ТОЭ УП ч. 1

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

i = Im sin(ωt + ψi)

↔

I = I е

jψI

;

I=

Im

;

2

di

U = UL,

u = uL = L

=

UL =UL ej(ψi + 90°),

dt

U

L

= LωIm sin(ωt + ψi + 90°) =

ZL =

=

I L

= ULm sin(ωt + ψi + 90°),

ULm = LωIm

,

U Le

j(ψi +90 )

или

=

=

I Le jψi

UL = LωI = XLI

= XL ej90° = jXL = jωL,

UL = jXLI

– закон Ома для максимальных

– законОмавкомплекснойформе;

и действующих значений;

ZL = jXL

XL = Lω

– комплексное сопротивление

– индуктивное сопротивление

Волновые диаграммы

Векторные диаграммы

На индуктивном элементе напряжение опережает ток на 90° (ток отстает):

ϕ = +90°

Мощность

Мгновенная мощность p = uLi = UL I sin2ωt.

Среднее значение активной мощности за период равно 0:

P = ULI cos90° = 0.

Величина запасенной энергии за Т/4

	T / 4	2
	WL = ∫uL i dt =	LI m	.
		2
	0

Реактивная мощность

QL = ULI sin90° = ULI = XLI2 , [QL] = [ВАр].

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

3. Емкостной элемент

Уравнения

Уравнения для действующих

для мгновенных значений

значений в комплексной форме

i = Im sin(ωt + ψi) ↔

I = I е

jψi

;

U = UC

u = uС =

1

∫i dt =

С

I m

=

sin(ωt +ψi – 90°) =

ωC

=UCmsin(ωt+ψi–90°)↔

UC=UC ej(ψi – 90°);

U Cm =

I m

,

U C

U C

j – 90°

ωC

= –jXC ,

ZC =

=

e

I

I

или

U C =

I

= X C I

UC = –jXCI

ωC

– закон Ома в комплексной форме;

– закон Ома для максимальных

и действующих значений;

1

XC =

ZC = –jXC

ωC

– комплексное сопротивление

– емкостное сопротивление

Волновые диаграммы

Векторные диаграммы

Наемкостномэлементенапряжениеотстаетоттокана90° (токопере-

жает):

ϕ = –90°

Мощность

Мгновенная мощность p = uС i = UС I sin2ωt.

Среднее значение активной мощности за период равно 0:

P = UСI cos90° = 0.

Величина запасенной энергии за Т/4:

T / 4

2

WС = ∫uС i dt =

CUCm

.

0

2

Реактивная мощность

Q

=U

C

I sin(−90

)= −U

C

I = −X

C

I 2

,

C

[QС] = [ВАр].

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

2.6. Последовательное соединение R, L, C

Элементы соединены последовательно, когда по ним проходит один и тот же ток:

e = Em sin(ωt + ψe).

Уравнение по II закону Кирхгофа для мгновенных значений

	uR + uL + uC = e, или Ri + L	di	+	1	∫i dt	= e.
		dt		C

Заменим полученное дифференциально-интегральное уравнение алгебраическим комплексным.

Комплексная схема замещения

Е =

Em

е

jψе

;

ZR = R;

2

ZL = jXL; ZC = –jXC ; UR + UL + UC = E;

RI + jXLI – jXCI = E;

(R + jX) I = E; X = XL – XC – реактивноесопротивление;

X может быть

0;

I =

E

– Закон Ома в комплексной форме;

Z

Z = R + jX = z еjϕ

– комплексное сопротивление цепи;

– при последовательном соединении комплексные сопро-

Z = R + ZL + ZC = R + jXL –jXC

тивления суммируются.

Векторная диаграмма

Треугольник сопротивлений

Z = R2 + X 2 , ϕ = arctg XR .

Топографическая диаграмма напряжений построена с учетом ха-

рактера элементов (§ 2.5). Вектор Е равен геометрической сумме векторов UR, UL, UC.

2.7. Параллельное соединение R, L, C

Элементы соединены параллельно, когда к ним приложено одно и то же напряжение.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

e = Em sin(ωt + ψe).

Уравнение по I закону Кирхгофа для мгновенных значений –

i = iR + iL + iC.

Комплексная схема замещения

Е = Е еjψе ;

ZL = jXL; ZC = –jXC ;

E

E

I = IR + IL + IC =

E

+

+

=

R

jX L

− jX C

1

1

1

=E

+

+

=E (G – jBL + jBC) = E Y;

R jX L

− jX C

– Закон Ома;

I = Y E

Y = G – jB = Ye -jϕ ; B = BL – BC;

1

= G;

1

= B ;

1

= B

L

,

R

C

X L

XC

где G – активная, B – реактивная проводимости;

– при па-

Y = G – jBL +jBC

раллельном соединении суммируются комплексные проводимости.

