предмета необходимо обращаться и к другим литературным источникам. Прежде всего, всегда полезно сопоставить различные точки зрения на одну и ту же область знаний. Во-вторых, зачастую иначе построенная фраза или иначе выполненный рисунок, встретившиеся в новом учебнике, статье, монографии, делают ясным то, что раньше не поддавалось пониманию.

В конце книги приводится список литературы из 47 наименований. Вошедшие в него публикации имеют самое прямое отношение к изложенным в пособии разделам механики. Но полностью курс представлен лишь в монографиях Ю. Н. Работнова [22] и А. П.Филина [40–42]. С первой из них имеет смысл познакомиться хотя бы для того, чтобы всего в одном томе – правда, насчитывающем 744 страницы, – увидеть собрание практически всех разделов классической механики деформируемого твердого тела. В указанный список не попали многие, в том числе и очень хорошие, учебники и учебные пособия. Но в каждой из представленных в списке книг имеются многочисленные ссылки на самые разнообразные литературные источники, что в значительной степени компенсирует этот пробел.

К главе 1

Здесь говорится о целях и задачах курса, вводятся основные понятия и определения, классифицируются нагрузки. Любой учебник по сопротивлению материалов начинается с освещения именно этих вопросов. Компактно и четко изложены они в книгах В. А. Гастева [6, с. 11–24], В. И. Феодосьева [39, с. 9–24], Ю. Н. Работнова [22, с. 11–35]. В монографии А. П. Филина [40, с. 11–26, 39–76] вводной части отводится гораздо больше места, причем информативность текста повышается благодаря значительному числу хорошо подобранных и выполненных иллюстраций. Кроме того, здесь следует обратить внимание на примеры построения эпюр усилий в простейших стержневых конструкциях (с. 59–81), которые в известной мере дополняют примеры настоящего пособия. Об эпюрах усилий говорится и во всех учебниках по сопротивлению материалов (см., например, книги В. А. Гастева [6, с. 155–161] и И. Г. Терегулова [34, с. 35–49]).

114

Часть I

К главе 2

Глава посвящена напряженному состоянию в точке тела. Этот вопрос обычно изучается в курсах теории упругости и пластичности или в общих курсах механики деформируемых сред. Рассмотрен он, в частности, и в учебнике О. И. Теребушко [33, с. 13–31], и в книге [40, с. 381–429]. Грань между теорией упругости и сопротивлением материалов провести сложно, а потому нет ничего удивительного в том, что о распределении напряжений в окрестности точки тела идет речь и в книгах [6, с. 90–109; 45, с. 111–119].

Кглаве 3

Вглаве классифицируются модели конструкций, говорится о типах простейших деформаций стержней, изучаются напряжения в брусе, испытывающем осевое растяжение или сжатие. Важное место отводится гипотезе плоских сечений и принципу Сен-Венана. Гораздо более подробно этот материал освещается А. П. Филиным [40, с. 26–39, 91–106]. Многочисленные рисунки дополняют текст и облегчают его восприятие. Особое внимание следует обратить на то, как в книге А. П. Филина [40, с. 647–653] комментируется принцип Сен-Венана. О концентрации напряжений при осевой деформации бруса, хрупком и пластическом разрушении материала, выборе коэффициента запаса ясно, и в то же время довольно кратко, сказано в курсе В. А. Гастева [6, с. 66–75].

Кглаве 4

Об экспериментах в механике деформируемого твердого тела можно рассказывать много. И хотя глава 4 самая большая в данном разделе пособия, многие вопросы из указанной области не были даже затронуты (гистерезисные явления, испытания при низких и высоких температурах, динамические испытания и др.). Вот почему эта глава, как никакие другие, требует обращения к дополнительной литературе. В первую очередь здесь можно назвать учебник [36, с. 326–370, 391–441, 444–469], автор которого С. П. Тимошенко – один из крупнейших специалистов по механике материалов, прекрасно знающий и ее экспериментальную часть. Подробно, с привлечением большого числа фотографий, графиков, таблиц говорится об испытаниях материалов, их свойствах, механизмах разрушения в книге [40, с. 107–125, 221–262, 266–295, 298–318, 327–380]. Здесь же [40, с. 511–519] можно найти и описание простейших реологических моделей сред. Тем же, кто заинтересуется методологией проведения экспериментов, используемыми в опытах приборами, датчиками и испытательными машинами, можно порекомендовать курс В. И. Феодосьева [39, с. 505–532]. Есть в этом курсе и сравнительно короткий рассказ о механизме разрушения металлов, связанном с движением дислокаций [39, с. 48–76].

