ТОЭ УП ч. 1

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Линейное напряжение UAC = Uл = Iф XC = 100 B.

Тогда показание W: PW = 100 2 cos 30° =100 3 = 173 Вт.

Из векторной диаграммы видно, что

PW =UAC IB cos30 =Uл Iл cos(90 −ϕ)= =Uл I (cos90 cos ϕ+sin 90 sin ϕ)=

=Uл Iл sin ϕ,

где угол ϕ – угол между фазным напряжением UB и током IB. Для симметричной трехфазной цепи реактивная мощность

Q = 3U л I л sin ϕ, следовательно, чтобы определить реактивную мощность нашей цепи, а она симметричная, нужно показание ваттметра увеличить в 3 раза:

Q = 3 PW =100 3 3 =300 вар.

Пример 6

В заданной трехфазной цепи система линейных напряжений симметрична, Uл = 100 В , причем

R = 3 X L ; X L = X C =10 Ом.

Определить токи в схеме, если:

1) произошел обрыв фазы в точке М;

2) оборвался линейный провод в точке N.

Решение

1. Так как оборвался фазный провод в точке М, то IAB = 0, тогда

I A = −I CA = −

U

CA

−100 e j120

5,84 e

− j60

A ;

=

=

R

17,3

I CA = 5,84 e j120 A ;

U

BC

100 e− j120

− j30

I B = I BC =

=

=10 e

A .

− jXC

10 e− j

90

По первому закону Кирхгофа определим ток IС:

I C = I CA − I BC = 5,84 e j120 −10 e− j30

=15,3 e j139,2 A .

Таким образом, линейные токи

I A = 5,84 e− j60 A ; I B =10 e− j30

A ;

I С =15,3 e j139,2 A .

При расчете приняли U AB =UAB =Uл.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

На основании I закона Кирхгофа IA + IB + IC = 0, подставим полученные значения токов, убедимся в правильности расчета токов:

5,84 e− j60 +10 e− j30 +15,3 e j139,2 = 0 .

Фазные токи

I BC =10 e− j30 A; I CA = 5,84 e+ j120 A.

2. В случае обрыва линейного провода в точке N IC = 0, тогда R и С окажутся соединены последовательно, а с индуктивностью – параллель-

но, напряжение в фазе АВ не изменилось.

Определим токи по закону Ома:

I AB =

U

AB

=

100

= − j10 A ;

10 e j90

jX L

I BС = I СA =

U

AB

=

100

=5 e j30 A ;

17,3 − j10

R − jXC

I A = −I B = I AB − I BC = − j10 −5 e j30

=14,8 e− j107,1 A ;

I B =14,8 e j72,9 A .

Расчеты проиллюстрированы векторными диаграммами.

Обрыв в точке М

Обрыв в точке N

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Тема 7 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ

И ЭДС В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

На практике ЭДС, напряжения и токи обычно в большей или меньшей степени отличаются от постоянных или синусоидальных функций. В машинных генераторах переменного тока, вследствие отличия кривой распределения магнитной индукции вдоль зазора от синусоиды, кривые наводимых в обмотках ЭДС отличаются от синусоидальных. В цепях, содержащих элементы с нелинейными сопротивлениями, индуктивностями или емкостями, даже при синусоидальных ЭДС возникают несинусоидальные токи и напряжения.

Несинусоидальными токами и напряжениями называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени периодически по несинусоидальному закону.

7.1. Изображение несинусоидальных функций рядами Фурье

Явления, происходящие в линейных цепях при периодических, но несинусоидальных ЭДС, напряжениях и токах, проще всего поддаются исследованию, если кривые ЭДС, напряжений и токов разложить в тригонометрические ряды Фурье.

