ТОЭ УП ч. 1

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

I1 = 2 A; I 2 =1e j60 A ;

I 3 = j1,73 A; I 4 =1,73e− j30 A ;

I 5 =1,73e j30 A ;

U J = 49,82e− j150 B;

E = 75e− j15,6 B ; J =1e− j60 A ;

U X1

= I1(− jX1 )= 2(− j22,7)= − j 45,4 B;

U

R2

= I

2

R

=1e j60 14,4 =14,4e j60 B;

2

U

X 2

= I

2

(− jX

2

)=1e j60 (− j25)= 25e− j30

B;

U R3

= I 3R3 = j1,73 28,8 = j49,82 B;

U

X 4

= I

4

jX

4

=1,73e− j30 j33,3 =57,6e j60

B;

U

R5

= I

5

R

=1,73e j30 14,4 = 24,91e j30 B;

5

U

X5

= I

5

(− jX

5

)=1,73e j30 (− j25)= 43,25e− j60 B.

Сначала строим лучевую диаграмму токов по комплексным значениям токов, по которой можно проверить выполнение I закона Кирхгофа для каждого узла.

Для построения топографической диаграммы напряжений примем ϕd = 0 и поместим точку d в начало координат. От точки d строим векторы напряжений в той последовательности, как они нарисованы на схе-

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

ме, ориентируя их относительно своих токов согласно характеру элемента (см. § 3.7) и проверяя соответствие углов напряжений относительно положительной действительной оси.

По топографической диаграмме напряжений проверяем выполнение второго закона Кирхгофа для каждого контура, следовательно, убеждаемся в правильности расчетов.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Тема 4 РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Резонансом называют такой режим пассивной цепи, содержащей L и С, при котором входное реактивное сопротивление или входная реактивная проводимость равны нулю, при этом входной ток и напряжение совпадают по фазе.

Различают резонанс напряжений и резонанс токов.

4.1.Резонанс напряжений

1.Условие резонанса напряжений в сложной цепи.

Резонанс напряжений наблюдается в электрической цепи с после-

довательным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости. При резонансе напряжений индуктивное сопротивление одной части цепи компенсируется емкостным сопротивлением другой части цепи, последовательно соединенной с первой. В результате реактивное сопротивление и реактивная мощность на зажимах цепи равны нулю.

Тогда можно записать условие резонанса напряжений в сложной

цепи:

X = Jm(Z) = 0. Z = R + jX.

2.Резонанс в последовательном контуре R, L, C. Неразветвленная цепь, состоящая из последовательно соединен-

ных элементов R, L, C, представляет один из простейших случаев резонансной цепи.

		Схема					Условие резонанса:
						X = ω0L –		1	= 0;
								ω0C
						ω0 =	1	– резонансная угловая
							LC
								частота
			1
Z = R + j		ωL −		= R + jX
			ωC

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Основные соотношения	Векторная диаграмма
при резонансе:

U

Zmin = R; Imax = R ;

ϕ = arctg

X

= 0;

R

1

UL = jω0L I ; UC = –j

I ;

ω0C

U L

=

U C

(по модулю);

U = U R , P=UI (Вт), Q=0 (вар).

Характеристическое сопротивление кон-

U L

U C

1

L

тура

ρ =

=

= ω0L =

=

I

I

ω0C

C

Так как в режиме резонанса

q =

U L

U C

ρ

ω0 L

1

напряжений ток достигает мак-

=

=

=

=

;

U

U

R

R

ω0CR

симального значения, то напря-

q >> 1, если ρ >> R.

жение на индуктивности и емко-

сти при резонансе может значи-

тельно превышать напряжение на

входных клеммах цепи.

Добротность контура q пока-

зывает, во сколько раз напряже-

ние на каждом из реактивных

элементов превосходит входное

напряжение в режиме резонанса.

