ТОЭ УП ч. 1

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

(3) –I3 – I4 + I5 = 0; контуры: (I) Z1I1 + Z3I3 + Z5I5 = E1;

(II) Z3I3 – Z2I2 = –E4;

(III)Z5I5 = E4 + UJ.

2.Решая систему уравнений, получаем I1, I2, I3, I4, I5, UJ.

3.Для контроля результатов расчета составим баланс активных и реак-

тивных мощностей:

Sи = Е1 I 1 + Е4 I 4 + UJ J = P1 + jQ1 + P4 + jQ4 + PJ + jQJ = = (P1 + P4 + PJ) +j(Q1 + Q4 +QJ) = Pи + jQи;

Pп = I12 R1 + I32 R3 + I52 R5;

Qп = I12 XL1 – I 22 XC2 – I52 XC5;

Pи = Pп; Qи = Qп.

3.3. Метод контурных токов

Сущность метода В расчет вводятся контурные токи, которые протекают по независимым

контурам. Составляется система к2 = Nв – Nу + 1 уравнений для любого “к” контура по алгоритму (1):

Z kk I kk + ∑+Z km I mm = Ekk

,

(1)

где Zkk= ∑ Zk – собственное сопротивление “k” контура;

Zkm – общее сопротивление ветви между “k ” и “m” контурами;

“+” – если контурные токи через эту ветвь текут в одном направлении; “–” – если противоположно;

Iкк – контурный ток “k” контура;

Imm – контурный ток соседнего “m” контура;

Еkk – контурная ЭДС “k” контура, равна алгебраической сумме всех ЭДС “к” контура и напряжений на зажимах источников тока;

Еkk= ∑ ±Еk + ∑ ±UJk;

“+” (Еk, UJk) – если их направления совпадают с направлением контурного тока; “–” – если противоположно.

Порядок расчета

1.Выбираются направления контурных токов для независимых (к2) контуров.

2.Составляется система уравнений по алгоритму (1).

3.Решается полученная система уравнений, определяются контурные

токи.

4.По контурным токам определяются действительные токи ветвей, как алгебраическая сумма контурных токов, проходящих через эту

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

ветвь. Причем контурные токи, совпадающие по направлению с действительными, записываются с “+”, противоположные – с “–”.

Примечание. Контурные токи выбирать так, чтобы через источник тока проходил только один контурный ток, равный по величине и направлению току источника тока.

Контурные уравнения для схемы (б)

1.Количество независимых контуров к2 = 3, направление контурных токов указано на схеме с учетом примечания.

2.Составляем систему трех уравнений по алгоритму (1)

	контуры:	I33 = J,
	I (Z1 +Z 3 +Z 5 )I11 +Z 3 I 22 = E1 −JZ 5 ;
		Z 3 I11 +(Z 2 +Z 3 )I 22 = −E 4 ;
	II
		Z 5 I11 −0I 22 −	U	J =E 4 −JZ 5.
	III

3. Решив полученную систему уравнений, определим контурные то-

ки I11, I22 и UJ.

4. По контурным токам определим действительные токи ветвей:

I1 = I11;	I4 = I33 – I22 = J – I22;
I2 = –I22;	I5 = I11 + I33; = I11 + J.
I3 = I11 + I22;

3.4. Метод узловых потенциалов

Сущность метода

Неизвестными принимаются потенциалы узлов (ϕ). Потенциал одного узла принимается равным нулю (базисный), а потенциалы остальных узлов определяются. Составляется система узловых уравнений к1 = Nу – 1 для любого “k” узла по алгоритму

Y kk ϕk −∑Y km ϕm = I kk

,

(2)

где Ykk = ∑ Yk – собственная узловая проводимость “k” узла, равна сумме проводимостей ветвей, присоединных к данному узлу; Ykm – общая проводимость ветвей, соединяющих “k” и “m” узлы; Ikk – узловой ток “k” узла;

Iкк = ∑ ±EкYк + ∑ ±Jк ,

“+” – если Еk или Jk направлены к узлу “k”; “–” – если от узла.

Порядок расчета

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

1.Выбирается базисный узел (ϕ = 0), причем если в схеме есть ветвь

сидеальной ЭДС (сопротивление которой равно нулю), то за базисный следует выбрать один из узлов этой ветви, например:

если принять ϕ1 = 0, то ϕ2 = Е; если ϕ2 = 0, то ϕ1 = – Е.

особая ветвь

2.Для остальных к1 = Nу – 1 – Nов узлов составляется система уравнений по алгоритму (2). Nов – количество особых ветвей.

3.Решая полученную систему уравнений, определяют неизвестные потенциалы.

4.По известным потенциалам определяют токи по обобщенному закону

Ома:

I k	ϕm −ϕn	± Ek	,	(3)
	Z k

где +ϕm – высший потенциал (из которого ток “вытекает”);

–ϕn – низший потенциал;

+Ek – если Ek совпадает по направления с током Ik;

–Ek – если против тока;

Zk – сопротивление “k” ветви.

