- •Сопротивление материалов
- •Расчет статически неопределимых систем методом сил.
- •2.1. Расчет на прочность элементов конструкций в общем случае нагружения.
- •Установочная лекция по теме: «Основы теории напряженно-деформированного состояния. Теории предельного состояния. Общий случай нагружения.»
- •Основы теории напряженно-деформированного состояния в точке
- •Понятие о напряженном состоянии в точке
- •Определение напряжений на произвольной площадке
- •Главные оси и главные напряжения
- •Классификация напряженных состояний в точке
- •Эллипсоид напряжений
- •Понятие о деформированном состоянии
- •Обобщенный закон Гука для случая объемного напряженного состояния
- •Потенциальная энергия деформации для случая объемного напряженного состояния
- •Решение плоской задачи о.К. Мора Прямая задача Мора
- •Обратная задача Мора
- •Теории предельного состояния
- •Назначение теорий предельного состояния
- •Теории хрупкого разрушения
- •Вторая теория прочности – теория наибольших линейных деформаций (теория Мариотта).
- •Теории пластичности
- •Универсальная теория Мора
- •Общий случай нагружения
- •6. Запись условия прочности в наиболее опасной точке
- •Требования к знаниям и умениям по данному разделу
- •Алгоритм расчета на прочность в условиях сложного сопротивления
- •3. Расчет на прочность и жесткость статически неопределимых систем, работающих на изгиб.
- •Перечень основных изучаемых вопросов
- •Установочная лекция по теме: «Статически неопределимые системы. Метод сил. Приложение к трем простым видам деформации: растяжение-сжатие, изгиб, кручение»
- •3.1. Понятие статической неопределимости
- •3.2. Метод сил
- •Алгоритм метода сил
- •1. Образование основной системы.
- •2. Образование эквивалентной системы.
- •3. Запись условия эквивалентности.
- •4. Определение коэффициентов системы канонических уравнений метода сил.
- •5. Решение скумс относительно неизвестных.
- •6. Построение эпюр всф.
- •7. Деформационная проверка правильности раскрытия статической неопределимости.
- •3.3. Учет влияния температуры и неточности изготовления элементов
- •3.4. Учет симметрии при раскрытии статической неопределимости
- •4. Расчет на прочность в условиях динамического нагружения (вынужденные колебания, удар).
- •Перечень основных изучаемых вопросов
- •Установочная лекция по теме: «Колебания. Удар»
- •4.1. Основы теории колебаний
- •4.1.1. Классификация механических колебаний
- •4.1.2. Свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы
- •4.1.3. Свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления
- •4.1.4. Вынужденные колебания упругой системы с одной степенью свободы
- •4.2. Удар
- •4.2.1. Теория удара Лепина
- •3.2.2. Частные случаи удара
- •4.2.3. Расчет на прочность и жесткость при ударе
- •Алгоритм расчета на прочность и жесткость при ударе
- •Требования к знаниям и умениям по данному разделу
- •5. Контрольная работа
- •Задача № 1Расчет на прочность при сложном сопротивлении
- •Расчетные схемы статически неопределимых рам к задаче № 2
- •Расчетные схемы балок к задаче № 3
Определение напряжений на произвольной площадке
Выделим внутри рассматриваемого элементарного куба произвольную секущую площадку А:
Получим элементарный тетраэдр, на наклонной площадке BCDкоторого возникает вектор полного напряжения.
Пусть даны шесть компонент напряжений: , действующих в координатных гранях тетраэдра. ОпределимX,Y,Z– проекции вектора полного напряжения, действующего на площадкеBCD.
Введем следующие обозначения:
- нормаль к площадкеBCD,
- направляющие косинусы, которые определяют положение площадкиBCD.
Обозначим площадь рассматриваемой площадки ABCD=A, тогда площади остальных граней:ABCO=A×l; AOCD=A×m; ABOD=A×n.
Запишем условия статического равновесия для системы сил, действующей на грани выделенного тетраэдра:
,
,
.
Откуда проекции вектора полного напряжения:
Таким образом, напряженное состояние в точке можно считать заданным, если известны напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках.
Нормальное напряжение на площадке BCD можно определить как сумму проекций компонент вектора полного напряженияХ, Y, Zна нормаль:
Главные оси и главные напряжения
Рассмотрим множество секущих площадок, проходящих через рассматриваемую точку. По нормали к каждой площадке отложим вектор rс координатами:x = rl, y = rm, z = rn.
Выразим направляющие косинусы через координаты и длину вектора:
l = x/r,m = y/r, n = z/r.
Подставляя эти выражения в полученную ранее формулу для напряжения на произвольной площадке, получим:
,
откуда длина вектора r
, гдеk– масштабный коэффициент, равный
.
Полученное выражение является уравнением центральной поверхности второго порядка, центр которой совпадает с центром координат. При определенном положении системы координат уравнение преобразуется к виду, в котором попарные произведения xy,xz,yzисчезают. Это говорит о том, что в каждой точке нагруженного тела существует такая система координат, в которой касательные напряжения на взаимно перпендикулярных координатных площадках равны нулю. Оси такой системы координат называютсяглавными осями, координатные площадки –главными площадками, а соответствующие им нормальные напряжения –главными напряжениями.
Главные напряжения принято нумеровать в порядке убывания, то есть .
Классификация напряженных состояний в точке
По количеству главных напряжений, возникающих в точке, все напряженные состояния можно разделить на три группы:
Одноосное (линейное) напряженное состояние:
(два главных напряжения равны нулю)
Плоское напряженное состояние:
(одно главное напряжение равно нулю)
Объемное напряженное состояние:
(ни одно из главных напряжений не равно нулю).
Наиболее распространенными в технике являются линейное и плоское напряженные состояния.
Эллипсоид напряжений
Для случая, когда отсутствуют касательные напряжения, компоненты вектора напряжений на произвольной площадке можно выразить следующим образом:
откуда направляющие косинусы
Так как , можно записать:
Полученное уравнение является уравнением эллипсоида. Таким образом, геометрическое место концов вектора полного напряжения представляет собой эллипсоид, полуосями которого являются главные напряжения 1,2,3:
Этот эллипсоид называется эллипсоидом напряжений и представляет собой геометрическую интерпретацию напряженного состояния в точке.