Векторная диаграмма

Треугольник проводимостей

Y = G 2 + B 2 , ϕ = arctg GB

Лучевая диаграмма токов построена с учетом характера элементов (§ 2.5). Ток I равен векторной сумме токов IR, IL, IC.

Комплексная проводимость ветви

Y =

1

=

1

=

R − jX

=

R

− j

X

= G – jB;

R +

jX

(R + jX )(R − jX )

R 2 + X 2

R 2 +

X 2

Z

G =

R

;

B =

X

.

Z 2

Z 2

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

2.8.Баланс мощностей

вцепи с гармоническими источниками

Электрические машины и аппараты конструктивно рассчитываются для работы при определенных значениях напряжения и тока. Поэтому их номинальной мощностью, от которой зависят размеры и стоимость машины, считают не активную мощность, зависящую от угла сдвига фаз, а так называемую полную мощность S = UI = ZI 2, [BA] – вольт-ампер.

Полная мощность S – максимальная мощность, которая может быть отдана генератором при заданных действующих значениях напря-

жения и тока. Отношение активной мощности к полной PS = cosϕ пока-

зывает степень использования электрической установки и называется

коэффициентом мощности. Реактивная мощность

Q = UIsinϕ = Ux I = XI 2 не определяет собой ни совершаемой работы, ни передаваемой энергии за единицу времени, т. к. реактивные элементы цепи (L и C) энергии не поглощают и средняя мощность их равна нулю.

Полная, активная и реактивная мощности связаны треугольником мощностей:

S = P2 +Q2 ;

ϕ = arctg QR

При расчете электрических цепей необходимо убедиться в правильности полученных значений токов, для этого необходимо рассчитать полную мощность источников и мощности потребителей и составить баланс мощностей.

Комплексная мощность источника

S и = E I ;

Е = Е еjψ1; I = I еjψ2 =I ‘+ jI “;

I = I е–jψ2 = I ‘– jI “– сопряженный комплекс тока.

Комплексная мощность

Sи = Е I = EI еj(ψ1–ψ2) =EI еjϕ = EI cosϕ + jEI sinϕ = Pи + jQи.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Если в схеме несколько источников напряжения и тока, то их комплексная мощность

Sи = ∑ ±Еk I + ∑ ±UJk J = Pи + jQи;

Pи = ∑ Pиk; Qи = ∑ Qиk;

“+” – если на схеме стрелки тока и полярности источников совпада-

ют;

“–” – если противоположны.

Активная Pп и реактивная Qп мощности потребителей

Pп = ∑ RIk,2

;

Qп = ±XkIk,2

;

“+” – индуктивное сопротивление; “–” – емкостное сопротивление; Ik – действующие значения токов.

На основании закона сохранения энергии

Pи = Pп ; Qи = Qп .

В этом заключается баланс мощностей. Он составляется для контроля правильности расчета.

2.9. Понятие об активных и реактивных, действительных и мнимых составляющих токов и напряжений

Активные и реактивные, действительные и мнимые составляющие токов и напряжений используются при построении векторных диаграмм и анализе электрических цепей при гармонических источниках.

	Каждый вектор может быть		Векторы напряжения и тока могут быть
	представлен на комплексной		представлены в виде активных и реак-
плоскости в виде действительной				тивных составляющих.
	и мнимой составляющих.

U =U ' + jU " =U e jψu ;				U	=	U	a +	U	p ;
		I = I ' + jI" = I e jψi .		I = I a + I p ;
			причем ϕ = ψu −ψi .

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Действительные составляющие

Активные составляющие напряжения

напряжения и тока:

и тока:

U ' =U cos ψu ;

U

a =Ua e jψi ;

Ua =U cosϕ;

I ' = I cos ψi .

I a = Ia e jψu ;

Ia = I cosϕ.

Мнимые составляющие

Реактивные составляющие напряжения

напряжения и тока:

и тока:

U " =U sin ψu ;

U

p =U p e j(ψi ±90

) ; U p =U sin ϕ;

I" = I sin ψ

i

.

I p = I p e j(ψu ±90

) ; I p = I sin ϕ.

Действующие значения

Действующие значения

напряжения и тока:

напряжения и тока:

U = (U ' )2 +(U " )2 ;

U = (Ua )2 +(U p )2 ;

I = (I ' )2 + (I" )2 .

I = (Ia )2 +(I p )2 .

Начальные фазы напряжения и тока:

Разность фаз напряжения и тока:

ψu = arctg

U "

; ψi = arctg

I"

.

ϕ = arctg

U p

= arctg

I p

.