Узловые уравнения для схемы (б)

1. Так как в схеме есть “особая” ветвь, то примем ϕ4 = 0, тогда

ϕ3 = E4, к1 = Nу – 2 = 4– 2 = 2 (т. к. ϕ3 известен).

2. Составляем систему двух уравнений по алгоритму (2): узлы:

1

Y

ϕ −Y

ϕ

−Y

ϕ

= I

,

11

1

12

2

13

3

11

−Y

21 ϕ −Y

ϕ

= I 22

2 Y 22 ϕ

2

23

3

1

или

1

1

1

1

E1

−J ,

+

ϕ1

−

ϕ2 −

ϕ3 = −

Z1

Z 5

Z1

Z1

Z 5

1

1

1

1

1

E1

−

ϕ +

+

+

ϕ

2

−

ϕ

3

=

Z1

1

Z 2

Z 3

Z1

Z1

Z 3

(проводимость ветви с источником тока равна нулю).

3.Решая полученную систему уравнений, определяем ϕ1, ϕ2.

4.Определяем токи по найденным потенциалам по уравнению (3):

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

ϕ −ϕ

2

+ E1

ϕ

2

− ϕ

3

I1 =

1

;

I3 =

;

Z1

Z 3

I2 =

ϕ2

;

I5 =

ϕ3 − ϕ1

.

Z 2

Z 5

Ток ветви, в которой отсутствует сопротивление, определяется по первому закону Кирхгофа

I4 = I5 – I3.

3.5. Метод наложения

Сущность метода На основании принципа независимости действия источников в

линейной цепи, ток ветви можно рассматривать как алгебраическую сумму частичных токов, вызванных отдельными источниками:

Ik = Ik′ + Ik′′ +…+ Ikn

,

(4)

где n – количество источников в схеме. Порядок расчета

1.Схема разбивается на “n” подсхем, в каждой из которых действует один источник, остальные исключаются: источники ЭДС – замыкают накоротко, ветвь с источником тока отключается.

2.Полученные подсхемы рассчитываются любым методом.

3.Определяются действительные токи ветвей по уравнению (4).

Пример

В схеме (б) определим I1 методом наложения: I1 = I1' + I1" + I1"' .

Необходимо составить 3 подсхемы.

1. Е4 = 0; J = 0.

Ток через источник можно рассчитать по закону Ома:

		I 1' =		E1		,
				Z экв
	где Zэкв = Z1 + Z5 +		Z 2 Z 3		.
			Z 2 + Z 3
	2. Е1 = 0; J = 0.						E 4
	Определим I "4 по закону Ома: I "4 =							,
							Z экв

	СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н.
	«Теоретическиеосновыэлектротехники»
		часть1, 2009г
где Zэкв = Z2 +	Z 3 (Z 1 + Z 5 )
		.
	Z 1 + Z 3 + Z 5

Ток I 1" определим по правилу параллельных ветвей

	"	"		Z 3
	I 1	= I 4			.
			Z 1	+ Z 3 + Z 5

3. Е1 = 0; Е2 = 0.

Определим I 1''' по правилу параллельных ветвей:

'''			Z 5
I 1	= – J					.
			Z 2 Z 3
		Z1 +			+ Z 5
			Z 2 + Z	3

4. Определяем I1 = I 1' + I 1'' + I 1''' .

3.6. Метод эквивалентного генератора

Сущность метода Если требуется определить ток в одной ветви, то всю остальную

цепь можно заменить эквивалентным генератором с параметрами Eг и Zг (или Jг и Zг) по теореме об эквивалентном генераторе.

А – активная цепь

а)		б)

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

	I Н	=		E Г				I н =	J Г Z Г
			ZГ	+ Z Н					Z Г + Z Н
– формула Тевенена – Гельмгольца;							– формула Поливанова – Нортона.

Порядок расчета

1.	Выбрать формулу а) или б).
2.	Если:
а), то разомкнуть ветвь ab, опреде-		б), то замкнуть накоротко ветвь
лить любым методом Uabxx.		ab и любым методом определить
		Iкз.

3.Определить Zг относительно точек а и b, отсоединив Zн, при этом все внутренние источники исключаются (источники ЭДС замыкают накоротко, источники тока – отключаются).

4.Определить ток по формуле а) или б).

Пример определения тока I1 для схемы (б).

1. Выбираем формулу а):

I Н	=		E Г		,	Ег = U1хx.
		Z Г	+ Z
				Н

2. Размыкаем ветвь и ставим стрелку U1xx против тока. Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа, причем Uхx учитываем как ЭДС.

Для внешнего контура

U1хx – Е1 = – Z5I5хx – Z3I3хx; U1хx = Е1 – Z5I5хx – Z3I3хx.

Определим I3x по закону Ома:

I3х = –	E 4	;
	Z 2 + Z 3

I5xx = J.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

	3. Определяем ZГ =	Z 2 Z 3	+ Z5.
		Z 2 + Z 3

4. Определяем I1 =	U 1xx
		.
	Z 1 + Z Г

Выводы по методам расчета

1.Метод законов Кирхгофа универсален, но громоздок в сложных схемах.