Комментарии к литературным источникам

115

Ссылки на литературные источники, в которых описываются компьютерные технологии проведения экспериментов и обработки их результатов, здесь отсутствуют не по недосмотру. Предметом механики твердого деформируемого тела является, в первую очередь, изучение явления, поведения материалов при различных воздействиях на конструкцию, а не перевод этого явления сначала с физического языка на двоичный, а затем с двоичного на физический.

Кглаве 5

Вэтой главе исследуются относительные удлинения и сдвиги в окрестности точки тела. При помощи учебников [33, с. 31–38; 45, с. 120–126], монографии [40, с. 453–479] и других книг из списка можно убедиться в том, что подходы к изложению линейной теории деформаций у разных авторов принципиально не отличаются друг от друга, но степень детализации предмета исследования различна. Наиболее обстоятельно данный вопрос рассмотрен

вкниге [40].

Кглаве 6

Глава посвящена связи между напряжениями и деформациями в линей- но-упругой среде. Расширить свое представление об этой связи можно с помощью книги А. П. Филина [40, с. 493–510]. В курсах [33, с. 38–43 и 34, с. 143–152], написанных О. И. Теребушко и И. Г. Терегуловым, материал изложен более сжато.

К главе 7

Дополнительные сведения о методах решения задач теории упругости можно почерпнуть как из учебника О. И. Теребушко [33, с. 51–64], так и из монографий Л. А. Розина [25] и А. П. Филина [40, с. 609–626].

К главе 8

Теории прочности занимают особое место в механике деформируемого твердого тела. Большое число книг и статей специально посвящено этой проблеме. В их число входят и такие известные издания, как монография И. И. Гольденблата и В. А. Копнова [7] и книга Л. М. Качанова [11], в которых проанализированы практически все теории прочности, используемые в инженерном деле. Весьма обстоятельно обсуждаются теории предельного состояния материалов и в монографии А. П. Филина [40, с. 502–604]. Несколько слов об учебной литературе. Довольно компактно теории прочности изложены в учебниках В. А. Гастева [6, с. 117–135], В. И. Феодосьева [39, с. 259–274], С. П. Тимошенко [36, с. 370–391], И. Г. Терегулова [34, с. 161–172].

ЧАСТЬ II. ДЕФОРМАЦИИ РАСТЯЖЕНИЯ-СЖАТИЯ, ИЗГИБА И КРУЧЕНИЯ

В первой части курса были получены все соотношения, необходимые для исследования напряженно-деформированного состояния несущих конструкций и их элементов. Это состояние, как правило, является сложным. Удобства ради его можно представить в виде суперпозиции простейших типов деформаций: растяжения-сжатия, сдвига, изгиба и кручения. Начальные сведения о первых двух типах деформирования были даны в главах I.3 и I.8. Но если рассказ о чистом сдвиге в продолжении не нуждается, то тему "осевая деформация" считать исчерпанной нельзя. Вне поля зрения остались, например, анализ напряженно-деформированного состояния брусьев переменного сечения, брусьев, загруженных не только торцевыми, но и объемными силами, а также таких специфических конструкций, как гибкие нити. Эти и некоторые другие задачи осевой деформации стержней будут рассмотрены ниже. Кроме того, в этой части курса будут изучаться изгиб и кручение, анализироваться сложные напряженные состояния, в которых сочетаются те или иные простейшие виды деформаций, исследоваться энергетические свойства упругих тел. В итоге читатель сможет получить достаточно полное представление о деформировании различных типов брусьев, испытывающих разнообразные внешние воздействия.

