ТОЭ УП ч. 1

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Пример 4

У электродвигателя при напряжении сети U = 220 B, ω = 314 p/сек

иcosϕ=0,4 мощность P = 1,76 кВт.

1.Рассчитать ток двигателя.

2.Вычислить емкость конденса-

тора, при включении которой cosϕ повысится до 1.

3. Определить ток сети при включении такой емкости.

Решение

У двигателя основной элемент – обмотка, т. е. катушка с параметрами R, L, cosϕ=0,4. Для повышения cosϕ двигателя до 1 следует параллельно включить емкость, которая обеспечит резонанс токов в контуре

R, L, С.

Ответ: Iд = 20 А; С = 265 мкФ;

Iсети = 8 А.

Векторная диаграмма

Iд – ток двигателя;

Iад – активный ток двигателя; Iрд – реактивный ток двигателя;

IC = Iрд.

	1. Iд =	P	=	1,760	=20 А.
		u cos ϕ		220 0,4

2.Ток сети Iсети = Iад =Iд cosϕ = 8 А.

3.Iрд = Iд2 − Iад2 = 202 −82 =18,33 А.

По условию резонанса токов

IC = Iрд=18,33 А, тогда

XC =

u

=

220

=12 Ом;

IC

18,33

С =

1

=

1

= 265 мкФ.

12 314

ωX C

Следовательно, при включении конденсатора потребляемый ток из сети равен 8 А, а без конденсатора – 20 А.

Пример 5

В цепи резонанс, L = 40 мГн;

С = 1 мкФ; U = 240 В.

Определить показание амперметра электродинамической системы.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Решение

Так как в цепи резонанс токов в идеальном контуре LC, сопротивление которого равно бесконечности (см. § 4.3), следовательно, входной ток, а значит и токи в ветвях с резисторами I1, I2 равны нулю. Тогда ток амперметра IA=IL (или IC ), т. к. IL = IC. Для вычисления тока IL нужно определить напряжение, приложенное к контуру LC. Оно определяется по второму закону Кирхгофа: U L =U − I1 R ; U L =U , тогда

	I A = IL =	U	= U	=	240		=1,2 A , где ρ – характеристическое сопротив-
		X L			200
			ρ
	ление контура. ρ =				L	C	=	40 10−3		= 200 Ом. Показание амперметра
								1 10	−6

равно 1,2 А.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Тема 5 ЦЕПИ С ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ

5.1. Понятие о согласном и встречном включении

Если, при наличии в цепи катушек, магнитный поток одной из них пронизывает витки другой и наоборот, говорят о взаимоиндуктивной связи двух катушек.

Степень связи двух катушек характеризуется коэффициентом связи

	Ксв =	M	,
		L1L2

где М – взаимная индуктивность катушек L1, L2:

М = ψ12/i2 = ψ21/i1.

Потокосцепление каждой катушки состоит из двух составляющих: потокосцепления самоиндукции (ψ11, ψ22), вызванного своим током, и потокосцепления взаимоиндукции, вызванного током другой катушки (ψ12, ψ21). Если потоки самоиндукции и взаимоиндукции направлены в одну сторону (суммируются), говорят о согласном включении катушек, если противоположно (вычитаются), – то о встречном включении.

Тогда, согласно закону электромагнитной индукции, напряжения на зажимах катушек будут состоять из двух составляющих: самоиндукции UL и взаимоиндукции UM.

Потокосцепление

Напряжение на катушках

катушек

мгновенное значение

комплексное значение

ψ1 = ψ11 ± ψ12 =

dψ

1

di

di

2

U1 = jωL1I1 ± jωMI2 =

1

= L1i1 ± Mi2;

u1 =

= L1

± M

;

= UL1 ± UM1;

dt

dt

dt

ψ2 = ψ22 ± ψ21 =

dψ2

di2

di1

U2 = jωL2I2 ± jωMI1 =

u2 =

dt

= L2 dt

± M dt

= L2i2 ± Mi1

= UL

± UM

2

2

UМ1 = jωМI2 = jхМI2 = ZМ I2; UМ2 = jωМI1 = ZМ I1,

где UМ1, UМ2 – напряжения взаимоиндукции;

ZМ = jXМ – сопротивление взаимоиндукции.

Для определения знака, с которым входит в уравнение ЭДС взаимоиндукции, необходимо разметить зажимы ветвей, содержащих индуктивные связи. Для этого вводится понятие одноименных зажимов.

Одноименными считают такие зажимы, при втекании через которые вы-

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

бранных положительных токов магнитные потоки самоиндукции и взаимоиндукции складываются. На схеме одноименные зажимы обозна-

чаются (•) или (*), а наличие взаимоиндуктивной связи помечают стрелкой, и тогда вводится понятие согласного и встречного включения.

