ТОЭ УП ч. 1

							СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н.
							«Теоретическиеосновыэлектротехники»
								часть1, 2009г
6.		6.
Записать мгновенные значения		iC = 2 2 sin(ωt + 85,2°) + 4 2 sin(3ωt + 90°) A;
токов ветвей, используя прин-		iR = 0,615 2 sin(ωt + 156,8°) +
цип наложения
		+ 2,83 2 sin(3ωt + 135°) A;
		iL = 1,9 2 sin(ωt + 66,8°) +
		+ 2,83 2 sin(3ωt + 45°) A
7.		7.
Определить действующие зна-			IC =			22 + 42 = 4,47 А;
чения токов ветвей и напряже-
						0,6152 + 2,832 = 2,89 А;
ние Uab:	n		IR =
						1,92 + 2,832 = 3,4 А;
I =	∑Ik2 ;		IL =
	k=0		Uab =			18,452 +84,92 = 86,88 B
	n
U =	∑U k2
	k=0
8.		8.	Pu = Pu0 + Pu1 + Pu2 = 11,3 + 240 = 251,3 Вт;
Рассчитать активную
мощность цепи:			Рп = IR,2 R = 2,892 30 = 250,7 Вт.
	n	Погрешность
Рв = Р0 + ∑Р ;							Pu − Pп
	k =1 k					δ =		100 % = 0,29 %
Рп = ∑I 2 R							Pп
9.		9.
Определить показания					IA = IC = 4,47 A;UV = Uab = 86,88 B;
приборов
				IA= 0 A; UV = Uab = 0 B

Примечание. Приналичиивцеписнесинусоидальнымиисточникамииндуктивностейиемкостейможетвозникнутьрезонансдляоднойизгармоник. Условия резонанса прежние.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Резонанс напряжений

Резонанс токов

										Bэк = 0;
		Xэк = 0;
								1		− kωC = 0
		kωL −	1	= 0							;
					;				kωL
			kωC

k2ω2LC = 1 .

В рассмотренном выше примере наблюдается резонанс напряжений на третьей гармонике, когда ϕ3 = 0.

Пример 1

Известно: R=4 Ом; X C1 = ω1C =12 Ом;

u(t) =8 + 40 2 sin ωt + 28,2sin 2ωt В;

цепь настроена на резонанс токов второй гармоники.

Определить: а) полную мощность; б) активную мощность; в) показания приборов электродинамической системы.

Решение

1. Расчет постоянной составляющей (нулевой гармоники):

	I0	=	U0	=	8	= 2 А;	UV 0 = 0 .
			R		4

2. Изобразим комплексную схему для расчета гармоник тока и напряжения:

где XCk = XkC1 = kω1C = 12k Ом; X Lk = kX L1 = kωL Ом, причем при резо-

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

нансе токов второй гармоники имеем
X L2 =	2X L1 = XC 2	=	XC1	,	тогда X L1 =		XC1		= 12	= 3 Ом.
							4
		2							4
3. Рассчитаем первые гармоники (k=1):
Z Э1 = R +	jX L1 (− jXC1) = 4 +				j3 (− j12)	= 4	+ j4		= 4	2e j 45 Ом;
	jX L1 − jXC1				j3 − j12
	I1 = U1 = 40e j0				= 5 2e− j45 = 5 − j5 А.
	Z Э1	4 2e j 45

Напряжение на участке ab найдем по второму закону Кирхгофа:

U ab1 =UV1 =U1 − RI1 = 40e j0 −4 (5 − j5) = 20 + j20 = 28,2e j45 В. 4. Рассчитываем вторые гармоники (k=2) при резонансе токов:

X L2 = XC2 = 6 Ом;

Z Э2 = R +

jX L2 (− jXC2 )

= 4 +

j6 (− j6)

= 4 +

36

= ∞ Ом;

j6 − j6

0

jX L2 − jXC2

I 2 =

U

2

=

28,2e j0

= 0 ;

2 ∞

Z Э2

28,2

U ab2 =UV 2 =U 2 − RI 2

=

e

j0

−4 0

= 20

= 20e

j0

В.

