Конспект

11

Над размерностями можно производить действия умножения, деления, возведения в степень; нельзя складывать, вычитать, логарифмировать и т.п. При определении размерности производных ФВ руководствуются следующими правилами:

1.Размерности левой и правой частей уравнения равны между собой.

2.Алгебра размерностей мультипликативна, т.е. состоит из двух действий – умножения и деления.

3.Размерность произведения нескольких величин равна произведению их размерностей. Так, если зависимость между величинами имеет вид

Q A B C ,

то

dimQ dim A dim B dimC.

5. Размерность частного при делении одной величины на другую равна отношению их размерностей, т.е. если

Q AB,

то

dimQ dim Adim B.

6. Размерность любой величины, возведенной в степень, равна её размерности в той же степени. Так, если

Q An ,

то

n

dimQ dim A dimn A.

1

Свойство, характеризуемое данной ФВ, выражается через другие, ранее определенные ФВ, благодаря объективно существующим взаимосвязям между свойствами объекта. Эти взаимосвязи описываются системой уравнений –

математической моделью объекта.

Пример. Определить кинетическую энергию материальной точки массой М = 2 кг, движущейся со скоростью v = 10 м/с.

Данное свойство (кинетическая энергия) выражается известной из физики объективно существующей взаимосвязью:

E Mv22 2 1022 100кг м2с2 100Дж.

12

Здесь Е – физическая величина; 100 – числовое значение; Дж – единица ФВ; кг м2с2 - ее размерность: 1 Дж = 1 кг м2с2 .

Отсюда: dim E L2M1T 2 .

С помощью уравнений связи между числовыми значениями ФВ формулируются определения одних величин через другие величины и указываются способы их определения.

По степени условной независимости от других величин данной группы различают основные, производные и дополнительные физические величи-

ны.

Совокупность ФВ, когда одни величины принимаются за независимые (основные), а другие являются их функциями (производными величинами),

называется системой физических величин.

В названии системы ФВ применяют символы основных величин. Например, система МКС или LMT (длина - метр, масса - килограмм, время - секунда). Международная система СИ по этому принципу должна обозна-

чаться так: LMTI NJ (длина, масса, время, ток, температура, количество вещества, сила света).

Единица основной ФВ является основной единицей системы физических величин.

Совокупность основных и производных единиц ФВ, образованная в соответствии с принятыми принципами, называется системой единиц физиче-

ских величин.

Историческая справка. В теплоэнергетике одной из основных физических ве-

личин является температура. До 1759 г. понятие «температуры» была синонимом понятия

«теплота»1. Первым, кто указал на различие между ними был профессор химии универси-

тета Глазго Джозеф Блэк.

Создание первого прибора, явившегося предшественником термометра, приписы-

вают Галилею (1592 г.), назвавшего этот прибор «термоскопом». Этот термоскоп реги-

стрировал изменение, как давления, так и температуры. Шкала термоскопа имела произ-

вольную градуировку. Первое применение термоскоп Галилея получил в медицинской практике друга и коллеги Галилея, профессора медицины Падуанского университета

Санкториуса.

В 1641 г. великий князь Тосканский Фердинанд II сконструировал термоскоп, в

котором использовалось расширение спирта в запаянной трубке. Также им был применен новый тип термоскопа, в котором стеклянные шарики разных размеров помещались в спирт – по мере изменения плотности различные шарики всплывали или погружались.

1 В английском языке до сих пор смысл слов “thermal” и “heat” (тепловой) равнозначен.

13

В 1831 г. французский врач Жан Рей для измерения температуры использовал расширение воды.

Для получения объективного представления о величине температуры необходимо,

чтобы термометр имел шкалу. Шкала термометра развивалась постепенно, начиная с при-

митивной, с двумя отметками: «самая большая летняя жара» и «самый сильный зимний мороз». В настоящее время известны четыре шкалы: Цельсия (ºС), Кельвина (К), Фарен-

гейта (ºF) и Реомюра (ºR).

Андерс Цельсий (1701-1744) за опорные точки принял температуры замерзания и кипения воды при нормальном атмосферном давлении. За единицу измерения температу-

ры (1 ºС) он предложил 1/100 часть интервала между этими опорными точками.

В XIX столетии Уильям Томсон (лорд Кельвин) предложил абсолютную шкалу температур, связанную со шкалой Цельсия простым равенством:

T(K) t(oC) 273,15.

Единицей температуры по шкале Фаренгейта является 1/100 температурного ин-

тервала между температурой таяния смеси льда, поваренной соли и нашатыря и нормаль-

ной температурой человеческого тела. По этой шкале температура таяния льда (0 ºС) со-

ставляет +32 ºF, а температура кипения воды при нормальном давлении +212 ºF, т.е. ин-

тервал от таяния льда до кипения воды составляет 180 ºF.

В шкале Реомюра за опорные точки, как и в шкале Цельсия, приняты температуры замерзания и кипения воды при нормальном давлении, но за 1 градус (1 ºR) принята 1/80

часть этого интервала.

