Основы механики твердого деформируемого тела

Глава 7

101

Остается найти перемещения из дифференциальных уравнений (5.7). При их интегрировании появятся дополнительные функции, которые можно установить по граничным условиям задачи. Но если тело закреплено недостаточно, то упомянутые выше дополнительные функции – или все, или некоторые из них – останутся неопределенными. Это означает, что решение задачи о напряженно-дефор- мированном состоянии линейно-упругого тела может быть получено лишь с точностью до жесткого смещения. Рис. 7.1 иллюстрирует сказанное. И напряжения, и деформации в обоих изображенных на этом рисунке стержнях одинаковы, а вот положения брусьев в пространстве могут как угодно отличаться друг от друга.

ГЛАВА 8. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

8.1. О предельном состоянии в точке тела. В конце первой главы было сказано, что для оценки прочности тела необходимо, во-первых, знать напряжения и деформации в любой его точке, во-вторых, обладать экспериментальными данными о прочностных свойствах материала и, в-третьих, иметь представление о механизме разрушения каждого конкретного материала в условиях любого напряженного состояния. Чтобы понять суть проблемы, надо вспомнить о том, как решался вопрос о прочности стержня при осевой деформации. Последнюю легко реализовать в эксперименте, а потому достаточно было обнаружить, что по характеру разрушения материалы делятся на пластические и хрупкие и что предельное состояние первых характеризуется пределом текучести, а вторых – временным сопротивлением. А так как в поперечных сечениях стержня при осевой нагрузке возникают только нормальные напряжения σx, то оценка прочности сводится к сопоставлению значения σx с величиною σт либо σв (с привлечением коэффициента запаса, разумеется).

Но прочность материала тела далеко не всегда определяется наибольшими по модулю нормальными напряжениями. На рис. 8.1a изображена уже знакомая по главе 4 картина разрушения сжатой бетонной призмы. Продольные трещины свидетельствуют о том, что материал вышел из строя в результате возникновения поперечных растягивающих деформаций. Однако напряженное состояние в любой точке тела (трение между торцами образца и плитами пресса исключено) будет осевым:

σ1 = σ2 = 0, σ3 = −P/F

(F – площадь сечения призмы). Если же образец подвергнуть дополнительному равномерному давлению по боковым граням, такому, что

q < |P |/F,

то возникнет трехмерное напряженное состояние (рис. 8.1b):

σ	= σ	=	−	q,	σ	=	−	P/F,
1	2				3

Глава 8

103

и хотя |σ1| > σ1, |σ2| > σ2, σ3 = σ3, именно во втором случае материал находится в более благоприятном положении, ибо нагрузка q препятствует

возникновению продольных трещин.

Так как же оценивать прочность тела при сложном напряженном состоянии? Ответить на этот вопрос, опираясь только на эксперименты, трудно. Дело в том – и это наглядно продемонстрировал последний пример, – что быть или не быть разрушению, "решают" все три главных напряжения, а различных комбинаций величин σ1, σ2, σ3 может быть сколь угодно много. Далеко не всегда заранее ясно, какие именно комбинации инвариант тензора Tн наиболее опасны. (О том же, что главные напряжения, так же, как и величины I1, I2, I3, – суть инварианты тензора напряжений, говорилось еще в самом начале п. 2.5.) Бесконечное число испытаний не провести, кроме того, многие напряженные состояния практически невозможно реализовать в эксперименте. Стало быть, надо искать теоретическое решение проблемы, т. е. предложить некую умозрительную модель разрушения материала, а затем убедиться в ее пригодности при помощи косвенных экспериментов (испытаний элементов конструкций, запроектированных на основе предполагаемой модели разрушения материала).