2

5.Рассчитываем действующие значения: а) входного тока

I = I02 + I12 + I22 = 22 + (5 2)2 +02 = 7,33 А;

б) входного напряжения

U = U02 +U12 +U22 = 82 + 402 + 202 = 45,43 В;

в) напряжения на вольтметре

UV = UV20 +UV21 +UV22 = 02 + 28,22 + 202 = 34,6 В.

6.Рассчитываем:

а) полную мощность цепи

S =U I = 45,43 7,33 = 334 ВА;

б) активную потребляемую в цепи мощность

P= I 2R = 7,332 4 = 215 Вт.

7.Запишем показания приборов электродинамической системы, которые измеряют действующие значения периодических напряжений и токов:

а) показание амперметра IA=I=7,33 A;

б) показание вольтметра UV=34,6 В.

Ответ: S = 334 ВА; P = 215 Вт;

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

IA=7,33 A ; UV = 34,6 В.

Пример 2

Известно: R=30 Ом; L1=0,15 Гн; L2=0,1 Гн; e(t) = 60 + 90 2 sin100t + 60sin 200t В;

в параллельной ветви резонанс напряжений на первой гармонике.

Рассчитать:

а) действующие значения токов всех ветвей; б) показания приборов магнитоэлектрической и электромагнитной систем.

Решение

1. Расчет постоянной составляющей (нулевой гармоники):

	I10 = I20 =	E0	=	60	=1 А; I30 = 0 ;
		2R		2 30

UV 0 = R I10 = 30 1 = 30 В.

2. Изобразим схему для расчета напряжения и токов, где

X L1k = kωL1 = kX L11 ;

X L2k = kωL2 = kX L21 ;

X Ck = kω1C = XkC1 ;

X L11 = ωL1 =100 0,15 =15 Ом;

X L21 = ωL2 =100 0,1 =10 Ом;

причемприрезонансенапряженийпервойгармоникиимеем XC1 = X L21 =10 Ом.

3.Рассчитываем первые гармоники (k=1) при резонансе напряжений

впараллельной ветви:

Z Э1 = R + jX L11 +

R ( jX L21 − jXC1)

=

R +( jX L21 − jXC1)

= 30 + j15 +

30 ( j10 − j10)

= 30 + j15 = 33,54e j26,6 Ом;

30 + ( j10 − j10)

E1

90e j0

− j26,6

I11

=

=

= 2,7e

А;

Z Э1

33,54e j26,6

I 21

= I11

jX L21 − jXC1

= 2,7e− j26,6

j10 − j10

= 0 ;

R

+( jX L21 − jXC1)

30

+( j10 − j10)

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

I31 = I11

R

=2,7e− j26,6

30

=2,7e− j26,6

А;

R +( jXL21 − jXC1)

30

+( j10

− j10)

UV1 = I11 (R + jX L11) = 2,7e− j26,6 (30 + j15) =

= 2,7e− j26,6

33,54e j26,6 = 90,6e j0

В.

4. Рассчитываем вторые гармоники (k=2):

Z Э2 = R + j2X L11 +

R ( j2X L21 − j0,5XC1)

=

R + ( j2X L21 − j0,5X C1)

= 30 + j30 +

30 ( j20 − j5)

= 36 + j42 = 55,3e j49,4

Ом;

30 + ( j20 − j5)

I12 =

E2

=

60e j0

= 0,77e

− j49,4

А;

2 55,3e j49,4

Z Э2

I 22 = I12

= 0,77e−

I 32 = I12

			j2X L21 − j0,5XC1				=
			R + ( j2X L21 − j0,5XC1)
	j49,4				j20 − j5	= 0,34e j14 A;
				30	+( j20 − j5)
					R		=
			R +( j2X L21 − j0,5XC1)

	= 0,77e− j49,4		30	= 0,7e− j76	A;
		30	+ ( j20 − j5)

U V 2 = I12 (R + j2X L11) = 0,77e− j49,4 (30 + j30) = 32,6e− j4,4 В.

5. Рассчитываем действующие значения:

I1 = I102 + I112 + I122 = 12 + 2,72 + 0,772 = 2,98 А;

I2 = I202 + I212 + I222 = 12 + 02 + 0,342 =1,06 А;

I3 = I302 + I312 + I322 = 02 + 2,72 + 0,72 = 2,79 А;

UV = UV20 +UV21 +UV22 = 302 + 90,62 + 32,62 =100,9 В. 6. Определяем показания приборов:

а) магнитоэлектрической системы, которые измеряют постоянные составляющие

UV = UV0 = 30 B;

IA = I20 = 1 A.

