уп_Вабищевич_Физика ч

Цели обучения

Студент должен знать	Студент должен уметь
– способы задания положения ма-	– определять координаты точки по ее радиус-
териальной точки в декартовой и	вектору;
сферической системах координат;	– определять радиус-вектор точки по ее коорди-
– основные кинематические вели-	натам;
чины, характеризующие движение	– находить модуль и направление векторов скоро-
материальной точки: траектория,	сти и ускорения материальной точки по известной
перемещение, пройденный путь,	зависимости от времени ее радиус-вектора;
скорость и ускорение материаль-	– рассчитывать модуль перемещения и пройден-
ной точки;	ный путь;
– основные кинематические ве-	– получать уравнение траектории движения ма-
личины, характеризующие дви-	териальной точки;
жение материальной точки по ок-	– использовать принцип независимости движе-
ружности: угловое перемещение,	ний при решении задач по кинематике матери-
угловая скорость, угловое уско-	альной точки;
рение;	– находить тангенциальное, нормальное, полное
– связь между линейными и уг-	ускорения материальной точки и радиус кривиз-
ловыми кинематическими вели-	ны траектории при криволинейном движении;
чинами;	– находить угловую скорость, угловое, нор-
– принципы относительности и	мальное, тангенциальное и полное ускорения
суперпозиции движений: сложе-	при круговом движении по зависимости от вре-
ние перемещений, скоростей, ус-	мени угла поворота радиус-вектора
корений.

		1.1. Краткое содержание теоретического материала
	Положение		материальной		Z
	точки в пространстве в данный мо-
					z
	мент времени задается с использо-
	ванием системы координат отно-					м.т.
	сительно некоторой точки (тела)
						r
	отсчета,	которая	является нача-		k
	лом системы координат.			Направ-			y
					O
	ленный	отрезок	прямой,	соеди-			Y
						j
	няющий точку отсчета О (рис. 1.1)				i
	и материальную точку (м.т.), назы-				x
	вается радиус-вектором ( r ). Для				X
	описания положения м.т. использу-					Рис. 1.1

ют системы координат, в частности

11

прямоугольную (см. рис. 1.1). В этой системе проекции вектора r на взаимно перпендикулярные оси координат OX , OY , OZ имеют длины x, y, z соот-

ветственно. Если выбраны (заданы) орты (единичные векторы i , j , k ) сис-

темы координат, то радиус-вектор имеет направление

								(1)
	r = xi				+ yj	+ zk ,
Модуль вектора r определяется формулой
	r		= x2 + y2 + z2 .					(2)

В ряде случаев, например, при движении м.т. по сферической поверхно- сти, удобно использовать сферическую систему координат, в которой пара- метрами являются модуль радиус-вектора r, азимутальный угол β и полярный угол α (рис. 1.2).

	Z			При этом параметры пря-
				моугольной и сферической сис-
	z
				тем координат связаны соотно-
			м.т.	шениями (2), (3) и (4).
				β = arccos	x
						;
		r			x2 + y2
		α	y
	O
			Y		x2 + y2
	β			α = arccos		(3)
					r
	x
	X			или
					z
		Рис. 1.2		α = arccos		(4)
					.
					x2 + y2

Таким образом, в любой выбранной системе координат достаточно трех параметров для описания положения материальной точки. Сфериче- ская система координат в дальнейшем будет привлекаться только в тех случаях, где она более удобна, чем прямоугольная.

При движении материальной точки ее координаты и радиус-вектор изменяются со временем, а сама материальная точка (конец вектора r ) описывает в пространстве линию, которая называется ее траекторией.

Законом движения и одновременно уравнением траектории в век-

торной форме называется зависимость радиус-вектора материальной точ- ки от времени

r = r				(5)
	(t) = x(t)i	+ y(t) j	+ z(t)k .

