Универсальная теория Мора
Пятая теория прочности – теория предельных состояний (теория Мора).
Критерий равнопрочности: напряженные состояния равнопрочны по наступлению предельного состояния, если при одновременном пропорциональном увеличении главных напряжений их круги Мора одновременно коснутся предельной огибающей.
Если изобразить в координатах семейство кругов Мора для различных предельных состояний материала, то огибающая этого семейства будет предельной огибающей для данного материала.
Изобразим в координатах три предельных круга Мора:
круг с центром в точке O1– для случая одноосного сжатия (главные напряженияσ1= 0,σ2= 0, σ3=σвс);
круг с центром в точке O2– для случая одноосного растяжения (главные напряженияσ1=σвр,σ2= 0, σ3= 0);
круг с центром в точке O3– для случая плоского напряженного состояния (главные напряженияσ1, σ3).
Линия C1D1, огибающая круги, называетсяпредельной огибающей.
Как
видно из рисунка,
,
то есть
.
Запишем длины отрезков через соответствующие напряжения:
,
,
,
.
Подставляя эти значения в пропорцию, получим
,
откуда:
.
После сокращения имеем
,
тогда
,
где
.
Т.к.
– предел прочности для одноосного
растяжения, его можно заменить
.
Таким образом, эквивалентное напряжение по теории Мора, равно:
.
(2.11)
Для пластичных материалов, одинаково
сопротивляющихся растяжению и сжатию,
,
следовательно
,
то есть теория Мора совпадает с теорией максимальных касательных напряжений.
Для хрупких материалов
,
и
.
Интересно, что для весьма хрупких
материалов с
,
то есть теория Мора совпадает с теорией максимальных нормальных напряжений.
Теорию Мора рекомендуется использовать для хрупких (в том числе анизотропных) материалов вместо первой и второй теорий. Ее недостатком является неучет промежуточного главного напряжения σ2.
Общий случай нагружения
Сочетание изгиба в двух плоскостях с растяжением (сжатием) и кручением называется общим случаем нагружения.
Рассмотрим алгоритм расчета на прочность в общем случае нагруженияна примере консольной балки прямоугольного поперечного сечения, изготовленной из пластичного материала:
На рисунке показаны эпюры распределения внутренних силовых факторов вдоль оси балки.
Алгоритм расчета на прочность
1. Определение положения опасного сечения.
В рассматриваемом случае опасным является сечение в непосредственной близости от заделки, где максимальной величины достигают изгибающие моменты MxиMy. Здесь действуют внутренние силовые факторы:
;
;
;
;
;
.
2. Определение вида деформации в опасном сечении.
В нашей задаче опасное сечение испытывает общий случай нагружения – это косой поперечный изгиб с растяжением и кручением.
3. Определение положения опасной точки в опасном сечении.
Рассмотрим распределение напряжений от различных внутренних усилий по опасному сечению:
Опасной точкой сечения является одна из трех точек:
либо точка a, в которой возникают наибольшие нормальные напряжения;
либо точка b, в которой возникают наибольшие касательные напряжения и, кроме того, действуют нормальные напряжения;
либо точка c, в которой одновременно действуют и нормальные, и касательные напряжения.
4. Определение вида напряженного состояния в опасных точках.
Точка a:одноосное напряженное состояние.
Точка b:плоское напряженное состояние.
Точка c:плоское напряженное состояние.
5. Вычисление эквивалентного напряжения в опасных точках.
Для того чтобы из трех возможных точек выбрать наиболее опасную, необходимо вычислить напряжения в этих точках (с учетом вида напряженного состояния) и сравнить их по абсолютной величине.
Для точки a:
Поскольку в точке авозникает
линейное напряженное состояние (
),
то теории прочности применять здесь не
нужно, нормальное напряжение в точкеаравно:
.
Для точки b:
Здесь возникает плоское напряженное состояние, значит необходимо вычислить эквивалентное напряжение в точке по соответствующей теории прочности. Т.к. материал балки пластичный, выбираем, например, четвертую теорию прочности:
,
где
,
.
Для точки c:
Здесь также возникает плоское напряженное состояние. Пользуясь той же теорией прочности, вычисляем эквивалентное напряжение в точке с:
,
где
,
.