б) электромагнитнойсистемы, которыеизмеряютдействующиезна-

чения

UV = 100,9 B; IA = I2 = 1,06 A.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Тема 8 ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

В различных областях электротехники особенно часто применяются устройства с двумя парами выводов, при помощи которых они соединяются с другими участками электрической цепи, – это четырехполюсники.

Четырехполюсник – электрическая схема, имеющая два входных и два выходных зажима.

1−1′−первичныезажимы;U1,I1 −входные величины;

2 − 2′−вторичныезажимы;U 2,I 2 −выходные величины.

8.1.Классификация четырехполюсников

8.1.1.По схемам соединения

Г-образная		Т-образная

П-образная		Мостовая

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

8.1.2. По наличию источников внутри четырехполюсника

Пассивные

Нет внутри источников тока или напряжения (линия передач, трансформаторы).

Пассивные – обратимые, выполняется принцип взаимности.

Активные

Содержат источники тока или напряжения (усилители на транзисторах, операционные усилители). Необратимые – принцип взаимности не выполняется.

8.2. Основные уравнения пассивных четырехполюсников

Для исследования четырехполюсника необходимо установить зависимость между напряжениями и токами на входных и выходных зажимах.

Если заданы U2, I2, то можно определить U1, I1 по уравнениям типа

“А”, которые называются основными уравнениями четырехполюсника.

U 1

= A11

U

2 + A12

U

2 ,

I1

= A21U 2 + A22 I 2 .

U

U

1

= (A)×

2

матричная форма;

I1

I

2

A

A

– матрица коэффициентов четырехполюсника;

(A) =

11

12

A21

A22

[A11], [A22] – безразмерные; [A12] = [Ом], [A21] = [См].

Существует другая форма записи уравнений типа “А”:

U1 =А U2 +B I2,

I1 =С U2 +D I2,

где

A	B
(А) =	.
C	D

Для коэффициентов (А) справедливо соотношение

A11 A22 − A12 A21 =1; AD − BC =1 .

Если четырехполюсник симметричен, для него при замене входных и выходных зажимов (обратное включение) режим работы всей схемы не меняется. Для симметричного четырехполюсника A11 = A22, A = D;

(A11 )2 − A12 A21 =1; (A)2 − BC =1.

Всего можно записать шесть различных по форме, но математически равносильных уравнений:

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н.

«Теоретическиеосновыэлектротехники»

часть1, 2009г

Тип

Форма

Матричная

Обозначение входных

уравнения

уравнения

запись

и выходных величин

U1 = A11U2 + A12I2,

U

1

U

2

“А”

I1 = A21U2 + A22I2

I1

= (A)

I 2

I1 = Y11U1 + Y12U2,

I

1

U

1

“Y”

I2 = Y21U1 + Y22U2,

= (Y )

Y12 = Y21

I 2

U

2

U1 = Z11I1 + Z12I2,

U

= (Z )

I

1

“Z”

U2 = Z21I1 + Z22I2,

1

U

Z12 = Z21

2

I 2

U1 = H11I1 + H12U2,

U

1

I

1

“H”

I2 = H21I1 + H22U2,

При обратном направлении I2

I 2

= (H )

U

H12 = H21

2

(к точке 2)

H

21 = -H12

I1 = G11U1 + G12I2,

I

1

= (G)

U

“G”

U2 = G21U1 + G22I2

1

U

I 2

G12 = G21

2

U2 = B11U1 + B12I1,

обратное включение

U

2

U

I2 = B21U1 + B22I1

= (B)

1

“B”

B = A ; B = A ;

I 2

I1

12 22 22 12

B21 = A21; B22 = A11

Размерность коэффициентов следует из самой записи уравнений.

8.3. Определение матричных коэффициентов четырехполюсников

Матричные коэффициенты могут быть определены:

1.Составлением уравнений по законам Кирхгофа или другими методами (контурных токов, узловых потенциалов). Полученные уравнения приводятся в соответствие заданному типу уравнений. Сравнивая коэффициенты при одноименных параметрах, определяют искомые матричные коэффициенты, выраженные через известные сопротивления схемы четырехполюсника.

