Физпрактикум.Оптика

1.5. Центрированные оптические системы

11

При этом условии точки О и О1 (рис. 1.6) можно считать совпадающими. Используя закон преломления, теорему о внешнем угле треугольника и правило знаков, в указанном приближении можно записать:

Ðin = Ðin ; Ði = Ðu + ; Ði = ( u .

Преобразовав данную систему уравнений и учтя, что = h/r, u = h/S и u = h/S , получим важное в геометрической оптике соотноше-

ние, называемое нулевым инвариантом Аббе:

! !

!

!

!

!

(1.8)

" %

&

! "#%

&

#

$

% (

$

%# (

Соотношение (1.8) легко привести к следующему виду:

!!

!

!

!! !

"

(1.9)

#!

#

$

Уравнение (1.9) называется уравнением нулевого луча, а величина Ф = (n ( n)/r (1.10)

называется оптической силой сферической поверхности и измеряется в системе СИ в обратных метрах (диоптриях).

Зная n, n и r, по формуле (1.9) легко рассчитать S для любого заданного S. Соответствующие друг другу точки пространства предмета и пространства изображения называются сопряженными.

Точки оптической оси, сопряженные с точками, бесконечно удаленными в положительном и отрицательном направлениях, называются соответственно первым и вторым фокусом преломляющей поверхности. Расстояния от вершины преломляющей поверхности до фокусов называются фокусными расстояниями.

Выберем в пространстве предмета точку, бесконечно удаленную от преломляющей поверхности в отрицательном направлении. Для нее S = ∞. Изображение этой точки будет во втором фокусе, поэтому

S = f .

Подставляя указанные значения S и S в формулу (1.9), получим второе фокусное расстояние:

		!		!	!
	# ! "	! "	"			. !	(1.11а)
		!! # !		!

12	Тема 1. Геометрическая оптика

!"#. #.-. ;-,-()*") ?-71#-/ #?)&"2)#7-< +-/)&5*-#%"

Аналогично полагая S = ∞ и S = f, из формулы (1.9) получим первое фокусное расстояние:

!"			!
# !		! "		$ !	(1.11б)
	! " !#		!
Из формул (11а, б) следует, что
f/f = Ðn/n ,					(1.12)

т. е. фокусы сферической поверхности всегда располагаются по разные стороны от ее вершины на расстояниях, прямо пропорциональных коэффициентам преломления соответствующих сред. Знаки f и Ф всегда одинаковы, а f и Ф Ð противоположны. При n > n f и Ф > 0,

а при n < n f и Ф < 0 (рис. 1.7).

Из уравнений (1.9) и (1.12) следует соотношение:

	! !	!	!	"#	(1.13)
	$!		$

Эта формула называется формулой отрезков.

Важными характеристиками преломляющей поверхности являются линейное ()) и угловое ( ) увеличения. Определим линейное увеличение как отношение линейных размеров изображения y к линейным размерам объекта y (рис. 1.6):

) = y /y. (1.14)

Таким образом, численное значение ) определяет масштаб изображения, а знак показывает взаимную ориентацию объекта и его изображения относительно оптической оси.

Из закона преломления следует, что n+ = n+ или ny/S = n y /S . Подставляя найденное из этого выражения отношение y /y в формулу

(1.14), получим:

!	!!	#	"	#	(1.15)
	!		"!

1.5. Центрированные оптические системы	13
Отношение
= tg u /tg u & u /u	(1.15а)

называется угловым увеличением. Здесь u ( угол, под которым виден объект y с расстояния S, а u ( угол, под которым тот же объект виден с расстояния S . Так как u = h/S и u = h/S , то

= S/S .

(1.16)

1.5.2. Кардинальные элементы центрированной системы сферических поверхностей

Реальные оптические устройства представляют собой системы преломляющих и отражающих поверхностей. Ход лучей в таких системах сложен.

Оптическая система, свободная от аберраций (искажений), дающая изображение конечной величины при помощи широких пучков, называется идеальной оптической системой. Теория идеальной оптической системы основана на следующих положениях:

1.В пространстве предметов и в пространстве изображений существуют соответственные точки. Каждой точке в пространстве предметов соответствует одна и только одна точка в пространстве изображений.

2.В пространстве предметов и в пространстве изображений существуют соответственные линии. Каждой линии в пространстве предметов соответствует одна и только одна линия в пространстве изображений.

3.Если в пространстве предметов какая-нибудь точка лежит на прямой, то в пространстве изображений соответствующая ей точка также лежит на прямой, соответствующей прямой в пространстве предметов. Такие точки и прямые называются сопряженными.

Как показал впервые Гаусс, изображение, даваемое идеальной

(не дающей искажений и не нарушающей гомоцентричности пучка) системой, можно построить, не рассматривая реального хода лучей, а лишь пользуясь некоторыми воображаемыми точками и плоскостями. Эти особые точки и плоскости, полностью определяющие оптические свойства системы, называются ее кардинальными элементами. Идеальной оптической системой может служить любая центрированная система сферических поверхностей, если ограничиться областью параксиальных лучей.