Необратимые нарушения структуры материала могут произойти в точке тела при самых различных сочетаниях напряжений σ1, σ2, σ3. Все состояния, при которых может произойти разрушение, называют равноопасными. Среди равноопасных состояний содержится набор напряжений σ1 > 0, σ2 = σ3 = 0, при котором материал разрушается от растяжения. Это наводит на мысль о возможности сопоставления произвольного напряженного состояния, характеризуемого некоторым набором главных напряжений σ1, σ2, σ3, с состоянием чистого растяжения. Такое сопоставление выполняется при помощи функции

σэкв = F (σ1, σ2, σ3),

(8.1)

называемой эквивалентным напряжением. Эта функция тем или иным способом конструируется по напряжениям σ1, σ2, σ3, возникающим в рассматриваемой точке тела при заданном внешнем воздействии. Процесс такого конструирования совсем не прост. Практически любой гипотезе о тех явлениях, которые приводят к необратимым нарушениям структуры материала, найдется альтернатива. Кроме того, не надо забывать, что предельное состояние у хрупких и пластических материалов разное, т. е. различны механизмы их (материалов) выхода из строя. Потому-то и существует множество постулатов о том, что ведет к разрушению материала в точке тела. Такие постулаты (гипотезы) называют локальными теориями прочности. Многие из них прошли испытание временем, другие не получили экспериментального подтверждения и были отброшены. О всех теориях прочности здесь не

104 Часть I

рассказать, да в этом и нет необходимости. Получить достаточно ясное представление о сути дела можно и по тем пяти гипотезам, которые излагаются в п. 8.2–8.6.

После того, как функция (8.1) построена, все делается просто. Достаточно, отталкиваясь от понятия равноопасности двух состояний в точке тела, сравнить напряжения σэкв с некоторым эталонным предельным напряжением

σр в этой же точке:
σэкв = σр.	(8.2)

В качестве σр естественно принять предельное напряжение материала при осевом растяжении, поскольку для этой деформации имеются надежные экспериментальные данные. Оценка прочности растягиваемого элемента выполняется по формуле

σр ≤ [σ]+,

так что (см. равенство (8.2)) в случае произвольного напряженного состояния условие прочности имеет вид

σэкв ≤ [σ]+.

(8.3)

Таким образом, дело за построением функции (8.1), т. е. за теориями прочности. О них и пойдет теперь речь.

8.2. Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности). Эту теорию прочности предложил еще в середине 17 века Галилей. Наблюдая разрушение хрупких тел (сам Галилей материалы на хрупкие и пластичные не делил), он решил, что разрушение материала вызывают большие растягивающие напряжения. В современной редакции гипотеза Галилея звучит так: хрупкое разрушение в данной точке тела наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение в этой точке является растягивающим и достигает опасной для рассматриваемого материала величины.

Условие (8.2) имеет вид: σэкв = σ1, причем σ1 > 0. Поэтому, согласно гипотезе Галилея, любое тело из данного материала, в котором действуют такие же напряжения σ1, что и в растянутом стержне, имеет одинаковую с ним прочность. Эксперименты этого не подтверждают. Есть и другие расхождения с опытами. Например, по теории Галилея никогда не разрушится сжатый образец из хрупкого материала. Сказанного достаточно, чтобы объяснить причину, по которой в настоящее время теорией Галилея не пользуются. Она интересна лишь тем, что была первой.

8.3. Теория наибольших растягивающих деформаций (вторая теория прочности). Предложена во второй половине 17 века Мариоттом с

Глава 8

105

целью оценить предельное состояние хрупких материалов. Согласно предположению Мариотта, хрупкое разрушение в данной точке тела наступает тогда, когда наибольшее относительное удлинение в ее окрестности, являясь растягивающим, достигает опасной для рассматриваемого материала величины.

Хрупкие тела следуют закону Гука вплоть до разрушения, а поэтому до тех пор, пока тело воспринимает нагрузку, наибольшее удлинение ε1 можно находить по формуле (6.6)1

1
ε1 =		[σ1 − ν(σ2 + σ3)].
	E
При одноосном растяжении ε1 = σр/E, так что
σэкв = σ1 − ν(σ2 + σ3).
Условие (8.3) принимает вид
σ1 − ν(σ2 + σ3) ≤ [σ]+.			(8.4)
Здесь необходимо следить за соблюдением условия

σ1 − ν(σ2 + σ3) > 0,

означающим, что деформация ε1 остается растягивающей.