2.Из уравнений четырехполюсника данного типа для режимов холостого хода (х.х.) и короткого замыкания (к.з.) (прямых и обратных),

втом числе экспериментально.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Пример

Z1 = j20 Ом, Z0 = –j10 Ом, Z2 = 10 Ом.

Определить элементы матрицы (Н).

Для вычисления коэффициентов матрицы (Н) воспользуемся вторым методом:

U1 = H11I1 + H12U2,

I2 = H21I1 + H22U2.

1. Режим короткого замыкания, U2 = 0:

б) и

а) из уравнений “Н”

Z1 Z 0

U1 = H11I1;

U1 = I1

;

Z1 + Z

0

I2 = H21I1;

I2 = I1

Z1

.

Z1 + Z 0

Сравнив полученные уравнения, имеем

H 11 =

Z1 Z 0

=

j20(− j10)

= − j20;

H 21

=

Z1

=

j20

= 2.

Z1 + Z 0

Z1

j10

j10

+ Z 0

2. Режим обратного холостого хода, I1 = 0:

U1 = H12U2;

U1 =

U 2 Z0

;

Z1 + Z

0

U 2 (Z1 + Z 2 + Z 0 )

I2 = H22U2

;

I2 =

U

2

=

,

Z э

(Z1 + Z 0 )Z 2

откуда имеем

Z 0

H12 =

= H21 = 2;

Z1 + Z 0

H22 =

(Z1 + Z 2 + Z 0 )

=

10 + j10

= 0,141 е–j45° = (0,1 – j0,1) См;

(Z1 + Z 0 )Z 2

j10 10

Z

1

Z

0

Z

1

− j20

2

(H )=

Z1 + Z 0

Z

1 + Z 0

(Z1

=

2

0,1−

.

Z1

+ Z 2 + Z 0 )

j0,1

+ Z 0 (Z

1 + Z 0 )Z

Z1

2

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

8.4. Матрица (А)

для Т- и П-образных схем четырехполюсника

Аналогично можно определить коэффициенты матрицы (А) для схем “Т” и “П” четырехполюсников и получить уравнения, связывающие параметры схемы с коэффициентами четырехполюсников.

Эквивалентная

Связь коэффициентов четырехполюсника

схема

с параметрами схемы

А11 = 1 + Z1Y0;

Y0 = A21;

А12 = Z1 + Z2 + Z1Z2Y0;

Z1 =

A11 −1

А21 = Y0;

;

А22 = 1 + Z2Y0

A21

Z 2 =

A22 −1

A12

“Т”-образная схема

А11 = 1 + Y2Z0;

Z0 = A12;

А12 = Z0;

Y 1 =

A22 −1

;

А21 = Y1 + Y2 + Y1Y2Z0;

А22 = 1 + Y1Z0

A

12

Y 2 =

A11 −1

“

A12

П”-образная схема

8.5. Опытное определение коэффициентов четырехполюсников

Коэффициенты (постоянные) четырехполюсника могут быть определены экспериментально из опытов холостого хода и короткого замыкания.

Наиболее часто используются уравнения типа “А”, поэтому опреде-

лим А11, А12, А21, А22.

Уравнения

Х.Х. (Zн = ∞)

К.З. (Zн = 0)

четырехполюсника

I2 = 0

U2 = 0

“А”

Z

=

U 1x

=

A11

(1)

Z

=

U 1к

=

A12

(2)

U1 = A11U2 + A12I2,

1х

I1x

A21

1к

I1к

A22

I1 = A21U2 + A22I2

ОХХ, I1 = 0

ОКЗ, U1 = 0

“Д”

Z

=

U 2x

=

A22

(3)

Z2к =

U 2к

=

A12

(4)

U2 = А22U1 + А12I1,

2х

I

A

I

A

I2 = А21U1 + А11I1

2x

21

2к

11

Здесь Z1к, Z1х – комплексные сопротивления четырехполюсника в режимах короткого замыкания и холостого хода со стороны первичных зажимов; Z2к, Z2х – со стороны вторичных зажимов при обратном