ГЛАВА 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОСЕВОЙ ДЕФОРМАЦИИ

1.1. Стержни переменного сечения. На рис. 1.1 изображены брусья, поперечные сечения которых в разных местах имеют разные размеры, а иногда и разную форму. Такие конструкции называют брусьями (или стержнями)

переменного сечения. К ним, в частности, относятся и ступенчатые стержни

(рис. 1.1a), состоящие из нескольких участков постоянного сечения. Пусть оси элементов ступенчатого стержня вытянуты в одну линию. Тогда продольная сила во всех поперечных сечениях будет одинаковой (N = P ) и для вычисления напряжений используется формула:

σi = P/Fi,

где Fi – площадь сечения бруса на участке с номером i. Эта формула не пригодна для зон местных деформаций, к каковым теперь относятся и области сопряжения разных участков стержня.

Глава 1

117

Полное удлинение n-ступенчатого стержня определяется по формуле, вытекающей из принципа наложения и закона Гука:

n

∆l = (P li/EFi).

i=1

Сложнее решается вопрос о напряженнодеформированном состоянии бруса, поперечное сечение которого меняется непрерывно (см. рис. 1.1b). Здесь нет оснований считать,

что нормальные напряжения равномерно распределяются по поперечному сечению и что для их вычисления может быть использовано равенство

σx = N/F (x).

(1.1)

На рис. 1.2 изображен брус прямоугольного поперечного сечения с постоянной шириной b и высотой h, линейно меняющейся вдоль его (бруса) оси. Можно считать, что брус состоит из волокон, которые при своем продолжении пересекают ось 0z, перпендикулярную плоскости чертежа. После приложения силы P стержень деформируется и точка 0 займет положение 0 . Именно в точке 0 будут теперь пересекаться продолженные волокна бруса, так что удлинение ∆r произвольного волокна оказывается связанным с удлинением ∆0 центрального волокна зависимостью ∆r = ∆0 cos θ.

Если пренебречь разницей в длинах волокон стержня, находящихся ниже цилиндрического разреза 1–1, т. е. положить lr = l0 = l, то после деления обеих частей формулы для удлинения ∆r на число l получится соотношение

εr = ε0 cos θ,

в котором через εr и ε0 обозначены относительные удлинения произвольного и центрального волокон бруса. Этим деформациям по закону Гука σ = Eε отвечают напряжения σr и σ0. Значит,

σr = σ0 cos θ,

(1.2)

т. е. нормальные напряжения распределяются по сечению 1–1, ортогональному к волокнам стержня, неравномерно. На оси стержня они максимальны, в

118

Часть II

крайних волокнах – минимальны. Из условия Px = 0 равновесия нижней отсеченной части бруса следует

α

2b · σr ds · cos θ − P = 0.

0

Так как ds = rdθ, то после подстановки сюда напряжений (1.2) и интегрирования получится:

2P

σ0 = br(2α + sin 2α) .

Эти напряжения можно сравнить с напряжениями (1.1). Площадь сечения, ортогонального оси 0x и расположенного на расстоянии r от начала координат, равна величине F (x) = 2br · tg α и потому

σx =	N	=	P	,	σ0	=	4tg α	.
	F (x)		2br · tg α
					σx		2α + sin 2α

Вот результаты ряда вычислений по последней формуле:

	α	5o	10o	15o	20o
	σ0/σx	1,00512	1,0206	1,0471	1,0857

Вряд ли следует ожидать, что для стержней более сложного профиля разница между напряжениями σ0 и σx окажется менее заметной. Поэтому пользоваться зависимостью (1.1) при углах наклона касательной к контуру профиля стержня, превышающих 12o ÷ 15o, нельзя. Если же α ≤ 12o ÷ 15o, то напряжения и деформации в брусьях переменного сечения можно находить при помощи зависимостей, относящихся к призматическим брусьям. Например, чтобы определить удлинение ∆l стержня переменного сечения при α ≤ 15o, можно записать закон Гука для малого участка стержня длиною dx:

N d(∆l) = EF (x) dx,

а затем перейти к интегралу

	l
∆l =		N	dx.	(1.3)
		EF
0

В случае однородного материала и постоянной продольной силы числа E и N выносятся за знак интеграла.