4.2. Частотные и резонансные характеристики

Если к последовательному резонансному контуру приложено синусоидальное напряжение u = Umsinωt, амплитуда которого неизменна, а частота может изменяться в пределах от 0 до ∞, – это приведет к изменению его реактивного и полного сопротивления, угла ϕ.

Зависимости от частоты параметров цепи называют частотными характеристиками, зависимости действующих или амплитудных значений тока и напряжения от частоты – резонансными кривыми.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Зависимости реактивных сопротивлений от частоты:

XL = ωL;

1

XC = ωС ;

X = XL –XC.

Зависимость тока от частоты (АЧХ):

I =	U				1 2 ;
R2 + ωL			−
					ωC
при ω = ω0	Im =	U
		R				ω2 − ω1
							= Пf – полоса пропускания
						2π

Зависимость фазы от частоты (ФЧХ):

X1

ϕ= arctg R ; X = ωL – ωC

при ω = ω0 ϕ = 0

Зависимость UL и UС от частоты:

1

UL = ωLI; UC = ωC I

ωC < ω0 < ωL; при ω = ω0 UL = UС

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

		Влияние добротности контура
		на ход резонансной кривой:
	I		ω
		= f			;
	Im		ω0
	I	=				1				2 =
	Im			2		ω		ω	0
		1 + q					−
						ω0		ω
1		;
											чем больше q, тем уже полоса
1 + ξ2
											пропускания контура

q ωω0 − ωω0 = ξ;

ξ – обобщенная расстройка контура, при резонансе

ξ= 0

4.3.Резонанс токов в параллельном контуре R, L, C

Резонанс токов наблюдается в электрической цепи с параллельным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости.

При резонансе токов индуктивная проводимость одной части цепи компенсируется емкостной проводимостью другой части цепи, параллельно соединенной с первой. В результате реактивная проводимость и реактивная мощность на зажимах цепи равны нулю.

Условие резонанса токов:

Jm(Y) = 0, B = 0, где Y = G – jB.

Резонансный контур без потерь

					Условие резонанса:
			B = BL – BC =		1	– ω0C = 0;
					ω0 L
			ω0 =		1
					LC – резонансная частота
	Y = G – j(BL – BC) = G – jB			Векторная диаграмма
	Основные соотношения:
Ymin = G; Imin = U G = U/R = IR;
IL = U/jω0L; IC = jUω0C;

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

IL = IC (по модулю);

ρ = L/C – характеристическое сопротивление;

	q =	I L	=	IC	=	ρ	– добротность контура
		I		I		R

I′ = I L + I C = 0 ,

или

I′ =U B = 0

Частотные характеристики:

1

BL = ωL ; BC = ωC;

B = BL – BC ; I = UY

Резонансный контур с потерями

Условие резонанса:

B = 0;

B =		X L	–		X C	=
	R 2	+ X 2		R 2	+ X 2
1		L	2		C

= BL –BC = 0

Y = G –jB

Основные соотношения: Векторная диаграмма

Ymin = G = G1 + G2 =

=		R1	+		R2	;
	R 2	+ X 2		R 2	+ X 2
1		L	2		C

Imin = UG = UG1 + UG2 = Ia1 + Ia2 ;

Iр1 = –jUBL; I р2 = jUBC;

Iр2 = I р1 (по модулю).

Ток в неразветвленной части схемы по величине может быть меньше, чем токи в ветвях схемы.

При R2 = 0 и R1 ≈ 0 ток I может оказаться ничтожно малым по срав-

нению с токами I1 и I2. В идеализированном режиме, когда R 1 =

= ∞, т. к. XL = XC

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

R 2 = 0, входной ток I равен нулю и входное сопротивление схемы равно бесконечности:

XЭ = X L (−XC ) X L − XC

Резонансная частота

ρ	2	2		Возможны 3 случая:
		− R1
ωр = ω0 ρ2 − R22			R1,	R2	> ρ,			резонанс
		1.	R1,	R2	< ρ,
								возможен.
			R = 0 или R			= 0
			1	2				1
		2. R1 = R2, ωр = ω0 =
								LC .