Любая периодическая функция f(t), удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье двумя формами:

1. f(ωt) = А0 + А1m sin(ωt + ψ1) + А2m sin(2ωt + ψ2) +... =

∞

= A0 + ∑Akm sin(kωt + ψk ) ,

k =1

где k – номер гармоники; А0 – постоянная составляющая или нулевая гармоника; А1m sin(ωt + ψ1) – первая или основная гармоника, Т1 = Т; А2m sin(2ωt + ψ2) и т. д., т. е. при k > 1 – гармоники высшего порядка; ω – основная частота; Т – период несинусоидальной функции.

∞

2. f(ωt) = A0 + ∑(Bkm sin kωt + Ckm cos kωt) .

k =1

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Первая и вторая формы связаны соотношениями

Аkm = Bkm + jCkm = Аkm еjψk;

Akm = Bkm2 +Ckm2 ; ψk = (180 ) + arctg CBkm ,

km

где Аkm – комплексная амплитуда “k” гармоники, причем 180 при расчете ψk учитывается при Bkm<0.

7.2. Понятие о дискретных (линейчатых) спектрах

Совокупность гармонических составляющих несинусоидальной периодической функции называют ее дискретным частотным спек-

тром.

Спектр можно характеризовать зависимостью Аkm (амплитудный спектр) и ψk (фазовый спектр) от частоты kω, причем фаза постоянной составляющей условно принята равной 90° .

Пример

f(t) = 100 + 200sinωt + 100cos2ωt;

F0 = 100; F1m = 200; F2m = 100; ψ1 = 0; ψ2 = 90°.

Линейчатые спектры

амплитудно-частотный

фазо-частотный

7.3. Частные случаи разложения в ряд Фурье

Значительное число несинусоидальных функций, с которыми при-

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

ходится встречаться в электротехнике, обладают различными видами симметрии, поэтому их ряд Фурье не содержит тех или иных составляющих.

Вид				График f(	ω				Ряд Фурье
симметрии					t)
									f(ωt) = А1m sin(ωt +ψ1) +
f(ωt)=f(ωt+									+ А3m sin(3ωt + ψ3) +
π)									+ А5m sin(5ωt + ψ5) +...
относительно									не содержит постоянной
									составляющей и четных
оси абсцисс
									гармоник
									f(ωt) = А0 + А1m cosωt +
f(ωt) = f(–									+ А2m cos2ωt +
ωt)									+ А3m cos3ωt +...
относительно									не содержит синусных со-
									ставляющих
оси ординат
									f(ωt) = А1m sinωt +
f(ωt) = f(–									+ А2m sin2ωt +
ωt)									+ А3m sin3ωt +...
относительно									не содержит косинусных
									составляющих и постоян-
начала коор-
									ной составляющей
динат

В приложении приведены примеры разложения периодических функций (напряжений) в ряд Фурье.

7.4.Методы разложения периодических функций в ряд Фурье

7.4.1.Аналитический метод

Если несинусоидальная функция f (ωt) описана аналитически, то коэффициенты ряда Фурье определяются как

A0 = 21π −π∫πf (ωt)dωt;

Bkm = 1 π∫ f (ωt)sin kωt dωt;

π −π

			СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н.
			«Теоретическиеосновыэлектротехники»
			часть1, 2009г
Ckm	=	1	π∫ f (ωt)cos kωt dωt.
		π −π

7.4.2. Приближенные методы разложения

Они основаны на приближенной замене интеграла конечной суммой.

Метод Перри

Период разбивается на четное число частей “n”, через точки деления проводятся ординаты ym, и кривая заменяется ломаной, что позволяет заменить интеграл суммой. Тогда коэффициенты определяются как

		1			n
A	=				∑ y	m	;
0		n m=1						2πmk
		2			n
Bkm =					∑ ym sin				;
								n
			n m=1
		2			n			2πmk
Ckm =					∑ ym cos					.
								n
			n m=1

По этому методу можно составить ряд не более чем из n/2 гармоник. Существующее программное обеспечение ЭВМ позволяет быстро

произвести гармонический анализ любого периодического сигнала. Кроме того, разложение в ряд Фурье некоторых простейших, но наиболее часто встречающихся в электротехнике кривых приведены

в[1, Прил. 3].

