ТОЭ УП ч. 1

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

включении.

Решая совместно уравнения (1), (2), (3) и (4) с использованием соотношения А11А22 – А12А21 = 1, получим

A = U 1x =

Z1x ;

A =

U 1к

= A Z

2к

;

11

U 2x

Z 2x − Z 2к

12

I 2к

11

A21 =

I1x

=

A11

;

A22 =

I1к

= A21 Z 2x .

U 2x

Z1x

I 2к

Таким образом, для определения четырех коэффициентов достаточно провести три опыта, определить три сопротивления: Z1х, Z2х, Z2к.

Если четырехполюсник симметричен, достаточно провести два опыта, определить Z1х = Z2х и Z1к = Z2к.

Для контроля правильности расчетов использовать соотношение

А11А22 – А12А21 = 1.

8.6. Характеристические (вторичные) параметры четырехполюсника (режим согласованной нагрузки)

Если включить такое Zн, которое обеспечивает на входе четырехполюсника такое же сопротивление Zвх = Zн, то это сопротивление назы-

вают характеристическим (повторным, волновым) сопротивлением симметричного четырехполюсника Zс.

Если Zн = Zс = Zвх, такой режим называют согласованным:

U 1

=

U

2

= Z c .

I1

I 2

В этом режиме уравнения типа “А” примут вид:

A

A

jϕ

U

1

=U

A

+

12

,

→

Zс =

12

= Zс е

С,

2

11

Z с

←

A21

I

I

1

=

2

(A

+

A Z

c

),

11

12

(A

↓

),

U

1

U

=U

+

A A

= A11 + A12 A21 = еГ ,

1

2

21

11

12

U 2

I

1

= I

2

(A

+

A A

21

),

11

12

I1

= A + A A

= еГ ,

21

I 2

11

12

U 1

Г = ln

= ln( A +

A

A

21

),

U

2

11

12

Г = A + jB,

где Г – постоянная передачи, характеризует изменение напряжения

итока при согласованной нагрузке как по значению, так и по фазе.

[A]= [Непер, Нп] – коэффициент затухания; [B] = [рад] – коэффициент фазы.

shГ + I2 chГ,

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Характеристическое сопротивление и постоянную передачи называют

вторичными параметрами четырехполюсника:

A = ln U1 ; B = ψu1 − ψu2 .

U2

Уравнения симметричного четырехполюсника для согласованного режима примут вид

U 1 =U 2e Г ,

I1 = I 2e Г .

Если Zн ≠ Zс, то уравнения симметричного четырехполюсника могут быть выражены через вторичные параметры Zс и Г; тогда получим уравнение четырехполюсника с гиперболическими функциями:

U1 = U2 chГ + I2Zc shГ,

I1 = U 2 Z c

где

А11	=А22= chГ;
А12	= ZcshГ;
А12	= shГ/Zc.

Входное сопротивление симметричного пассивного четырехполюсника

Z вх =		U	1	= Z c	Z н + Z c th Γ	;
		I 2			Z c + Z н th Γ
при коротком замыкании (Zн = 0)
Z к = Z c th Γ
при холостом ходе (Zн = ∞)
Z х = Z c cth Γ ,

из последних выражений определим вторичные параметры:

Z c = Z к Z х ; th Γ = Z к	.
	Z х

Пример

Для симметричного четырехполюсника с заданными параметрами

L=1 мГн; C=0,417 мкФ; ω = 3 104 р/с вы-

полнить:

1.Составить уравнения четырехполюсника типа “А”.

2.Проверить правильность вычисления коэффициентов этих уравнений.

3.Вычислить постоянную (меру) передачи Г, коэффициенты затухания А и фазы В.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

4.Вычислить характеристическое сопротивление Zc .

5.При U2 =100 B для режима согласованной нагрузки, когда ZH=Zc, рассчитать U1 и I1, используя уравнения четырехполюсника типа “А”.

6.Для режима согласованной нагрузки вычислить кпд четырехпо-

люсника по формуле η= e−2 A и по результатам вычислений напряжений и токов.