12

Это уравнение эквивалентно трем уравнениям для координат

x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t). (6)

Для получения уравнения траектории материальной точки в явном виде из равенств (6) необходимо исключить время t. По форме траектории движение бывает прямолинейным и криволинейным. Если при движении материальная точка находится все время в одной плоскости, то такое дви- жение называется плоским. При этом можно использовать двухмерную систему координат, например, XOY, XOZ или ZOY.

Вектор перемещения и отрезок пути материальной точки.

Скалярную величину S, равную длине траектории, описанной точ- кой за данный промежуток времени, называют отрезком пути материаль- ной точки (путем). Путь положителен всегда и в процессе движения может только возрастать.

Пусть за время t материальная точка переместилась из точки М

в точкуM ′ , пройдя вдоль траектории отрезок пути

S (рис. 1.3). Вектор

r , проведенный из начальной точки

М в

конечную

точкуM ′ ,

называется

Z

вектором перемещения материальной

z

M (x, y, z)

z′

S

точки за время

t,

r (t)

′ ′ ′

′

r (t) r (t − t)

M (x , y , z )

+

′

r = r (t

t) − r (t)

y

O

y

или

′ x

Y

r =

x

(7) X

xi

+

yj +

zk ,

Рис. 1.3

где

′

y

= y

′

− y ;

z = z

′

− z .

x = x − x ;

Из рис. 1.3 видно, что при криволинейном движении отрезок пути

S

не равен величине вектора перемещения:

r = ( x)2 + ( y)2 + ( z)2 .

Вектором средней скорости за время

t называется отношение век-

тора перемещения материальной точки ко времени, за которое оно совер- шено

r

x

y

z

< υ >=

=

i

+

j

+

k

=< υx

> i

+ < υy

> j

+ < υz

> k .

(8)

t

t

t

t

13

совпадает с вектором

(см. рис. 1.3), а

Направление вектора < υ >

r

его модуль

|

r |

x 2

y 2

z 2

|< υ >|=

= < υx

>2 + < υy

>2

+ < υz >2 =

+

+

. (9)

t

t

t

t

Средней путевой скоростью за время				t называется отношение
отрезка пути	S к t:
		υ =	S .	(10)
		ср	t
Средняя путевая скорость является скалярной величиной.
Так как	S = |	r | только в случае движения с неизменной по на-
правлению скоростью,		то в общем случае средняя путевая скорость не

совпадает с модулем вектора средней скорости: uср ¹|< u >| .

Вектор скорости u(t) материальной точки (мгновенная скорость) в

данный момент времени t определяется как предел, к которому стремится

						t при безграничном
вектор средней скорости < u > за время от t до t +
уменьшении промежутка времени t:
		r		dr
υ(t) =	lim < υ >=	lim	=		,	(11)
	t →0	t →0 t		dt

где dr – вектор перемещения материальной точки за бесконечно малый про- межуток времени dt .

Заметим, что при t → 0 вектор r → dr и в любой момент времени направлен по касательной к траектории движения материальной точки, а по абсолютной величине

| dr |= dS ;

(12)

dr

x

y

z

dx

dy

dz

υ(t) =

=

lim

i

+

j

+

k

=

i

+

j

+

k

= υxi

+ υy j

+ υzk , (13)

dt

t→0

t

t

t

dt

dt

dt

где проекции вектора скорости на оси декартовой системы координат

υ

=

dx

;

υ

=

dy

;

υ

=

dz

,

x

dt

y

dt

z

dt

а модуль вектора скорости

dx 2

dy 2

dz 2

υ =

υ

= υ2x

+ υ2y

+ υ2z

=

+

+

.

dt

dt

dt

(14)

(15)

14

Таким образом, вектор мгновенной скорости υ(t) материальной точ-

ки (линейная скорость) направлен по касательной к траектории в сторону

движения, его проекции на оси OX, OY, OZ определяются формулами (14),

а абсолютная величина –

выражением (15).

