4. Понятие о деформированном состоянии

Деформированным состоянием в точке называется совокупность деформаций, возникающих в различных направлениях и различных плоскостях, проходящих через данную точку.

Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях объемного напряженного состояния.

Под действием напряжений этот объем деформируется, в результате каждая грань изменяет свои размеры в направлении координатных осей и может получить угловую деформацию. Так, например, передняя грань принимает вид:

Таким образом, в направлении оси z элементарный размер dz грани получит относительную деформацию , а в направлении осиx элементарный размер dx изменится на величину . Угол между ребрами грани изменится на величину.

Подобные деформации получат и остальные грани элементарного объема. Тогда деформированное состояние в точке определится тензором деформаций:

,

где линейные деформации

,,

и угловые деформации

,,.

Свойства деформированного состояния аналогичны свойствам напряженного состояния, в частности, можно выделить три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформации отсутствуют. Линейные деформации, возникающие в этой системе координат, называются главными деформациями. Главные деформации нумеруют в порядке убывания.

Различают линейное, плоское и объемноедеформированные состояния.

линейное плоское объемное

Площадки главных напряжений и главных деформаций для линейно-упругого изотропного тела совпадают.

5. Обобщенный закон Гука для случая объемного напряженного состояния

Рассмотрим элементарный объем линейно-упругого изотропного тела, находящийся в условиях объемного напряженного состояния, причем касательные напряжения на его гранях отсутствуют:

Таким образом, координатные грани элементарного объема являются главными площадками, координатные осиx, y, z–главными осями, нормальные напряжения, действующие на главных площадках –главными напряжениямии, соответственно, линейные относительные деформации в направлении главных осей –главными деформациями.

По направлению осей x,y,zвозникают абсолютные деформацииa, b, c.

Величина главной относительной деформации в направлении оси z:.

Напряжение σ₁приводит к увеличениюc, и по закону Гука

.

Напряжения σ₂иσ₃работают на увеличениеaи bи вызывают уменьшениеc, то есть, используя закон Гука и коэффициент поперечной деформации,

,.

Применяя принцип суперпозиции, находим

.

Расписывая аналогичным образом главные деформации и, окончательно получим:

,

.

Полученные зависимости представляют собой обобщенный закон Гука в главной системе координат.

Проводя такие же рассуждения для элементарного объема, грани которого не являются главными площадками, получим обобщенный закон Гука в произвольной системе координат:

,

.

6. Потенциальная энергия деформации для случая объемного напряженного состояния

Потенциальную энергию деформации в общем случае можно представить состоящей из потенциальной энергии, связанной с изменением объема и с изменением формы:

,

где U_V- потенциальная энергия изменения объема:

,

U_ф- потенциальная энергия изменения формы:

. (2.1)