Решение

1. Определим комплексные сопротивления “П”-образной схемы четырехполюсника и рассчитаем коэффициенты уравнений типа “А”:

Z 0 = jωL = j3 104 1 10−3 = j30 Ом;

Z1 = Z 2

= − j

1

= − j

1

= − j80 Ом;

Y1

=Y 2 =

1

;

ωC

104 0,417 10−6

3

Z1

A

= A

22

=1+Y

2

Z

0

=1+

j30

=1−0,375=0,625; A

= Z

0

= j30 Ом;

11

− j80

12

A

=Y

+Y

+Y

Y

Z

=

1

+

1

+

j30

= j0,0203 См;

− j80

− j80

(−j80) (−j80)

21

1

2

1

2

0

проверка –

A

A

− A

A

=(0,625)2 − j30 j0,0203=0,391+0,609=1,

11

22

12

21

т. е. коэффициенты рассчитаны верно.

2. Вычислим постоянную передачи Г и запишем коэффициенты за-

тухания А и фазы В:

Г = ln(A11 +

A12 A21 ) = ln(0,625 +

j30

j0,0203) = ln(0,625 + j0,78) =

= ln(1e j51,3

) = ln1 + j51,3

= 0 + j51,3 ;

тогда А = 0

и В = 51,3 .

3. Найдем характеристическое сопротивление Zc:

Z c =	A12 =	j30	=38,44 Ом.
	A21	j0,0203
4. Вычислим U1 и I1	для режима согласованной нагрузки, когда

ZH=Zc=38,44 Ом и U2=100 B:
															I 2 =	U 2	=	100	= 2,6 А;
																		38,44
																Z H
U				= A		U				+ A		I			= 0,625 100 + j30 2,6 = 62,5 + j78 =100e j51,3 В;
		1		11					2	12				2
I	1		= A		U			2	+ A		I		2	= j0,0203 100+0,625 2,6 =1,625+ j2,03=2,6e j51,3 А;
				21						22

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

проверка – A = ln	U1	= ln	I1	= ln	100	= ln	2,6	= ln1 = 0 ,
			I2		100		2,6
U2
B = ψU1 − ψU 2				= ψI1 − ψI 2			= 51,3 − 0 = 51,3 ,

т. е. расчеты проведены верно.

5. Вычислим КПД реактивного четырехполюсника в режиме согласованной нагрузки:

а) по формуле η= e−2 A = e−2 0 =1;

б) по результатам вычислений напряжений и токов

η=

P2

=

U2 I2

cos(ψU 2 − ψI 2 )

=

100 2,6 cos(0

− 0 )

=

260

=1,

P1

U1 I1

cos(ψU1 − ψI1)

100 2,6 cos(51,3

− 51,3 )

260

т. е. расчеты проведены верно.

8.7. Электрические фильтры. Классификация

Электрическим фильтром называют четырехполюсники, которые пропускают без искажения к приемнику из всего спектра частот источника один или несколько диапазонов частот.

Диапазон частот, пропускаемых фильтром, называется полосой пропускания или прозрачности. Остальная область частот, подавляемая фильтром, называется его полосой задерживания или затухания.

Фильтрующие свойства четырехполюсников обусловлены возникновением в них резонансных режимов – напряжений и токов.

Теория фильтров основана на теории четырехполюсников.

Классификация фильтров

	По пропускаемому		По способу	По характеру
	спектру частот		соединения	элементов
1.	Фильтры нижних частот (ФНЧ)	1.	Т- и П-образные.	1. Реактивные – из
с полосой прозрачности 0 < ω < ω2.		2.	Г-образные.	индуктивных и емко-
2.	Фильтры верхних частот (ФВЧ)	3.	Мостовые и др.	стных элементов.
ω1 < ω < ∞.				2. Безиндуктивные –
3.	Полосовые фильтры (ПФ)			из элементов R и С.
с полосой прозрачности ω1 < ω < ω2.				3. Активные – на
4.	Заграждающие фильтры (ЗФ)			операционных усили-
0 < ω < ω1 и ω2 < ω < ∞				телях и др.

Ограничимся рассмотрением фильтров нижних и верхних частот типа “к”, состоящих из реактивных элементов, в виде симметричных Т- и П-образных схем, работающих в согласованном режиме, для которых произведение продольного сопротивления на поперечное не зависит от частоты; к – номинальное характеристическое сопротивление фильтра.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

8.8. Фильтры нижних частот

Фильтры нижних частот (ФНЧ) пропускают без искажения сигналы в диапазоне частот 0 ≤ ω ≤ ωс, ωс – частота среза.

