ТОЭ УП ч. 1

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Мгновенные значения					Комплексные изображения
гармонических функций						гармонических функций
e(t) = Em sin(ωt + ψe),		E =	E	m	е	jψ	jψ
i(t) = Im sin(ωt + ψi),						e = E е	e,
e(t), i(t) – мгновенные значения.				2
			Im
Изображение гармониче-		I =			еjψi = I еjψi,
ских функций волновыми			2
функциями:		E, I – комплексы действующих значений;
		Изображение				j =	−1 , j2= –1.
						гармонических функций ком-
		плексными числами на комплексной плоско-
		сти (векторами E, I):

			π
	ϕ = ψe – ψi;	0 ≤ ϕ ≤ ±			;
где ϕ – разность фаз			2
	(сдвиг фаз)	напряжения и тока.

Таким образом, если нужно сложить два тока: i(t) = i1(t) + i2(t), то вместо сложения волновых функций достаточно сложить два комплексных числа, заменив синусоиды комплексными числами.

Например: при заданных токах i1(t) =10sin(ωt + 60 ) A и

i2 (t) =8sin(ωt −30 ) A необходимо рассчитать ток i(t) =i1(t) + i2 (t) . 1. Необходимо мгновенные значения токов перевести в комплексную форму

	i (t) → I	m1	=10e j60 = 5 + j8,66 ;	i (t) → I	m2	=8e− j30	= 6,93 − j4.
	1			2
2.	Рассчитываем комплексную амплитуду искомого тока
	I m = I m1 + I m2 = 5 + j8,66 + 6,93 − j4 =11,93 + j4,66 =12,8e j21.34 A.
3.	Переходим к функции времени

I m =12,8e j21.34 →i(t) =12,8sin(ωt + 21,34 ) A.

Сложению комплексных чисел соответствует сложение векторов на комплексной плоскости, длина которых соответствует одному масштабу, например, mI = 4 A/см:

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Зная ток i(t), можно вычислить его значение в любой момент времени, например при t= 0:

i(0) =12,8sin 21,34 = 4,65 A.

Для расчета цепи с гармоническими источниками изображается схема замещения в комплексной форме, где каждому элементу соответствует комплексное изображение: i ↔ I, e ↔ E, u ↔ U, пассивные элементы ↔ .

2.2. Закон Ома в комплексной форме

Если известны на входе пассивного двухполюсника ЭДС и ток: e(t) = Em sin(ωt + ψe), i(t) = Im sin(ωt + ψi),

тогда их комплексы действующих значений будут равны

E = E еjψe; I = I еjψi.

Отношение комплексного напряжения (ЭДС) к комплекс-

ному току называют комплексным сопротивлением:

	E		Ee jψe		E		j(ψe – ψi)	jϕ
Z =		=	Ie jψi	=		е		= Z е ;
	I				I

Z = Ze jϕ – комплексное сопротивление пассивного двухполюсника;

	I =	E	= EY	, где	Y =	1		– комплексная проводимость.
		Z				Z

Это закон Ома в комплексной форме.

Z – модуль комплексного сопротивления,

ϕ – аргумент комплексного сопротивления, равный углу сдвига фаз между напряжением (ЭДС) и током.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

2.3.Законы Кирхгофа в комплексной форме

2.3.1.Первый закон Кирхгофа (для узла или сечения)

Алгебраическая сумма токов в узле (сечении) равна нулю

Для мгновенных значений							В комплексной форме
–i1 – i2 + i3 = 0,						–I1 – I2 + I3 = 0,
	∑± ik		= 0		;		∑± I k		= 0		;

“+” – токи, выходящие из узла; “–” – токи, входящие в узел.

2.3.2. Второй закон Кирхгофа (для замкнутого контура)

В контуре алгебраическая сумма ЭДС и напряжений на зажимах источников тока равна алгебраической сумме падений напряжений на пассивных элементах.

Для мгновенных значений

В комплексной форме

∑± uk = ∑± ek + ∑± uJk ;		∑± Z k I k = ∑± E k + ∑±U Jk ;
	Zk – комплексное сопротивление ветви.

Для записи уравнений по II закону Кирхгофа необходимо расставить стрелки токов (произвольно) и выбрать направление обхода контура, и если стрелки ЭДС, UJ или тока совпадают с направлением обхода, то эти величины входят в уравнение со знаком “+”, не совпадают – со зна-

ком “–”.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Пример
для мгновенных значений	в комплексной форме

–i1R + L		di2	+	1	∫i3dt	= e(t) – uJ(t).		–Z1I1 + Z2I2 + Z3I3 = E – UJ.
		dt		C

2.4. Эквивалентные преобразования электрических цепей

Преобразование считается эквивалентным, если оно не изменяет токи и напряжения в непреобразованной части цепи.