7.5.Максимальные, средние и действующие значения несинусоидальных функций

Fm – это максимальное, т. е. наибольшее по модулю значение функции за период. Fср – это среднее значение функции за период, которое равно F0 – постоянной составляющей:

Fср = F0 = 1 T∫ f (t)dt. T 0

Если кривая симметрична относительно оси абсцисс, то среднее по модулю значение равно среднему значению за половину периода:

F М = 2 T∫2f (ωt)dt.

ср T 0

F – действующее значение – это среднеквадратическое значение функции за период:

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

			1	T	[f (t)]2 dt =		∞			1	∞
	F =			∫		F02	+ ∑Fk2 =	F02	+		∑Fkm2 .
		T
				0			k=1			2 k=1

Действующее значение несинусоидальной функции равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник.

Мгновенные значения	Действующее значения
∞		I02 + I12 + I22 +… =
i = I0 + ∑Ikm sin(kωt + ψki );	I =
k=1				I12m	+ I22m	+…
	=	2	+				;
u = U0 + ∑ Ukm sin(kωt + ψku)		I0			2
	U = U02 +U12 +U 22 +… =
		2	+	U12m +U 22m +…
	= U0				2
Аналогично можно записать и для ЭДС.

7.6. Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидальных функций

При оценке несинусоидальных периодических кривых в электроэнергетике, где кривые преимущественно симметричны относительно оси абсцисс и не содержат постоянных составляющих, пользуются коэффициентом формы кривой kФ, коэффициентом амплитуды kа, коэффициентом искажения kи, коэффициентом гармоник kГ.

Коэффициент									Определение
формы kф =			F						отношение действующего значения к среднему по модулю
		F M
			ср
амплитуды ka			=		Fm				отношение максимального значения к действующему
						F
искажения kи			=		F1				отношение действующего значения первой гармоники
									к действующему значению функции
					F
гармоник									отношение действующего значения высших гармоник
F 2	+ F 2		+...						к действующему значению первой гармоники
kГ = 2	3
	F1

Между коэффициентами искажения и гармоник при отсутствии постоянной составляющей существует следующая взаимосвязь:

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

kГ =	1 1 − kи2 .
	kи

Сравнительная таблица коэффициентов для постоянного и синусоидального тока

Коэффициент	Постоянный ток	Синусоидальный ток
kф	1		Fm			2Fm		=1,11
		2
							π
kа	1	F			Fm		= 2 =1,41
		m			2
kи	0			F1 / F = 1
kГ	∞				0

7.7. Мощность в цепях с несинусоидальными источниками

Мгновенная

p = ui = [U0 + ∑ Ukm sin(kωt + ψku)] [I0 + ∑ Ikm sin(kωt + ψki)];

мощность p

P0 = U0I0;

pk = ukik;

p ≠ P0 + ∑ pk;

для мгновенной мощности принцип наложения не применим

Активная

1

∞

мощность Р

P =

∫ui dt =U0 I

0 + ∑Uk Ik cosϕk = ∑Pk ;

T

k =0

∞

P = ∑Pk ;

k =0

принцип наложения применим

Реактивная

∞

I

sin ϕ

∞

Q = ∑U

= ∑Q

мощность Q

k =1 k

k

k

k =1

k

Полная

S =UI =

U 2

+U 2

+U 2

× I 2

+ I 2

+ I 2 ;

мощность S

0

1

2

0

1

2

в общем случае S2 ≠ P2 + Q2

Мощность

T =

S 2 −(P2 +Q2 );

искажения T

T – характеризует степень различия в форме кривых напря-

жения и тока

7.8.Особенности измерения несинусоидальных величин

Вцепи с несинусоидальными источниками показания приборов, включенных в цепь, зависят от типа прибора.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Тип