3. R1 = R2 = ρ, резонанс при любой частоте.

Резонанса можно добиться путем изменения ω, L, C или путем изменения R1 и R2.

Сводная таблица основных величин, характеризующих резонанс напряжений и токов

Тип

Условие

Входной ток

ρ

q

ωр

резонанса

Jm(Zэ ) = 0;

L / C

U

р

=

ρ

1

= ω0

напряжений

Zэ = R; X = 0

максимальный

U

R

LC

Jm(Yэ ) = 0;

L / C

Iр

=

ρ

ρ2 − R12

токов

Yэ = G; B = 0

минимальный

I

R

ω0 ρ2 − R2

2

Up, Ip – напряжение и ток на одном из реактивных элементов. Резонансные цепи очень широко применяются в электротехнике

и представляют неотъемлемую часть всякого радиотехнического устройства.

Способность резонансного контура пропускать или задерживать электрические колебания только определенной частоты (резонансной или близкой к ней) используется в электрических фильтрах.

Использование резонанса токов позволяет при малой мощности источника получить большие токи в параллельных ветвях.

Резонанс напряжений – при малом напряжении источника получить большие напряжения на реактивных элементах. И напротив, в цепях сильного тока это явление недопустимо, называется перенапряжением и является аварийным.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Резонанс токов в цепях сильного тока используется на предприятиях для повышения cos ϕ электроустановок (см. пример 4).

Пример 1

Определить индуктивность, при которой в цепи с параметрами R=500 Ом; С=2 мкФ на частоте ω=103 рад/с наступит резонанс.

Определить добротность контура.

Решение

Преобразуем цепь, заменив параллельно соединенные двухполюсники эквивалентными последовательными элементами.

R(− jX C )

500(− j500)

ZЭ =

=

= (250 − j250)Ом,

R − jX C

500 − j500

где XC =

1

=

10

6

= 500 Ом

ωС

103

2

Следовательно, RЭ =250 Ом; XCЭ =250 Ом. Условие резонанса для по-

следовательного контура XL = XCЭ, отсюда L =

X L

= 250

= 0,25 Гн.

ω

Добротность контура

103

q =

X L

=

250

=1.

R

250

Э

Пример 2

В режиме резонанса в контуре с добротностью q=3 напряжение на емкости UC = 30 B.

Определить входное напряжение и напряжение на катушке с параметрами R, XL.

Решение

Построим векторную диаграмму.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Так как добротность контура q = 3, сле-

довательно, UUC = 3; U = U3C =10 B. Из диа-

граммы следует, что напряжение на катушке равно геометрической сумме напряжений UR и UL, тогда

UК = UR2 +U L2 = 302 +102 = 31,6 B. Ответ: U = 10 B, UК =31,6 В.

Пример 3

Известно, что в цепи резонанс и R = XL = 10 Ом. Показание вольтметра электромагнитной системы UV = 50 B. Рассчитатьвходнойток, входноенапряжение, напряжениенаемкости, активнуюмощностьисопротивлениеXC .

Решение

Построим векторную диаграмму, начав с вектора UL = UV, построив его по вещественной оси. Затем построим токи IL и IR относительно UL соответственно характеру сопротивлений ветвей, равные по модулю, т. к. XL = R .

Ток входной I равен геометрической сумме этих токов: I = IL + IR. Так как в цепи резонанс, то входное напряжение совпадает по фазе с

током, поэтому вектор U строим из точки a по направлению тока I. За-

тем из точки b проводим вектор UC, отстающий от тока I на π2 до точки с.

Полученные треугольники токов и напряжений дают соотношения между искомыми величинами:

IR = IL =	UV		= 5 A ;	I = 2 I L = 5 2 A ;
U =UC = UV		R		X C = UC		25 2
		= 25 2 ;			=		= 5 Ом;
2				I		5 2

P =UI = 5 2 25 2 = 250 Вт.