Модуль вектора мгновенной скорости (используя (12) также можно

определить с помощью выражения

dr

= dS ,

(16)

υ = υ =

dt

dt

т.е. взяв производную от перемещения по времени.

Пусть материальная точка, пере-

мещаясь по своей траектории (рис. 1.4),

Z

(t ) Δυ

находилась в момент времени t в точ-

υ

′

t )

ке М, а в момент времени t +

t

–

M

M

υ(t +

M ′ . Векторы скорости

υ(t +

t )

a

в точке

υ(t)

t)

в точках М и M ′ направ-

и υ(t +

O

лены по касательным к траектории.

Y

X

Поскольку

движение

материальной

Рис. 1.4

точки криволинейное, то направления

+ t) не совпадают. Перенесем вектор

υ(t)

и υ(t

υ(t + t) , не изменяя его

направления, в точку М и соединим вектором Δυ конец вектора υ(t) с кон-

t) :

цом перенесенного вектора υ(t +

+

t)

(17)

Δυ = υ(t

− υ(t).

Вектором среднего ускорения за время

t называют отношение при-

ращения вектора скорости Δυ ко времени, за которое приращение про-

изошло

< a >= Δυ .

(18)

t

Направление вектора < a

> совпадает с направлением Δυ (см. рис. 1.4).

Выражение (18) при t, стремящемся к нулю, определяет вектор

ускорения материальной точки в момент времени t (мгновенное ускорение)

a = lim Δυ = dυ ,

(19)

t →0

t

dt

где

приращение вектора скорости за бесконечно малый промежуток

d υ –

времени dt.

Выражение (19) можно записать в виде

=

d υ

+

d υy

+

dυ

= a

+ a

+ a

a

x

i

j

z

k

i

y

j

k .

(20)

dt

dt

dt

x

z

15

Следовательно, проекции вектора ускорения на координатные оси

a

x

=

d υ

x ;

a

y

=

d υy

;

a

z

=

dυ

z ,

(21)

dt

dt

dt

а модуль вектора ускорения

a = a =

ax2 + a2y + az2 =

d υx

2

+ d υy

2

+

dυz 2 .

(22)

dt

dt

dt

Следует отметить, что понятие, аналогичное физической величине

υср (см. формулу 10), для ускорения не используется. Если речь идет о

среднем ускорении, то имеется в виду вектор среднего ускорения < a >

(см. формулу (18).

Z

Если

движение

материальной

точки криволинейное, то вектор уско-

τ

рения

a

всегда можно разложить на

a

τ

υ

n

две взаимно перпендикулярные со-

an

a

ставляющие (рис. 1.5)

′

ρ

a = an + aτ ,

(23)

O

O

–

нормальное (или центрост-

Y

где

an

X

ремительное)

aτ

– тангенциальное

Рис. 1.5

и

(или касательное) ускорения матери-

альной точки, a –

полное ускорение материальной точки. Вектор an

все-

гда направлен к центру кривизны траектории O′

в точке М, а вектор aτ

лежит на касательной к траектории в точке М и может быть направлен как

в сторону движения, так и в противоположную сторону. Такое разложение

вектора ускорения a часто необходимо в связи с тем, что вектор скорости

материальной точки υ может изменяться как по направлению, так и по мо-

дулю. Нормальное ускорение an характеризует быстроту изменения на-

правления вектора скорости материальной точки. Тангенциальное ускорение

aτ характеризует быстроту изменения модуля скорости материальной точки.

Можно показать,

что вектора нормального an

и тангенциального aτ

ускорения определяются соотношениями

	=	υ2			;	(24)
a		ρ	n	= a n
n				n

16

=

dυ

(25)

aτ

τ = aττ ,

dt

где an = an ,

aτ = aτ

– модули векторов нормального и тангенциального

модуль вектора скорости материальной

ускорения соответственно, υ = υ –

точки; ρ –

радиус

кривизны

траектории в

данный

момент

времени,

τ – единичный вектор, направленный по касательной в данной точке тра-

ектории, n –

единичный вектор, перпендикулярный к касательной в дан-

ной точке траектории.