	Согласное включение					Встречное включение
		или					или
		ориентированы
	Токи одинаково
					Токи по-разному ориентированы
относительно одноименных					относительно одноименных зажимов
зажимов							(–UM1,2)
	(+UM1,2)

5.2. Расчет цепей со взаимной индуктивностью. Последовательное и параллельное соединения

Цепь со взаимной индуктивностью рассчитывается на основании законов Кирхгофа с учетом включения катушек.

1. Последовательное соединение катушек

	U = R1I + jωL1I ± jωMI +
	+ R2I + jωL2I ± jωMI;
U = I[R1 + R2 + jω(L1 + L2 ± 2M)] = IZэ;
Z послэ = R1 + R2 + jω(L1 + L2 ± 2M);
						согласное включение
		Lэ = L1 + L2 ± 2M	;
						UМ = jωMI;
						UL = jωLI
(+) – согласное включение,
(–) – встречное включение,
(•) – согласное включение,
(*) – встречное включение

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

встречное включение

2. Параллельное соединение катушек

Векторные диаграммы

UМ1 = jωMI2; UМ2 = jωMI1;

Уравнения Кирхгофа

с учетом включения катушек:

I = I1 +I 2 ;

2 ;

U = Z1 I1 ±Z M I

U

= Z 2 I 2 ±Z M I1;

Z

= R

+ jωL ;

согласное включение

1

1

1

UМ1 = –jωMI2;

Z 2 = R2 + jωL2 ;

UМ2 = –jωMI1;

Z M = jωM.

Решая систему, находим I1, I2, I:

парал

U

Z 1 Z 2

− Z M2

Z э

=

I

=

;

Z 1 + Z 2

±

2Z M

(–) – согласное включение;

(+) – встречное включение.

Если ZM = 0, то получим известную

пар

Z

1 Z 2

формулу Z э

=

Z 1

+ Z 2

встречное включение

При построении векторных диаграмм следует учитывать, что вектор взаимоиндукции при согласном включении опережает вызвавший его ток на π/2, а при встречном отстает от него на π/2.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

5.3. Разветвленная цепь с взаимной индуктивностью

Уравнения для мгновенных значений		Комплексные уравнения

встречное включение катушек

1. –I1 + I2 – I3 =0.

1. –i1 + i2 – i3 =0.

2. – j X C 1 I 1 +

R 1 I 1

+ j X L 2 I 2

–

2.

1

∫i1dt + R1i1 + L2

di2

–

– j X M I 3

+ R 2 I 2 = E 1 .

C1

di3

dt

3. – R 2 I 2 – j X L 2 I 2

+ j X M I 3

–

+ R2i2 = e1.

– j X L 3 I 3 + j X M I 2 + j X C 3 I 3 = – E 3 .

– M dt

3. –R2I2 – L2

di2

+ M

di3

–

dt

dt

di3

di2

1

– L3

+ M

–

∫i3dt = –e3.

dt

dt

C3

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует

di

помнить, что знак напряжения самоиндукции L

зависит от направ-

dt

ления тока и направления обхода контура, а знак напряжения взаимоин-

	di
дукции M		– от способа включения: при согласном включении он
	dt

входит в уравнение с тем же знаком, что и напряжение самоиндукции, а при встречном – с противоположным.

Цепь со взаимной индуктивностью может быть рассчитана и методом контурных токов по алгоритму, рассмотренному в §3.3 (1). Только к взаимному сопротивлению добавляется сопротивление +ZM, если контурные токи одинаково ориентированы относительно одноименных зажимов; –ZM, – если по-разному. Контурные токи следует выбирать так, чтобы через катушку проходил только один (свой) контурный ток:

ZkkIkk +∑(±Zkm±ZM) Imm=Ekk.

Для нашей схемы контурные уравнения примут вид

(R1 + R2 + jX L2 − jX C1 )I11 + (R1 − jX С1 + jX M )I 22 = E1 ;

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

(R1 − jX С1 + jX M )I11 + (R1 − jX С1 + jX L3 − jX C3 )I 22 = E1 − E3 .

5.4. Развязка индуктивных связей

Анализ и расчет электрических цепей в ряде случаев упрощается, если часть схемы, содержащую индуктивные связи, заменить эквивалентной без индуктивных связей. Этот прием называют эквивалентной заменой, устранением, или развязкой индуктивных связей.

Расчет схемы без индуктивных связей может быть проведен любым известным способом.

При развязке индуктивных связей направление токов не имеет значения. Важно, как они подсоединены к общему узлу – одноименными или разноименными зажимами.

Правило развязки

При развязке к индуктивностям добавляется М, а в общую ветвь

– (±М). Верхние знаки – если катушки соединены одноименными зажимами. Если общая ветвь (общий узел) отсутствует, то ее нужно создать (пример 2).

Индуктивно связанные катушки

Без индуктивных связей

Пример 1. Разноименными зажимами

Пример 2. Одноименными зажимами						(“а–с” – новая ветвь)

5.5. Воздушный трансформатор

Воздушный трансформатор – это статический электромагнитный аппарат, состоящий из двух индуктивно связанных катушек, предназначенный для преобразования величины переменного напряжения без изме-

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

нения частоты. Трансформатор без ферромагнитного сердечника называ-

ется воздушным.