Т-схема

П-схема

Z = jωL; Y = jωC; к =

Z

=

L C = ρ – не зависит от частоты;

Y

ω

2

ω

2

1

; ω0 =

;

Zcт = к 2 −

ω0

; Zcп = к 2 −

ω0

LC

A11 = ch(A + jB) = chA cosB + jshA sinB.

Для “Т” и “П” схем A11 = 1 + Z Y = 1 – ω2LC = A11 – вещественное, тогда

A11 = A11 = chA cos B ; sh A sin B = 0 .

		1. Зона прозрачности			2. Зона затухания
А = 0				А > 0
A11 = cosB;		–1 ≤ A11 ≤ 1;		sinB = 0; B = π;
B = arccosA11;		B > 0.		chA = –A11;
Пределы полосы прозрачности				A = Arch(–A11)
1 – (ω1)2LC = 1; ω1 = 0;			1
2
1 – ω LC = –1;		ω2 = ωс =	LC

Графики зависимостей А(ω), В(ω), Zcт(ω), Zcп(ω)

ω/ω0	A	B	Zcт	Zcп
0	0	0	к	к
1	0	π	0	∞
>> 1	∞	π	jωL	ω
				1/j C

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

I – зона прозрачности;

II – зона затухания.

8.9. Фильтры верхних частот

Фильтры верхних частот (ФВЧ) пропускают без искажения сигналы в диапазоне частот ω1 ≤ ω ≤ ∞.

Т-схема

П-схема

Z =

1

; Y =

1

; к =

Z

= L C = ρ;

jωC

jωL

Y

ω

2

ω

2

;

Zcп = к

Zcт = к 2 −

ω0

2 −

ω0

.

1. Зона прозрачности

2. Зона затухания

А = 0

А > 0

B = arccos(A11); B < 0.

A =

Arch(–A);

Пределы полосы прозрачности

sin B = 0; B = –π

A11

= 1 + Z Y = 1−

1

;

2

ω LC

–1 ≤ A11 ≤ 1;

1

1−

1

= −1; ω1 =

= ωс;

2LC

ω2LC

1

1−

1

=1; ω2 = ∞

ω2LC

2

Графики зависимостей А(ω), В(ω), zcт(ω), zcп(ω)

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

ω/ω0	A	B		Zcт		Zcп
0	0	–π		− j		jωL
				ωC
1	0	–π	0			∞
>> 1	∞	0		к		к

I – зона затухания

II – зона прозрачности

Знак В легко определить, построив векторную диаграмму. Для ФНЧ напряжение U1 опережает U2, поэтому В > 0. Для ФВЧ U1 отстает от U2, поэтому B < 0.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

ЛИТЕРАТУРА

1.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. – М: Высш. шк., 1996. – 638 с.

2.Зевеке П.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.

3.Шебес М.Р. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. – М.: Высш. шк., 1973. – 656 с.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Приложение

РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ (НАПРЯЖЕНИЙ) В РЯД ФУРЬЕ

а)

u(t) = 0,5Um + 6Uπ2m sin ωt + + 43Uπ2m sin 3ωt +

+ 256Uπm2 sin 5ωt +...

б)

u(t) = 0,5Um + 6Uπ2m cosωt − − 43Uπ2m cos 3ωt +

+ 256Uπm2 cos5ωt −...

в)

u(t) = 0,5Um + 4Uπ2m sin ωt − − 49Uπm2 sin 3ωt +

+ 254Uπm2 sin 5ωt −...

г)

u(t) = 0,5Um + 4Uπ2m cos ωt − + 49Uπm2 cos3ωt +

+ 254Uπm2 cos5ωt +...

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

д)

u(t) = 0,5Um + 2Uπm sin ωt +

+23Uπm sin 3ωt +

+25Uπm sin 5ωt +...

е)

u(t) = 0,5Um + 2Uπm cos ωt −

−23Uπm cos3ωt +

+25Uπm cos5ωt −...

ж)

u(t) = 0,5Um + 2U2πm sin ωt −

−23Uπm sin 3ωt +

+210Uπm sin 5ωt −...

з)

u(t) = 0,5Um + 2U2πm cos ωt +

+23Uπm cos3ωt +

+210Uπm cos5ωt +...