Эта теория прочности выгодно отличается от первой хотя бы тем, что не противоречит известному факту о возможности разрушения хрупких тел при осевом сжатии. Действительно, при чистом сжатии

σ1 = σ2 = 0, σ3 = −P/F,

и если (см. формулу (8.4))

ν PF ≥ [σ]+,

то прочность материала будет исчерпана. Но можно считать, что при осевом сжатии прочность исчерпывается тогда, когда

P/F ≥ [σ]−.

Из сопоставления двух этих неравенств следует

ν[σ]− = [σ]+.

Данный результат качественно согласуется с известными опытными данными о более высокой прочности хрупких материалов при сжатии, нежели при растяжении. Но в то же время в экспериментальной зависимости

k[σ]− = [σ]+

106

Часть I

величина k в 2–3 раза меньше коэффициента Пуассона ν, что говорит о некотором несовершенстве 2-й теории прочности в количественном отношении. Тем не менее эта теория успешно используется в инженерных расчетах.

8.4. Теория максимальных касательных напряжений (третья теория прочности). Данная теория была выдвинута во второй половине прошлого века французским исследователем Треска для оценки предельного состояния пластического материала. Изучая необратимые деформации металлов, он сделал предположение о том, что разрушение в точке тела наступает тогда, когда максимальные касательные напряжения в данной точке достигают предельной для рассматриваемого пластического материала величины.

Поскольку (см. п. 2.6)

τmax = (σ1 − σ3)/2,

а при осевом растяжении τmax = σ1/2, то σэкв = σ1 −σ3 и условие прочности

(8.3) имеет вид
σ1 − σ3 ≤ [σ].	(8.5)

Здесь уже учтено, что допускаемые напряжения на растяжение и сжатие у пластических материалов одинаковы.

Третья теория прочности удовлетворительно согласуется с экспериментами. Например, при σ1 = σ2 = σ3 напряжение σэкв обратится в нуль, что свидетельствует о невозможности разрушения пластического материала при всестороннем растяжении или сжатии. Об этом говорят и соответствующие опыты.

8.5. Энергетическая теория (четвертая теория прочности). Эта теория предложена в 1904 г. польским механиком Губером. Как уже неоднократно отмечалось, разрушение пластических тел сопровождается заметными необратимыми деформациями, приводящими к изменению формы этих тел. Изменение же формы тела сопровождается увеличением энергии Wф, тем большим,´ чем дальше зашел процесс деформирования. Губер предположил, что пластическое разрушение в точке тела объясняется достижением удельной потенциальной энергией изменения формы предельного для данного материала значения. В соответствии с формулой (6.10)

1

Wф = 12G [(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2].

При осевой деформации σ1 = σр, σ2 = σ3 = 0 и Wф = 2σр2/12G. Значит,

σэкв2 = 0, 5[(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2]

Глава 8			107
и условие прочности (8.3) приобретает вид
		≤ [σ].
	0, 5[(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2]		(8.6)

Энергетическая теория прочности имеет то достоинство, что учитывает влияние на предельное состояние всех трех главных напряжений. Она широко применяется в инженерных расчетах.

8.6. Теория прочности Мора. Отто Мор – крупнейший немецкий инженер, исследователь и педагог, внесший существенный вклад в развитие механики твердого деформируемого тела. К одному из многих его результатов относятся и так называемые круги Мора, дающие наглядное представление о напряженном состоянии в точке тела.