К первичной обмотке с параметрами R1, L1 подключается источник напряжения u1. Ко вторичной обмотке с параметрами R2, L2 подключается нагрузка ZH, напряжение на ней u2. Если напряжение u1>u2, трансформатор называется понижающим, если u1<u2, – повышающим. Это достигается разным числом витков первичной w1 и вторичной w2

обмоток. Отношение w1 =k тр – коэффициент трансформации транс- w2

форматора. Если kтр>1, трансформатор понижающий, если kтр<1 – повышающий. Работа трансформатора основана на явлении электромагнитной индукции. Передача энергии из одной цепи в другую происходит благодаря явлению взаимоиндукции.

Схема воздушного трансформатора

Векторная диаграмма воздушного трансформатора для активной нагрузки

Основные уравнения воздушного трансформатора в комплексной форме:

	I R		+I		jωL	−I		jωM =U			,
	1	1		1	1		2			1

U 2 +I 2 R2 +I 2 jωL2 −I1 jωM =0,

где U2 = I2 ZH=I2RH .

При заданной полярности зажимов обмоток трансформатора токи направлены встречно

.

Порядок построения векторной диаграммы

Выбираем масштаб токов mi = n, А/см и масштаб напряжений mu = m, В/см.

1. Откладываем в масштабе mi вектор I2 горизонтально.

Строим вектор U2 = I2 ZH, где

ZH = ZH e jϕH . Так как в нашем случае нагрузка активная, то ϕH =0, следовательно, U2 совпадает по фа-

зе с током I2. Далее аналогично

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

строим вектор U R2 = I 2 R2 из конца вектора U2.

2.Строим далее U L2 = I 2 jωL2 , который опережает ток I2 на 90°.

3.Соединив конец вектора U L2 с началом координат, получим вектор напряжения взаимоиндукции − I1 jωM =U M2 .

4.Строим ток I1, опережающим вектор UM2 на π2 , т. к. включение

встречное.

5. Далее, на основании уравнения для первичной обмотки трансформатора строим векторы U R1 = I 1R1 по току I1 и U L2 = I 2 jωL2 , опере-

жающим I1 на π2 .

6.Из конца вектора UL2 строим вектор напряжения взаимоиндукции UM1 = −I2jωМ, отстающий от тока I2 на π2 .

7.Соединив начало координат с концом вектора UM1, получим сум-

марный вектор напряжения U1. По диаграмме можно определить сдвиг фаз ϕ1 между U1 и I1. Аналогично строятся диаграммы для любой нагрузки. Например, если нагрузка емкостная, то ϕн= –90°, следовательно, U2

будет отставать от I2 на π2 . Остальной порядок и принцип построения

диаграммы аналогичен.

8. Построение векторной диаграммы для режима холостого хода следует начинать с тока I1 (т. к. I2=0) и строить вектора напряжений на основании уравнений трансформатора:

U1 = R1I1 + j ωL1I1;

U2 – j ωMI1 = 0.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

5.6. Эквивалентная схема трансформатора без индуктивной связи

Применяя правило развязки индуктивных связей (§ 5.4), получим эквивалентную схему трансформатора без индуктивных связей.

Докажем, что полученная схема является эквивалентной схеме воздушного трансформатора. Для этого составим уравнения по методу контурных токов, считая I11 = I1, I22 = I2 :

I 1 (R1 + jωL1 − jωM + jωM) − I 2 jωM =U 1;

I 2 (Z H + jωL2 − jωM + R2 ) − I 1 jωM = 0 ,

откуда получаем уравнения воздушного трансформатора, учитывая, что

U2=I2 ZH:

I 1R1 + I 1 jωL1 − I 2 jωM =U 1 ,

U 2 + I 2 R2 + I 2 jωL2 − I 1 jωM = 0 .

5.7 . Передача мощности между индуктивно связанными катушками

Пусть известны токи I 1 = I1e jψ1 и I 2 = I2e jψ2 , тогда

комплексная мощность каждой катушки, обусловленная взаимной индукцией,

S1M =U 1M I 1 = jωMI 2 I1		= −ωMI2 I1 sin(ψ2 −ψ1) +
+ jωMI2 I1 cos(ψ2 −ψ1) = −P1 + jQM1;
S 2M =U 2M I2	=	jωMI1 I2 = −S M1;

P1 = –P2 = ωMI1I2 sin(ψ1 – ψ2).

В результате суммарная активная мощность двух катушек равна

P = P1 + P2 = 0 ,

а реактивная мощность каждой катушки –

QM = ωMI1I2 cos(ψ1 – ψ2) .

При подсчете реактивной мощности потребителей нужно учитывать мощность взаимоиндукции

Qп = ∑I2XL – ∑I2XC ± 2QM ,

где (+) – согласное включение катушек;

(–) – встречное включение.