Из (24) – (25)

видно, что an ³ 0

(причем an = 0 при прямолинейном

движении: ρ → ∞),

aτ > 0 при ускоренном движении материальной точки

(как показано на рис. 1.5.),

aτ < 0 , если материальная точка движется за-

медленно, и aτ = 0 при равномерном движении.

Из (23) и рис. 1.5 следует, что модули векторов a, an , aτ связаны ме-

жду собой соотношением

Z ′

a = a =

a2

+ a2

.

(26)

n

τ

Понятия скорости

и

ускоре-

Z

K′

M

ния являются относительными и за-

висят от выбора системы координат.

K

r1

Пусть имеется неподвижная система

r

O′

Y′

отсчета К и

система отсчета

K′ ,

X′

O

ro

движущаяся

поступательно

(углы

Y

между осями ОХ и О'Х',

′

′

,

X

OY и O Y

Рис. 1.6

0Z и O'Z'остаются все время посто-

янными) относительно К (рис. 1.6).

Положение материальной точки М в системах отсчета К и К' в один и

тот же момент времени определяется радиус-векторами r и r1

соответст-

венно. Из рис. 1.6 видно, что

r = r	+ r	,	(27)
0	1

где r0 – радиус-вектор начала координат О' системы К' в системе К. Взяв производную по времени от левой и правой частей уравнения (27), получим

				dr		dr		dr
					=	0	+	1	или u = u	+ u ,	(28)
				dt		dt		dt	0	1
	скорость материальной точки относительно неподвижной системы
где u –
отсчета К; u1		–	скорость материальной точки относительно поступательно

17

движущейся системы отсчета

K′ , υ0 –

скорость поступательного движе-

ния системы отсчета К' относительно системы К –

переносная скорость.

Продифференцировав (28) еще раз по времени, получим

dυ

= dυ0 + dυ1

или

a = a + a ,

(29)

dt

dt

dt

0

1

где a

– ускорение материальной точки в системе K ; a1

– ее ускорение в

системе K′ ,

a0 – ускорение системы отсчета K′

относительно K . Соот-

ношения (28) и (29) представляют собой правила сложения скоростей и ус-

′

корений

в

частном

случае

поступательного

O

движения системы K′ .

Пусть

материальная

точка

совершает

Δϕ

движение по окружности радиусом R (рис. 1.7).

Скорость движения

материальной

точки

υ

R

ω

направлена

по касательной

к траектории

и

A

Δϕ

перпендикулярна к радиус-вектору матери-

S

r

альной точки

r , а величина радиус-вектора

′

r = R не меняется со временем.

При описании движения по окружности

A

υ

мерой перемещения материальной точки за

O

малый промежуток времени

t

может слу-

Рис. 1.7

жить вектор Δϕ . По модулю он равен углу по-

ворота Δϕ радиус-вектора за время

t и на-

правлен перпендикулярно к плоскости движения материальной точки по

правилу правого винта.

материальной точки на данном уча-

Средней угловой скоростью ω

стке движения называется величина

			Δϕ
		< ω >=	,
			t
						к которому стремится <ω>
а угловую скорость ω определим как предел,
при	t → 0:
				Δϕ			dϕ
	ω = lim	< ω >=	lim	t	=			,	(30)
	t →0		t →0				dt
где	dϕ – угол, на который поворачивается радиус-вектор материальной

точки r за бесконечно малый промежуток времени dt.

18

Вектор угловой скорости ω направлен (как и вектор dϕ ) вдоль оси вращения радиус-вектора, и его направление можно определить по прави- лу правого винта.