Глава 1

119

1.2. Учет собственного веса. Пусть на закрепленный с одной стороны стержень постоянного сечения действует только его собственный вес. При такой нагрузке в произвольном поперечном сечении стержня возникнет продольная сила (см. рис. 1.3 при P = 0):

N (x) = γF x,
где γ – объемный вес материала. Следовательно,
σx = N/F = γx,
т. е. напряжения, вызванные собственным весом бруса, не
зависят от площади поперечного сечения. Наибольших зна-
чений эти напряжения достигают при x = l:
max σx = γl.
Значит, у стержня существует предельная длина
lпр = [σ]/γ,	(1.4)

при превышении которой брус разрушится от своего веса.

Величина lпр зависит от материала стержня. Например, для мягкой стали ([σ] = 1600 кГ/см2, γ = 7, 8 · 10−3 кГ/см−3)

lпр = 2, 05 · 105 см = 2, 05 км.

В рядовых конструкциях обычно используются стержни длиною не более нескольких метров и напряжения от собственного веса в них малы. Собственный вес брусьев в таких случаях или вовсе не учитывается, или добавляется к поверхностным нагрузкам. Но при расчетах на прочность тросов шахтных подъемников, заводских труб, телевизионных башен, некоторых других конструкций так поступать нельзя. В этих случаях в формуле

max σx = P/F + γl

(1.5)

для опасных напряжений (P – заданная нагрузка) второе слагаемое имеет тот же порядок, что и первое, а часто и превышает его. Такие конструкции невыгодно выполнять в форме призматических брусьев, ибо их материал используется нерационально. Более целесообразно применять ступенчатые стержни или даже стержни с плавно меняющимся профилем. В этой связи интерес представляет задача об отыскании профиля бруса, загруженного силой P и собственным весом, при котором нормальные напряжения во всех поперечных сечениях будут одинаковыми. Такой стержень называют брусом равного сопротивления растяжению-сжатию.

Из рис. 1.4 видно, что в стержне переменного сечения

x
N (x) = P + γ	F (ξ)dξ,	(1.6)

0

120							Часть II
а потому					x
		1
σ(x) =				P + γ		F (ξ)dξ .	(1.6a)
	F (x)
					0
При σ(x) = [σ] (напряжения во всех сечениях равны до-
пускаемым) отсюда следует:
		1			x
F (x) =				P	+ γ	F (ξ)dξ .
		[σ]
					0

Избавиться от интеграла можно при помощи операции дифференцирования

по абсциссе x:

dFdx = [σγ] F (x).

В получившемся дифференциальном уравнении переменные разделяются – dF/F = (γ/[σ]) dx, после чего его решение становится очевидным:

ln F = [σγ] x + ln C

или (см. формулу (1.4))

ln(F/C) = x/lпр.

Отношение x/lпр, имеющее смысл безразмерной абсциссы сечения, удобно обозначить одним символом, например, буквой t. Тогда

F = Cet, t = x/lпр.

(1.7)

Таким образом, площадь поперечного сечения бруса равного сопротивления растяжению-сжатию меняется вдоль оси 0x по закону показательной функции. При x = t = 0 из формулы (1.7) следует C = F (0), т. е. постоянная C равна площади поперечного сечения бруса в его начале. После обозначения F (0) = F0 формула (1.7) примет вид:

F = F0et, t = x/lпр.

(1.7a)

Очевидно, F0 = P/[σ].

Пусть стержень имеет круглое поперечное сечение с радиусами r и r0 в произвольном и начальном сечениях. Как вытекает из равенства (1.7a), эти

величины связаны между собой соотношением
r = r0et/2.	(1.8)