2.4.1. Последовательное соединение

Сопротивления соединены последовательно, когда по ним течет один и тот же ток:

Zэ = Z1 + Z2 + Z3; Z э = ∑Z k .

При последовательном соединении сопротивления суммируются.

2.4.2. Параллельное соединение

Сопротивления соединены параллельно, когда к ним приложено одно и то же напряжение, т. е. они подключены к одной паре узлов.

При параллельном соединении суммируются проводимости:

Yэ = Y1 + Y2 + Y3

						Yk = 1/Zk
			Yэ	=ΣYk		.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Частные случаи

а) параллельно соединены две ветви

Z э = ZZ 1+ZZ

1

.

Зная ток I, подходящий к двум параллельным ветвям, можно найти токи в этих ветвях.

Правило распределения токов в параллельных вет-

вях:

	I 1	= I		Z 2	;	I 2	= I		Z 1
			Z 1	+ Z 2				Z 1	+

;

б) еслипараллельно соединеныn одинаковыхветвейссопротивлениямиZ, то

Z э = Zn ;

в)	Zэ = 0, т. е. сопротивление Z замкнуто накоротко, через
	него ток не пойдет и его можно из схемы исключить.

Пример 1

Решение

Участок "b–b" – закоротка, поэтому узлы имеют одинаковые потенциалы, тогда

Rэ =	R1R2		+	R3 R4				=	40	+	20 60	= 35 Ом.
	R + R	2		R	3	+ R	4		2		80
1

R1 = R2 = 400 Ом;

R3 = 20 Ом;

R4 = 60 Ом

Определить Rэ

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Пример 2

Решение

Сопротивление R5 закорочено, определим Rэ:

Rэ = R1 +	R7 R6			+	R3(R2 + R4 )			=
	R + R				R + R + R
	7	6	2			3	4
= 20	+ 10 + 20 40					= 43,3 Ом.
			60

Все сопротивления одинаковы: по 20 Ом

Определить Rэ

2.4.3. Преобразование пассивного треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду сопротивлений и обратное преобразование

Кроме последовательных и параллельных соединений, в схеме могут быть и другие соединения – треугольник и звезда. Для приведения таких схем к более простым, содержащим последовательные и параллельные соединения, приходится прибегать к замене треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду или к обратному преобразованию.

Треугольником называют такое соединение, когда три сопротивления образуют замкнутый контур, а в местах соединения имеются узлы.

Звездой называют такое соединение, когда три конца сопротивлений соединены в общий узел, а три начала имеют разные потенциалы (начала и концы – условные понятия).

→

←

Z12

= Z1

+ Z2

+

Z 1 Z 2

;

Z1

=

Z 12

Z 31

;

Z 3

Z 12

+ Z 31 + Z 23

Z23

= Z2

+ Z3

+

Z 3 Z

2

;

Z2

=

Z 12

Z 23

;

Z 1

Z 12

+ Z 31 + Z 23

Z31

= Z3

+ Z1

+

Z 1 Z

3

;

Z3

=

Z 23

Z 31

.

Z 2

Z 12

+ Z 31 + Z 23

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

В случае, когда все сопротивления заменяемой схемы одинаковы

(такая схема называется симметричной звездой или симметричным тре-

угольником), выражения для эквивалентных сопротивлений упрощаются.

Z

Если Z12=Z23=Z31=Z , а Z1=Z2=Z3=Z , то Z =3 Z , Z = 3 .

2.4.4. Расчет цепи с одним источником

Расчет цепи с одним источником ЭДС или тока может быть проведен с использованием правил преобразования и законов Ома и Кирхгофа.

Цепь с источником ЭДС

Цепь с источником тока

Дано: E, Z1, Z2, Z3, Z4

Дано: J, Z1, Z2, Z3.

Рассчитать: I1, I2, I3

Рассчитать: UJ, I2, I3.

1. Рассчитываем Zэ

1. Рассчитываем Zэ

Z э

= Z1

+

Z 2 (Z 3 + Z 4 )

.

Z э

= Z1 +

Z 2 Z 3

.

Z 2 + Z 3 + Z 4

Z 2 + Z 3

2. Рассчитываем ток источника ЭДС по

2. Рассчитываем напряжение источника

закону Ома

E

тока по закону Ома

I1 =

U

J = Z э J

Z э

3. По правилу распределения токов

3. По правилу распределения токов

в параллельных ветвях (§ 2.4.2) находим

в параллельных ветвях (§ 2.4.2)

токи

Z 3 + Z 4

находим токи

Z 3

I

2 = I1

;

I 2

= J

;

Z 2

+ Z3

+ Z 4

Z 2 + Z

3

I

3 = I1

Z 2

I 3

= J

Z 2

.