Значения одной и той же температуры по разным шкалам можно выразить соотно-

шением:

t(oC)		T(K) 273,15		5	t(oR)	t(oF) 32	.
5				4
	5				9

Понятие системы единиц было введено в 1832 г. Основными единицами являлись:

единица длины – миллиметр, единица массы – миллиграмм, единица времени – секунда.

Эту систему называли абсолютной.

В 1881 г. была принята система единиц физических величин СГС, названная по на-

чальным буквам основных величин: сантиметр, грамм, секунда.

В начале ХХ века была предложена еще одна система единиц, получившая назва-

ние МКСА (в русской транскрипции). Основные единицы системы: метр, килограмм, се-

кунда, ампер; производные: единица силы – ньютон, единица энергии – джоуль, единица мощности – ватт.

В 1960 г. XI Генеральная конференция по мерам и весам приняла Международную Систему единиц (СИ) – The International System of Units (SI). В Советском Союзе система единиц СИ введена ГОСТ 8.417-81 “ГСИ. Единицы физических величин”. В настоящее время в России применение этих единиц узаконено статьей 71 Конституции РФ и Законом РФ «Об обеспечении единства измерений».

14

В основу системы СИ выбраны 7 основных единиц: метр, килограмм,

секунда, ампер, кельвин, моль и кандела – и 2 дополнительные: радиан

(плоский угол) и стерадиан (телесный угол), – предназначенные для образования единиц угловой скорости и ускорения.

Метр – расстояние, проходимое светом в вакууме за 1/299792458 долю секунды. Эталон единицы длины – метра – включает: 1) источники эталонного излучения He - Ne лазеры, стабилизированные по линии насыщенного поглощения в молекулярном йоде-127; 2) установку для измерения отношений длин волн источников излучения и 3) интерференционный компаратор с лазерным интерференционным рефрактометром.

Историческая справка. В 1791 г. Национальное собрание Франции приняло длину десятимиллионной части четверти дуги парижского меридиана в качестве единицы длины – метра. Но уже в 1837 г. французские ученые установили, что в четверти меридиана содержится не 10 000 000 м, а 10 000 856 м. Кроме того, примерно в тот же период времени стало очевидным, что форма и размеры Земли со временем, пусть незначительно, но изменяются. Поэтому в 1872 г. по инициативе Петербургской академии наук была создана международная комиссия, решившая не создавать уточненных эталонов метра, а принять в качестве исходной единицы длины метр Архива Франции.

В 1889 г. во Франции был изготовлен 31 эталон метра в виде платиноиридиевого стержня Х-образного поперечного сечения. Эталон № 6 оказался при 0°С точно равным длине метра Архива и был принят в 1889 г. Первой Генеральной конференцией по мерам

ивесам в качестве международного прототипа метра. Остальные 30 эталонов были переданы различным странам. Экземпляры № 11 и № 28 в 1889 г. были переданы России, при этом экземпляр № 28 был утвержден в качестве государственного эталона России.

Погрешность платиноиридиевых штриховых мер составляет ±1,1 × 10-7 м. Так как штрихи имели значительную ширину, существенно повысить точность эталона было невозможно. Требования к повышению точности эталона единицы длины и его физической воспроизводимости привело к тому, что в 1960 г. XI Генеральной конференцией по мерам

ивесам было принято новое определение метра: «Метр – длина, равная 1650763,73 длины волны в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2P10 и 5d5 ато-

ма криптона-86». Погрешность воспроизведения метра с помощью данного эталона составила 5 × 10-9 м.

Повышение точности эталона длины стало возможным при разработке высокостабильных лазеров, что позволило уточнить значение скорости света. В 1983 г. XVII Генеральная конференция по мерам и весам приняла определение метра, действующее и поныне.

15

Килограмм – единица массы международного прототипа килограмма, представляющего собой цилиндр из сплава платины (90%) и иридия (10%), у которого диаметр и высота примерно одинаковы (около 39 мм).

Секунда – это 9 192 631 770 периодов излучения, соответствующего энергетическому переходу между двумя уровнями сверхтонкой структуры основного состояния атома цезия-133.

Ампер – сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызывал бы силу взаимодействия, равную 2·10-7 Н (ньютон) на каждом участке проводника длиной 1 м.

Кельвин – единица термодинамической температуры, равная 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды, т.е. температуры, при которой три фазы воды (парообразная, жидкая и твердая) находятся в динамическом равновесии.

Моль – количество вещества, содержащего столько структурных элементов, сколько содержится в углероде-12 массой 0,012 кг. К настоящему времени ни в одной метрологической лаборатории мира эталон моля не создан. На пути создания такого эталона встали большие теоретические проблемы, одной из которых является недостаточная четкость определения этой единицы. В настоящее время проводятся теоретические и экспериментальные исследования на основе квантовой теории с целью создания эталона единицы количества вещества на базе фундаментальных физических констант

Кандела – сила света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540·1012 Гц (длина волны ~ 0,555 мкм), чья энергетическая сила излучения в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср (ср – стерадиан).

По ГОСТ 8.417-81 предусмотрены дополнительные единицы радиан и стерадиан.