14	Тема 1. Геометрическая оптика

К кардинальным элементам относятся: а) фокальные точки и плоскости (F, F );

б) главные точки и плоскости (H, H );

в) узловые точки и плоскости (N, N ).

Приоритет элементов для определения знаков отрезков:

"преломляющая поверхность;

"центр кривизны поверхности;

"главные точки и плоскости (Н , Н);

"фокальные точки и плоскости (F , F);

"узловые точки (N , N);

"предмет;

"изображение.

Фокальные точки и плоскости

Вторым (задним) фокусом оптической системы, так же как и в случае одной сферической поверхности, называется точка F (рис. 1.8), в которой сходятся после преломления лучи (или их продолжения), падающие на систему слева параллельно оптической оси.

Понятие первого (переднего) фокуса F системы вводится аналогично (рис. 1.9).

'. :.

!"#. #./. F'4*"< ?-71# -+%"2)#7-< #"#%).= 0"6-:&'()*= %-,87- 7&'<*") +&),-.,G9H") +-/)&5*-#%" #"#%).=.

'.

:.

!"#. #.1. ;)&)4*"< ?-71# -+%"2)#7-< #"#%).=

1.5. Центрированные оптические системы	15

!"#. #.#2. I-7',8*=) %-27" " +,-#7-#%"

Плоскости, проходящие через первый и второй фокусы системы перпендикулярно оптической оси, называются фокальными плоскостями. В разных точках фокальной плоскости сходятся после преломления в системе параллельные пучки, идущие под различными углами к оптической оси (рис. 1.10).

Главные точки и плоскости

Луч 1, проходящий через первый фокус F, после преломления идет параллельно оптической оси (рис. 1.11).

Сопряженные лучи 1 и 1 при продолжении пересекаются в точке Н1. Луч 2, входящий в систему параллельно оптической оси через точку Н1, на выходе проходит через задний фокус F . Сопряженные лучи 2 и 2 при продолжении пересекаются в точке Н1 . Из построения следу-

ет, что точка Н1 и точка Н1 , отстоящие от оптической оси на одина-

ковом расстоянии h, являются сопряженными. Если точка Н1 Ð предмет, то точка Н1 Ð ее изображение.

!"#. #.##. J,'/*=) +,-#7-#%" -+%"2)#7-< #"#%).=

16	Тема 1. Геометрическая оптика

Плоскости НН1 и Н1 Н , перпендикулярные к оптической оси, также являются сопряженными и отображают друг друга прямо в натуральную величину. Плоскость НН1 называется первой главной плоскостью, Н Н1 Ð второй. Точки Н и Н на оптической оси называются главными точками системы. Следовательно, главные плоскости Ð это сопряженные плоскости, имеющие линейное увеличение +1.

Оптическая сила и фокусные расстояния системы

Расстояния от главных плоскостей до соответствующих фокусов называются первым (передним) и вторым (задним) фокусными рас-

стояниями оптической системы:
HF = f; H F = f	(1.17)
Знаки f и f определяются по правилу знаков,	установленному

в геометрической оптике. Если отрезок откладывается от установленного начала отсчета по лучу света, он будет положительным, если против луча Ð отрицательным. На рис. 1.11, например, f < 0, f > 0. Между фокусными расстояниями f и f центрированной оптической системы, образованной сферическими преломляющими поверхностями, выполняется соотношение:

	!	! "	n	$	(1.18)
	! !		n!

где n, n Ð показатели преломления крайних сред, граничащих с системой слева и справа. Если система находится в однородной среде,

т. е. n = n , то f = Ð f .

Величина

!!			!		(1.19)
! "		" #		!
	" !		"

называется оптической силой системы. Знак оптической силы совпадает со знаком второго (f ) фокусного расстояния. Если Ф > 0, то f > 0. При этом система дает действительное изображение бесконечно удаленной точки Ð параллельный пучок превращается в сходящийся. В этом случае система будут собирающей (рис. 1.8, а; 1.9, а). Если Ф < 0, то f < 0. Изображение бесконечно удаленной точки будет мнимым Ð параллельный пучок превращается системой в расходящийся. Такая система является рассеивающей (рис. 1.8, б; 1.9, б).

1.5. Центрированные оптические системы

17

Узловые точки и плоскости

Узловыми называются две сопряженные точки на оптической оси N и N , для которых угловое увеличение равно +1. Это значит, что любой луч, проходящий через первый узел, после преломления пройдет через второй узел параллельно своему первоначальному направлению

(рис. 1.12).

!"#. #.#$. K6,-/=) %-27" -+%"2)#7-< #"#%).=

Известно, что

FN = f , F N = f. (1.20)

Из (1.17), (1.18) и (1.20) следует, что если оптическая система находится в однородной среде (n = n ), то главные и узловые точки системы совпадают.

1.5.3. Построение изображений

Свойства кардинальных элементов используются для нахождения изображения предмета. На рис. 1.13 изображены крайние преломляющие поверхности оптической системы, ее оптическая ось, фокальные точки Ð F и F , главные точки Н и Н , а также узлы N и N .