2.Метод контурных токов универсален, прост, эффективен для цепей с малым числом контуров, когда к2 < к1.

3.Метод узловых потенциалов – эффективен с малым числом узлов,

к1 < к2.

4.Метод наложения – частный, применим для простых схем с малым количеством источников.

5.Метод эквивалентного генератора – эффективен при расчете одного параметра.

3.7. Векторные диаграммы

Для наглядного суждения о токах и напряжениях на различных участках схемы строятся лучевые диаграммы токов и топографические диаграммы напряжений.

Лучевая диаграмма – все векторы токов строятся из одной точки, помещенной в начало координат комплексной плоскости. На диаграмме наглядно демонстрируется первый закон Кирхгофа для любого узла.

Топографическая диаграмма – из конца одного вектора напряжения следует другой. Диаграмма напряжений строится для контура на основании II закона Кирхгофа относительно векторов токов с учетом характера элементов (§ 2.5). Расположение векторов соответствует расположению элементов в схеме.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

	Активный			Индуктивный			Емкостной

При построении диаграммы напряжений потенциал одной точки принимается за ноль и эта точка помещается в начало координат. По диаграмме напряжений можно определить напряжение между любыми точками схемы, соединив эти точки и поставив стрелку.

Например:

Первая буква в обозначении указывает на точку высшего потенциала, т. е. точку, куда направлен вектор напряжения.

Пример построения диаграммы

Схема электрической цепи		Комплексная схема замещения

Пример

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Уравнения по законам Кирхгофа

вкомплексной форме:

1.I1 = I2 + I3.

2.UL1 + UR2 + UC2 + UC1 = E.

3.UR2 + UC2 – UR3 = 0.

Векторная диаграмма токов и напряжений

Рассчитать цепь, комплексная схема замещения представлена на рисунке.

Дано: E=75e− j15,6 = (72,24 – j20,17) B;

J = 1e− j60 = (0,5 – j0,866) A; Z1 = –j22,7 Ом;

Z2	= (14,4 – j25) Ом;
Z3	= 28,8 Ом; Z4 = j33,3 Ом;
Комплексная схема замещения Z5	= (14,4 – j25) Ом;

Рассчитать: I1, I2, I3, I4, I5, UJ. Составить баланс мощностей; построить векторные диаграммы токов

и напряжений.

Решение

Так как в схеме к1 = 4 – 1 = 3, к2 = 6 – 4+1 = 3, но в третьем контуре находится источник тока, то контурный ток этого контура равен току источника, тогда количество неизвестных контурных токов равно двум, поэтому выбираем метод контурных токов. Направим контурные токи против часовой стрелки, и составим систему трех уравнений

I33=J

(Z1 + Z	4 + Z 5 )I11 − Z 4 I 22 = E + Z 5 I 33,	(1)
	+(Z 2 + Z 3 + Z 4 )I 22 = Z 3 I 33,	(2)
− Z 4 I11
	−Z 3 I 22 −uJ = −(Z 3 + Z 5 )I 33.	(3)
− Z 5 I11

Решая полученную систему с помощью определителей или с помощью стандартной программы ЭВМ, получим

I11=2 A; I22=1 e j60 =0,5+j0,866 A; UJ = – 43,19 – j24,83 = 49,82 e− j150 B.

Примечание. Можно сначала совместно решить (1) и (2) урав-

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

нение, т.к. в них не входит UJ, а затем из (3) рассчитать UJ.

Теперь по контурным токам рассчитаем токи ветвей:

I1 = I11 = 2 A; I2 = I22 = 1e j60 A;	I3 = I22 –I33 = j1,73=1,73e j90 A;
I4 = I11 – I22 = 1,73 e− j30 A;	I5 = I11 – I33 = 1,73 e j30 A.

Составим баланс мощностей.

Комплексная мощность источников

*			*
Su = E I1 +	U	J	J = (72,24 – j20,17)	2 +
+ (–43,19 – j24,83)(0,5 + j0,866) = (144,3 – j90,5) BA;
Pu = 144,3 Вт;			Qu = –90,5 вар.

Мощность потребителей

Rk = Re Zk ; XLk = Im Zk ;

Pп = I22 R2 + I32 R3 + I52 R2 =12 14,4 +1,732 28,8 +1,732 14,4 =144 Вт;

Qп = I12 (− X1 )+ I 22 (− X 2 )+ I 42 X 4 + I52 (− X 5 )=

= 22 (− 22,7)+12 (− 25)+1,732 33,3 +1,732 (− 25)= −90,2 ВАр.

Погрешность вычислений

δP = Pu − Pп 100 %=	144,3 −144	100	% = 0,2 % < 1 %;
Pu	144,3
δQ = Qu −Qп 100 %=	90,5 −90,2	100	% = 0,33 % < 1 %.
Qu	90,5

Построим лучевую диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений. Для этого изобразим комплексную схему замещения, представив заданные сопротивления Z в виде активных и реактивных элементов. Вычислим падения напряжения на каждом элементе в комплексной форме.

Масштаб:

mI = 0,5 А/см; mU = 10 В/см.