U '

I '

Ua

Ia

Пример

Дано: e(t) =141sin(ωt + 90 ) , В;

R=20 Ом; L=0,2 Гн; C=500 мкФ; ω=100 1/с.

Определить:

а) показания приборов; б) записать мгновенное значение входного

тока i(t).

Решение

1. Вычислим сопротивления катушки индуктивности и конденсатора гармоническому (синусоидальному) току:

X L = ωL =100 0,2 = 20 Ом;

	X C =	1	=		1	= 20 Ом.
		ωC		100 500 10−6

2. Изобразим расчетную комплексную схему без измерительных

приборов, в которой представим ЭДС:
E =	Em	e jψe	=	141e j90	=100e j90	= j100 В.
	2			2

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

3. Рассчитаем комплекс входного сопротивления:
Z Э = − jX C +	R jX L		= − j20 +	20 j20	=
				20 + j20
	R + jX L
= − j20 + 400e j90		= − j20 +14,1e j45 =
28,2e j45

=− j20 +10 + j10 =10 − j10 =14,1e− j45 Ом.

4.Рассчитаем по закону Ома комплекс входного тока:

I =

E

=

100e j90

= 7,09e j135 А.

Z э

14,1e− j45

5. Определим комплекс тока IR

по правилу распределения токов

в параллельных ветвях:

I R = I

jX L

= 7,09e j135

j20

=

20

+ j20

R + jX L

= 7,09e

j135

20e j90

= 5e

j180

= −5

A.

28,2e j 45

6.Определим показания приборов:

а) амперметра IA=IR=|IR|= 5 A;

б) вольтметра UV=|UV|=|RIR|=|–100|=100 B.

7.Запишем мгновенное значение входного тока: i(t) = 7,09 2 sin(100t +135 ) , А.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Тема 3 МЕТОДЫ РАСЧЕТА

ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

3.1. Классификация основных методов расчета

Рассчитать электрическую цепь – это значит определить токи в ветвях и напряжение на зажимах источников тока по заданным ЭДС, токам источников тока и сопротивлениям ветвей.

Для расчета сложной цепи с несколькими источниками ЭДС и токов применимы следующие методы:

1.Метод уравнений Кирхгофа.

2.Метод контурных токов.

3.Метод узловых потенциалов.

4.Метод наложения.

5.Метод эквивалентного генератора.

Первый метод является базисным, универсальным, остальные основаны на первом, т. е. на законах Кирхгофа.

Для расчета цепи с гармоническим или постоянным источником следует изобразить соответствующую схему замещения с учетом вышеизложенных положений (§ 1.3, табл. 1).

Элементы

Гармонический

источник

ZR = R

ZL = jXL

ZС = –jXС

Постоянный

источник

разрыв

закоротка

Дальнейшие расчеты приведены для цепи с гармоническими источниками. Для расчета цепи с постоянными источниками в полученных уравнениях следует заменить Z на R, комплексные обозначения – на действующие для постоянного тока.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Электрическая схема (а)

Параметры схемы:

e1 = Em1 sin(ωt + ψ1); e2 = Em2 sin(ωt + ψ2);

i = Jm sin(ωt + ψ);

R1, R3, R5, L1, C2, C5.

__________________________

Определить токи ветвей и напряжение на зажимах источника тока.

Комплексная схема замещения (б)

Комплексные параметры:

E1 = E1 еjψ1; Z1 = R1 + jωL1 = R1 + jXL1;

	E2 = E2 еjψ2; Z2 = –j			1			= –jXC2;
					ωС	2
	J = J еjψ; Z3 = R3; Z4 = 0;
	Z5 = R5 – j	1		= R5 –jXC5.
		ωС5

Определить: I1, I2, I3, I4, I5, UJ.

3.2. Метод уравнений Кирхгофа

Сущность метода

Составляется система линейно независимых уравнений электрического равновесия на основании I и II законов Кирхгофа, которая разрешается относительно неизвестных токов в ветвях.

Порядок расчета

1.Определяется количество уравнений Nв = к1 + к2 и составляются уравнения:

а) по первому закону Кирхгофа: к1 = Nу – 1,

б) по второму закону Кирхгофа: к2 = Nв – Nу +1 = Nв – к1, где Nв – количество ветвей; Nу – количество узлов.

2.Решается полученная система уравнений, определяются комплексные значения токов и напряжений на зажимах источников токов.

3.Составляется баланс мощностей.

Уравнения для схемы (б)

1.к1 = 4 – 1 = 3; к2 = 6 – 3 = 3;

Nв = 6; Nу = 4; узлы: (1) I1 + J – I5 = 0;

(2) –I1 + I2 + I3 = 0;