Найдем связь между модулем угловой скорости ω и модулем линей-

ной скорости	υ материальной точки. За время t материальная									точка
пройдет путь	S по дуге окружности радиусом R (см. рис. 1.7). При этом,
переходя к дифференциалам при						t → 0 , можем записать
					dS = Rdϕ .					(31)
Поскольку модуль линейной скорости (см. формулу (16)
						υ =	dS		,
							dt
то						Rdϕ
					υ =			= ωR ,
						dt
или в векторном виде, т.к.			r		= R ,
										(32)
					υ = [ωr ] .

Угловым ускорением ε движения материальной точки называется ве- личина, равная пределу, к которому стремится отношение приращения уг-

ловой скорости Δω за промежуток времени t к этому промежутку време- ни при стремлении последнего к нулю:

ε = lim Δω =

dω

,

(33)

t →0

t

dt

т.е. производной от угловой скорости по времени.

Угловое ускорение также является векторной величиной. При уско-

ренном вращении ε совпадает с вектором ω , при замедленном вращении

ε

противоположен ω .

Используя соотношения (32) – (33),

можно найти модули нормально-

го an и тангенциального aτ

ускорений материальной точки при ее движе-

нии по окружности радиусом R:

a =

υ2

= ω2 R ;

(34)

n

R

dυ

dω

a

τ

=

= R

= εR.

(35)

dt

dt

Тогда модуль ускорения материальной точки

a =

an2 + aτ2 = R

ω4 + ε2 .

(36)

19

1.2. Методические указания к лекционным занятиям

	Вопросы лекции	Форма	Литература		Вопросы для самоконтроля
		изучения
	Кинематика движения ма-			1. Что такое материальная точка? Приведите примеры.
	териальной точки			2. Что называется системой отсчета?
	Система сферических и пря-	лекция +	[8], п. 1.21	3.	Как, зная законы изменения координаты точки, определить законы измене-
	моугольных координат. Связь	самост.		ния проекций ее скорости и ускорения на ось координат?
	систем координат.			4.	Как определить векторы скорости и ускорения материальной точки, если из-
	Скорости: средняя, мгновен-	самост.	[10], пп. 1 – 4	вестен закон изменения ее радиус-вектора относительно начала координат?
	ная.			5.	Как можно получить уравнение траектории, если известен закон изменения
	Ускорение: среднее, мгновен-	самост.	[8], п.п1.1 – 1.2	радиус-вектора материальной точки?
	ное.			6.	Чему равно расстояние между двумя точками в пространстве? Как опреде-
	Траектория, путь, уравнение	лекция +	[7], пп. 1.2 – 1.3	лить расстояние в данный момент времени между двумя движущимися матери-
	траектории, перемещение	самост.		альными точками, если известны законы изменения их скоростей в одной и той
				же системе отсчета и начальные координаты?
20
	Кинематика криволинейно-			1.	Что называется угловым перемещением материальной точки?
	го движения материальной			2.	Как, зная закон изменения углового ускорения материальной точки и на-
	точки			чальные условия, найти ее угловую скорость и угловое смещение в данный
	Криволинейное движение.	лекция	[7],пп. 1.5	момент времени?
	Угловая скорость и угловое	лекция +		3.	Как рассчитать угловое перемещение и угловую скорость при равномерном
	ускорение.	самост.	[8], пп. 1.2	вращательном движении?
	Нормальное, тангенциальное,	лекция +		4.	Какая связь существует между линейными и угловыми характеристиками
	полное ускорения.	самост.	[10], п. 4	движения материальной точки?
	Принцип относительности и	лекция		5.	В чем состоит принцип независимости движения?
	суперпозиция движений.			6.	Какие составляющие ускорения называют нормальной и тангенциальной?
	Сложение скоростей и уско-	лекция	[5],пп. 1.3 – 1.4	Как они направлены? Какое изменение скорости они характеризуют?
	рений			7.	Из чего складывается ускорение при движении материальной точки, брошен-
				ной под углом к горизонту? Чему равно ускорение?
				8.	Что характеризует кривизну траектории? Как рассчитать радиус кривизны
				траектории?

20