4.1.4. Вынужденные колебания упругой системы с одной степенью свободы

Добавим к числу сил, действующих на систему, вынуждающую силу F₀sinWt, гдеW- частота вынуждающей силы:

При этом уравнение равновесия принимает вид

.

Введем обозначение .

Таким образом, дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания упругой системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления имеет вид:

.

Примем частное решение данного дифференциального уравнения в виде . Его первая и вторая производная имеют вид

,

.

Подставляя выражения для ив дифференциальное уравнение, получим

.

Данное равенство будет выполняться, если

Из последнего уравнения выразим С₂:

,

.

Преобразуем первое уравнение:

и подставим в него выражение для C₂:

,

.

Таким образом, коэффициенты уравнения колебательного процесса принимают вид:

;.

Введем обозначения:

,

.

С учетом этих обозначений уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде:

.

Отсюда видно, что A_вын–амплитуда вынужденных колебаний,y–фазовый сдвигмежду вынуждающей силой и вызываемыми ею колебаниями.

Определим амплитуду вынужденных колебаний:

,

,

.

Выразим массу из формулы для частоты собственных колебаний:

→.

Тогда амплитуда вынужденных колебаний вычисляется по следующей формуле:

.

Здесь – статическое перемещение точки, за колебанием которой мы наблюдаем. То есть, если амплитудную величину возмущающей силы приложить к данной точке статически (в направлении колебательного процесса), то эта точка получит статическое перемещение.

Тогда представим формулу для амплитуды вынужденных колебаний в следующем виде:

,

где - коэффициент динамичности.

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний (динамическое перемещение):

.

В соответствии с законом Гука напряжение прямо пропорционально деформации, то есть

.

Если либо, то коэффициент динамичности

.

График зависимости коэффициента динамичности от отношения частот вынужденных и собственных колебаний:

При :– этослучай резонанса.

Фазовый сдвиг:

.

При фазовый сдвиг, т.е. вынуждающая сила достигает максимального значения в момент, когда колебательная система проходит через состояние равновесия. Это и является причиной резонанса.

4.2. Удар

Ударомназывается взаимодействие тел, при котором силы взаимодействия резко нарастают или ослабевают за короткий промежуток времени. Удар относится кдинамическим видам нагружения.

Можно выделить три вида задач об ударе:

1. Задачи об изменении параметров движения взаимодействующих тел, решаемые аппаратом механики недеформируемого твердого тела.

2. Задачи о напряжениях и деформациях, возникающих во взаимодействующих телах, решаемые аппаратом механики деформируемого твердого тела.

3. Задачи об определении свойств материалов при ударе.

В курсе «Сопротивление материалов» решаются ударные задачи только второго вида: производится расчет на прочность и жесткость элементов конструкций при ударном нагружении. Более общий подход к решению таких задач был предложен доктором технических наук, основателем кафедры «Сопротивление материалов» Тольяттинского политехнического института Георгием Федоровичем Лепиным.