Пусть при исследовании плоского напряженного состояния используются главные оси 1 и 2. Пусть, далее, нормаль ν к некоторой площадке, связанной с рассматриваемой точкой тела, наклонена к оси 1 под углом α, т. е. lν = = cos α, mν = sin α. Нормальные σν и касательные τν напряжения на этой площадке могут быть найдены по формулам (2.9) и (2.15), в которых, вопервых, надо перейти к главным осям и, во-вторых, положить σ3 = 0:

	σν = σ1 cos 2α + σ2 sin 2α, τν =	σ1 − σ2	sin 2α.	(8.7)
		2

Именно формулы (8.7) Мор и интерпретировал геометрически. Для этого на оси абсцисс плоскости (σ, τ ) надо отложить точки A(σ2, 0), B(σ1, 0) и провести окружность с центром C, находящимся в середине отрезка AB. Затем радиус CB, равный величине (σ1 − σ2)/2, поворачивается против часовой стрелки на угол 2α, в результате чего точка B переходит в положение D. Координаты точки D равны напряжениям (8.7), в чем можно убедиться при помощи рис. 8.2a. Построенную таким образом фигуру называют кругом Мора. Круг Мора симметричен относительно оси абсцисс, а потому зачастую изображается только его верхняя часть.

Объемное напряженное состояние характеризуют три круга Мора, один из которых называют большим (отмечен № 1 на рис. 8.2b), а два осталь-

108

Часть I

ных – малыми кругами. Любая точка K, принадлежащая затушеванной на рис. 8.2b области между большой и малыми окружностями Мора, отвечает некой площадке, наклоненной ко всем главным осям. Если точка K выходит на границу 1 этой области, то соответствующая площадка имеет нормаль, ортогональную ко 2-й главной оси. Если же нормаль к наклонной площадке ортогональна к первой (третьей) главной оси, то ей соответствует точка, расположенная на третьей (второй) окружности Мора. Из рис. 8.2b видно, что наибольшие по модулю нормальные и касательные напряжения действуют по площадкам, отвечающим точкам большой окружности. Это наводит на мысль связать предельное состояние в точке тела с кругами, построенными для различных сочетаний напряжений σ1 и σ3.

Пусть изучается напряженное состояние в некоторой точке тела при серии поочередно прикладываемых нагрузок. Каждой нагрузке отвечают свои пары чисел σ1, σ3, а значит, – и свой большой круг Мора. С ростом нагрузки он будет трансформироваться, но как только в рассматриваемой точке наступит предельное состояние, соответствующий предельный круг Мора фиксируется и нагрузка снимается. Таким же образом можно построить столько различных предельных кругов Мора, сколько было различных воздействий. При большом числе опытов общая касательная к предельным кругам – так называемая предельная огибающая – будет достаточно точно характеризовать предельное состояние в рассматриваемой точке тела.

Сказанное иллюстрирует рис. 8.3, на котором представлена одна из возможных форм предельной огибающей, характерной для хрупких материалов. Точка C на рис. 8.3 соответствует предельному состоянию при всестороннем растяжении. Сжатию хрупкий материал сопротивляется

лучше, чем растяжению, а потому предельная огибающая кругов Мора – убывающая функция абсциссы σ.

Надо полагать, что после всего сказанного концепция Мора становится ясной. Опасным считается напряженное состояние, при котором отображающая его точка (σν , τν ) оказывается на предельной огибающей. Однако дело осложняется тем, что предельные круги можно получить только экспериментально, а доступных для обстоятельных экспериментов напряженных состояний не так уж и много. Это прежде всего испытания на растяжение и сжатие, некоторые другие опыты. Важно и то, что все круги Мора, отвечающие воспроизводимым в опытах напряженным состояниям, расположены рядом с осью ординат. Другими словами, предельную огибающую приходится строить по сравнительно небольшому числу предельных кругов, да еще находящихся в непосредственной близости друг к другу.