!"#. #.#(. ;-#%&-)*") "6-:&'()*"< +- 7'&4"*',8*=. L,).)*%'.

18	Тема 1. Геометрическая оптика

Для построения изображения предмета АР необходимо найти направление каких-либо двух лучей, исходящих из точки Р, после их преломления в системе. Удобными являются следующие три луча:

1.Луч 1, падающий на систему параллельно оптической оси. После

преломления в системе он пройдет через точку Н1 на второй главной плоскости и через второй фокус F .

2.Луч 2, проходящий через первый узел N. После преломления в системе он выйдет в том же направлении из второго узла N .

3.Луч 3, проходящий через первый фокус. После преломления на пер-

вой главной плоскости в точке Н2 он пойдет параллельно оптической оси, пересекая вторую главную плоскость в точке Н2 .

Для построения изображения точки Р можно выбрать любые два

из этих трех лучей. Тогда пересечение их даст точку Р , являющуюся изображением точки Р.

Следует понимать, что данное построение не отражает реального хода лучей в оптической системе. Он гораздо сложнее. Изменение направления луча происходит на каждой из преломляющих поверхностей в соответствии с законом преломления. Однако свойства кардинальных элементов позволяют получить результат, не проводя строгого построения хода выбранных лучей.

Связь между положениями предмета и его изображения

В теории Гаусса положения сопряженных точек (предмета и изображения) задаются относительно кардинальных элементов оптической системы (главных плоскостей или фокусов). Обозначим (рис. 1.13): Х и Х Ð расстояния от первого фокуса системы до предмета и от второго фокуса до изображения соответственно; S и S Ð расстояния от первой главной плоскости до предмета и от второй главной плоскости до изображения соответственно.

Стрелки на рис. 1.13 указывают направления и начала отсчета соответствующих отрезков, что необходимо для определения их знаков.

Из подобия треугольников РН1Н2 и FHH2, а также P H1 H2 и F H H1 (рис. 1.13) легко находится соотношение:

! !	!	!	"#	(1.21)
$!		$

Соотношение (1.21) называется формулой отрезков.

Из подобия треугольников АРF и FHH2, а также A P F и F H H1 (рис. 1.13) следует другое соотношение:

1.5. Центрированные оптические системы	19
X á X = f á f .	(1.22)

Соотношение (1.22) называется формулой Ньютона. Если оптическая система находится в однородной среде (n = n ), то и формулы (1.21)

и (1.22) примут вид:
1		!	1	!	1	"	(1.21а)
	#		#		$

" "! ! ## !! $	(1.22б)

Формулы (1.21) и (1.22) являются формулами оптической системы.

Линейное увеличение оптической системы

Линейным увеличением оптической системы называется отношение линейного размера изображения к линейному размеру предмета:

β = Y /Y. (1.23)

Из подобия треугольников РН1Н2 и FHH2, а также P H1 H2 и F H1 H следует, что

=	!!	#	"	#	(1.24)
	!		"!

где n Ð показатель преломления среды перед системой; n Ð показатель преломления среды за системой. Если n = n , то

β = S /S.

(1.25)

1.5.4. Расчет оптической силы и положения кардинальных элементов сложных оптических систем

Оптическая сила любой сложной оптической системы зависит от радиуса кривизны всех преломляющих поверхностей, расстояний между ними и коэффициентов преломления сред, разграничиваемых этими поверхностями.

Рассмотрим решение задачи о сложении двух центрированных систем, заданных своими главными и фокальными точками. Обе системы изображены на рис. 1.14.

Здесь Н1, Н1 , F1, F1 Ð главные и фокальные точки первой системы; Н2, Н2 , F2, F2 Ð главные и фокальные точки второй системы; c Ð расстояние от второго фокуса первой системы до первого фокуса второй системы (оптический интервал); F Ð второй фокус суммарной системы; Н Ð вторая главная точка суммарной системы.

20	Тема 1. Геометрическая оптика

!"#. #.#). D,-()*") -+%"2)#7"5 #"#%).

Из подобия треугольников F1 H1 A и F1 F2B, а также F2 H2 B и H F A
следуют отношения:
	$		% (	$	% !!! (	$	% (	$	&
	'"
			,			'		'#

Перемножив эти равенства, получим уравнение для второго фокусного расстояния оптической системы:

# ! !	#!!#2!	.	(1.26)
	#

Аналогично выводится формула для первого фокусного расстояния оптической системы:

# =	#!#"	$	(1.27)
	!

Обозначим ХН Ð расстояние от первой главной точки первой системы до первой главной точки суммарной системы; ХН Ð расстояние от второй главной точки второй системы до второй главной точки суммарной системы. На рис. 1.14 отмечено только расстояние ХН . Из рис. 14 следует, что

ХН = f2 + F2 F Ð f . (1.28)

Точки F1 и F являются сопряженными относительно второй системы. Поэтому для них применима формула отрезков (1.21). На основании (1.21) получим:

'#			'#
				% "&
((, ( '# )			'# (# (