Z 2

+ Z 3

+ Z 4

Z 2 + Z

3

4. По законам Кирхгофа делаем

4. По законам Кирхгофа делаем

проверку

I1 = I 2 + I 3 ;

проверку

J = I 2 + I 3 ;

E = Z1 I1 + Z 2 I 2

U

J = Z1 J + Z 2 I 2

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Пример

Дано: Е = 220 В; R1 = 10 Ом;

R2 = 20 Ом; R3 = R4 = R5 = 30 Ом.

Определить показания приборов: вольтметра UV и амперметра IA.

Решение

Следует иметь в виду, что наличие приборов не влияет на токораспределение цепи. Расчетную схему следует для наглядности рисовать без

измерительных приборов, учитывая, что внутреннее сопротивление амперметра мало и может быть принято равным нулю, а внутреннее сопротивление вольтметра велико и обычно принимается равным бесконечности, т. е. RA=0 и RV= ∞. Показание вольтметра UV как напряжение на сопротивлении R4 находится по второму закону Кирхгофа для контура acba, причем это напряжение обозначается стрелкой против тока IA и учитывается при составлении уравнения как ЭДС:

UV = R2I2 – R1I1.

Показание амперметра IA, как ток в сопротивлении R4 определяется по закону Ома

I A = UV . R4

Для определения токов I1 и I2 необходимо преобразовать, например, треугольник bcd в звезду: т. к. R = R3 = R4 = R5=30 Ом, то R = Rb =

Rc = = Rd = R3 / 3=10 Ом.

В результате получаем преобразованную схему, в которой проведем следующие расчеты:

1. Определяем эквивалентное сопротивление

			R	= R +		(R1 + Rb ) (R2 + Rc )		=
			э	d		R1 + Rb + R2 + Rc
				=10 +	(10 +10) (20 +10)			= 22 Ом.
2. Определяем ток источника ЭДС					10 +10 + 20 +10
I =	E	=	220 =10 А.
	R
			22
	э

3. Определяем токи в параллельных ветвях по правилу их распределения:

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

I1	= I			R2 + Rc			=10	30	= 6 А;
			R1	+ Rb + R2	+ Rc			50
I2	= I			R1 + Rb			=10	20	= 4 А.
			R1	+ Rb + R2	+ Rc			50

4. Определяем показание вольтметра

UV = R2I2 – R1I1= 20 4 −10 6 = 20 В. 5. Определяем показание амперметра

I A = UV = 20 = 0,66 А. R4 30

Ответ: UV = 20 B; IA = 0,66 A.

2.5.Пассивные элементы R, L, C

вцепи с гармоническим источником

Ток в проводниках неразрывно связан с магнитным и электрическим полями. Кроме того, часть электромагнитной энергии в проводниках, а иногда и в окружающей среде преобразуется в тепло. Для того чтобы упростить рассмотрение процессов, электрическую цепь заменяют идеализированной схемой, каждый элемент которой связан только с одним из видов энергии. Элементы, в которых наблюдается только необратимое преобразование электромагнитной энергии в тепловую, характеризуются активным сопротивлением R или активной проводимостью G. Элементы, связанные только с магнитным полем и не имеющие активного сопротивления, характеризуются индуктивностью L или взаимной индуктивностью M.

Элементы, связанные только с электрическим полем, характеризуются емкостью С, которая в цепи переменного тока не является местом разрыва. При изменении напряжения, приложенного к конденсатору, меняется заряд q на его обкладках, что приводит к прохождению тока через конденсатор:

i = dqdt = C dudtC .

Пока мы ограничимся рассмотрением идеализированной цепи, в которой элементы R, L, C сосредоточены каждый в отдельном месте и не влияют друг на друга. Такие цепи называются цепями с сосредото-

ченными параметрами.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

1. Резистивный элемент

Уравнения	Уравнения для действующих
для мгновенных значений	значений в комплексной форме

i = Im sin(ωt + ψi)

u = uR; uR =iR ,

u = Im R sin(ωt + ψi) = = Um sin(ωt + ψi),

Um = RIm ,

или

U = RI ,

где U =Um	.
2

ЗаконОмасправедливдля мгновенных, максимальных идействующих значений

↔	I = I е	jψi	; I =	Im	;
				2

комплексная форма

U = U еjψi,

ZR = UI = UI еj(ψi -ψi) = UI ,

ZR = R ,

I=U/R,

ϕ = 0 .

Закон Ома для резистивного элемента в комплексной форме

	Волновые диаграммы		Векторные диаграммы

На активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе:

ϕ = 0 .

Мощность

Мгновенная мощность p = u i = UmImsin2 ωt = U I (1 – cos2ωt).

Среднее значение мгновенной мощности за период называют ак-

тивной мощностью

1 T

P = T 0∫ p dt = UI cosϕ;

P = UI cosϕ ;

т. к. ϕ = 0, то для резистора

P = UI = I2R .

2. Индуктивный элемент

Уравнения для	Уравнения для действующих
мгновенных значений	значений в комплексной форме