Условное

Показание

прибора

обозначение

электромагнитный

Действующее значение

электро-

динамический

несинусоидальной функции U, I

тепловой

магнито-

Постоянная составляющая U0; I0

электрический

магнито-

Среднее по модулю значение

электрический

I M = I m

; U M = Um

с выпрямителем

ср

2 1,1

ср

2 1,1

осциллограф

Мгновенные значения u(t), i(t)

7.9. Расчет линейной цепи с несинусоидальными источниками тока и ЭДС

Известно:

u(t)= 36 +72 2 sin ωt + 60 2 sin(3ωt +90 )B ;

ω = 333,3 с–1; R = 30 Ом; L = 0,03 Гн; С = 66,67 мкФ

_____________________________________

Рассчитать:

1.Мгновенные значения токов.

2.Действующие значения токов.

3.Активную мощность цепи (P).

4.Показания приборов:

		а) электромагнитной системы;
		б) магнитоэлектрической.
	Порядок расчета	Расчет цепи
	1.	1.
	Представить заданные u(t)	u(t) = 36 + 72 ,2 sinωt + 60 ,2 sin(3ωt + 90°) В;
	или J(t) в ряд Фурье (ограни-	Так как цепь линейная, то к расчету можно приме-
	чиваясь “n” числом гармоник)	нять метод наложения, т. е. рассчитать цепь отдель-
		но для каждой гармоники; n = 3
	2.	2.	IR0 = IC0 = IL0 = 0;
	Начертить схему замещения
	для расчета постоянной со-		UC0 = U0 = 36;

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н.

«Теоретическиеосновыэлектротехники»

часть1, 2009г

ставляющей с учетом того,

Uab0 = 0

что ω = 0, XL0 = ωL = 0 (зако-

ротка);

1

XC0 = ωС

= ∞ (разрыв)

3.

3.

Начертить комплексную схе-

му замещения для расчета

гармонических составляющих

и составить расчетные ком-

плексные уравнения любым

методом. Рассчитать сопро-

тивления (индуктивные и ем-

костные) для “k” гармоники:

Рассчитаем IСk по закону Ома:

XL

k

= kωL = kXL

1;

x

RjX L

U

U

1

C

k

km

jψ

k

XC

=

=

Zk = –jXCk +

k

; IСk =

; Uk =

k

kωC

1

R + jX L

Z k

2

е .

k

k

Найдем Uab по второму закону Кирхгофа:

Uabk = Uk–ICk (–jXCk).

Найдем токи в ветвях по закону Ома:

IR = U ab

; IL

k

= U ab

k

R

jX L

k

(IRk, ILk можно найти по правилу токов параллель-

ных ветвей)

4. Результаты расчетов представим в виде таблицы

XL

,

XC ,

Zk,

ϕk,

Uk,

IС ,

Uab ,

IR ,

IL

,

k

k

k

Ом

град

В

k

k

k

k

Ом

Ом

А

В

А

А

1

10

45

36

–85,2

72

2 еj85,2°

18,45 еj156,8°

0,615 еj156,8°

1,9 еj66,8°

3

30

15

15

0

60 еj90°

4 еj90°

84,9 еj135°

2,83 еj135°

2,8 еj45°

5.

5.

Для контроля правильности

1) k = 0:

Pв0 = U0I0 = IR0,2 R = 0.

расчета составить баланс мощ-

ности для каждой гармоники,

2) k = 1:

справедливы также векторные

диаграммы

Pu1 = U1IС1 cosϕ1 = 72 2cos(–85,2°) = 11,3 Вт;

Puk = Pпk,

Pп

= (IR1)2R = 0,6152 30 = 11,35 Вт.

1

3) k = 3:

Uk Ik cosϕk = ∑Ik2 R

Pu3 = 60 4cos(0°) = 240 Вт;

Pп

= 2,832 30 = 240,2 Вт

3