Глава 8

109

Эти и подобные трудности Мор видел, а потому предложил принять в качестве искомой огибающей прямую, которая касается предельных кругов при осевых растяжении и сжатии. Такая прямая показана на рис. 8.4. Задача состоит в том, чтобы связать напряжения σ1 и σ3 с предельными растягивающими σр и сжимающими σс напряжениями для материала тела. На рисунке изображены пре-

дельные круги Мора при сжатии и растяжении (круги 1 и 2 соответственно), а также круг 3, отвечающий исследуемому состоянию. Все три круга касаются общей прямой, а потому (линии B1B2 и 02A1 параллельны)

03A3	=	0203		или	R3 − R2	=	R2 − 003	.
01A1		0102			R1 − R2
							R1 + R2

Отсюда следует, что

003(R1 − R2) + R3(R1 + R2) = 2R1R2.

Но

R1 = σс/2, R2 = σр/2, R3 = (σ1 − σ3)/2, 003 = (σ1 + σ3)/2,

следовательно (элементарные преобразования опущены),

σ1σс − σ3σр = σсσр или σр = σ1 − (σр/σс) · σ3.

Отношение σр/σс можно положить равным величине [σ]+/[σ]− и обозначить через k:

k = σр/σс = [σ]+/[σ]−.
Тогда σр = σ1 − kσ3 и, согласно формуле (8.2),
σэкв = σ1 − kσ3.
Этой записи отвечает следующее условие прочности:
σ1 − kσ3 ≤ [σ]+.	(8.8)

Для пластического материала k = 1 и условия прочности по теориям Мора и наибольших касательных напряжений совпадают (см. формулы (8.8) и (8.5)). Если же оценивается прочность хрупких материалов, то можно привести как примеры того, что теория Мора более соответствует истине, чем, скажем, теория наибольших относительных удлинений, так и примеры иного рода. В частности, при осевом сжатии теория Мора приводит к соотношению [σ]+ = k[σ]−, что в 2–3 раза точнее полученного в п. 8.3 равенства

110

Часть I

[σ]+ = ν[σ]−. Но для напряженного состояния, изображенного на рис. 8.5, теория Мора дает (σ1 = σ2 = σ; σ3 = 0)

σэкв = σ,

тогда как по второй теории прочности

σэкв = (1 − ν)σ.

Здесь ближе к истине второй результат, ибо равномерное двухосное растяжение образца менее опасно, чем растяжение вдоль одной оси.

Впрочем, тот факт, что из-за неучета влияния величины σ2 на напряженное состояние в точке тела теория Мора может привести к погрешностям, известен давно.

8.7. Деформация чистого сдвига. Выше были рассмотрены пять различных теорий прочности. Две из них предназначены для оценок прочности тел, выполненных из хрупкого материала, две – из пластического материала, а теория Мора в указанном отношении универсальна. Но прежде, чем применять какую-либо из теорий прочности, необходимо во всех опасных точках тела найти компоненты тензора напряжений, а затем – и главные напряжения. Иначе говоря, снова приходится вспоминать о краевой задаче механики твердого деформируемого тела. Необходимые уравнения для ее решения уже имеются – во всяком случае, для среды Гука, – так что дело за вычислениями. Однако вычислительный аспект краевой задачи столь многогранен и сложен, что обсуждать его здесь нет никакой возможности. По этой причине не так-то просто привести выразительные примеры использования теорий прочности. И все же один такой пример имеется. Речь идет о деформации чистого сдвига.

Пусть известны площадь F боковой грани бруса, испытывающего деформацию чистого сдвига (см. рис. 3.6d), и действующая по этой грани сила P . Касательные напряжения τ связаны с величинами F и P равенством

τ = P/F,

(8.9)

вытекающим из условия равномерности распределения касательной нагрузки по поверхности тела. Эта же формула используется и при расчете на срез болтов или заклепок. Пусть, например, силы P растягивают стальные листы, скрепленные заклепками (рис. 8.6). Тогда в тех поперечных сечениях цилиндрических частей заклепок, которые находятся в плоскости соприкос-