Радиан (рад) – угол между двумя радиусами окружности, длина дуги которой равна этому радиусу. На практике применяют и такие единицы измерения углов: градус, минута, секунда:

1º = 2 /360 рад = 0,017453 рад; 1' = 1º/60 = 2,9088·10-4 рад; 1'' = 1'/60 = 1º/3600 = 4,8481·10-5 рад;

1 рад = 57º17'45'' = 57,2961º = (3,4378·103)' = (2,0627·105) ''.

Стерадиан (ср) – телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на ее поверхности площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.

16

Достоинствами системы СИ являются:

-универсальность, т.е. охват всех областей науки и техники;

-возможность воспроизведения единиц в соответствии с их определением с наименьшей погрешностью;

-унификация всех областей и видов измерений;

-упрощение записи формул и уменьшение числа допускаемых единиц;

-единая система образования кратных и дольных единиц, имеющих собственные наименования.

				Таблица 1.1
Внесистемные единицы, изъятые из употребления,
	и их связь с единицами системы СИ
Наименование		Единица
величины	Наименование	Обозна-		Соотношение
		чение		с единицей СИ
Длина	микрон	мк	1	мк=10-6 м
	ангстрем	Å	1	Å =10-10 м
Масса	центнер	цн	1	цн = 102 кг
Площадь	ар	а	1	а =102 м2
Сила	килограмм-сила	кгс	1	кгс=9,80665 Н
	тонна-сила	тс	1	тс = 9,80665×103 Н
	дина	дин	1	дин=10-5 Н
Работа и	килограмм-сила-метр	кгс·м	1	кгс·м = 9,80665 Дж
энергия	эрг	эрг	1	эрг = 10-7 Дж
	ватт-час	вт·ч	1	вт·ч = 3,6×103 Дж
Мощность	лошадиная сила	л.с.	1л.с. = 735,499 Вт
Давление	бар	бар	1	бар=105 Па
	Миллиметр	мм рт. ст.	1	мм рт. ст.=
	ртутного столба		= 133,322 Па
	Миллиметр	мм вод.	1	мм вод. ст.=
	водяного столба	ст.	= 9,80665 Па
	Техническая			ат= 9,80665×104 Па
	атмосфера	ат	1
	Физическая		1атм=1,01325×105 Па
	атмосфера	атм	(760 мм рт. ст.)
Угол поворота	оборот	об	1	об = 2π рад
Угловая	оборот в минуту	об/мин	1	об/мин = 30 π рад/с
скорость	оборот в секунду	об/с	1	об/с = 2π рад/с

17

Помимо основных и дополнительных ГОСТ 8.417-81 предусматривает также производные и допущенные к применению другие величины.

Производная единица – единица производной ФВ используемой системы единиц, образованная согласно объективно существующей связи с основными и другими производными величинами.

Единицы ФВ делятся на системные и внесистемные.

Системная единица – единица ФВ, входящая в одну из принятых систем. Все основные, производные, кратные и дольные единицы являются системными.

Внесистемная единица – единица ФВ, не входящая ни в одну из принятых систем единиц. По отношению к единицам СИ внесистемные единицы делят на четыре вида:

-допускаемые наравне с единицами СИ (единицы массы – тонна; плоского угла – градус, минута, секунда; объема – литр);

-допускаемые к применению в специальных областях (единицы длины в астрономии – астрономическая единица, парсек, световой год; единица оптической силы в оптике – диоптрия; единица энергии в физике - электронвольт);

-временно допускаемые к применению наравне с единицами СИ (морская миля – в морской навигации; карат – единица массы в ювелирном деле). Эти единицы должны изыматься из употребления в соответствии с международными соглашениями;

-изъятые из употребления (табл. 1.1).

Таблица 1.2. Множители и приставки для образования кратных и дольных единиц СИ

	Кратные единицы				Дольные единицы
Множи-	Прис-	Обозначение		Множи-	Прис-	Обозначение
		Между-				Между-
тель	тавка		Русское	тель	тавка		Русское
		народн.				народн.
1018	экса	E	Э	10 1	деци	d	д
1015	пета	P	П	10 2	санти	d	с
1012	тера	T	Т	10 3	милли	m	м
109	гига	G	Г	10 6	микро		мк
106	мега	M	М	10 9	нано	n	н
103	кило	k	к	10 12	пико	p	п
102	гекто	h	г	10 15	фемто	f	ф
101	дека	da	да	10 18	атто	a	а

18

Различают кратные и дольные единицы ФВ.

Кратная единица – это единица ФВ, в целое число раз превышающая системную или внесистемную единицу (см. табл. 1.2).

Дольная единица – единица ФВ, значение которой в целое число раз меньше системной или внесистемной единицы.

Лекция II.

1.2. Свойства физических величин

При измерении ФВ бесконечное множество ее размеров отображается на счетное подмножество в виде совокупности чисел Q. Числа Q – это результаты измерения, которые могут быть использованы для тех или иных математических операций. Совокупность таких чисел Q должна обладать такими свойствами:

1. Эквивалентности, т.е. числа Q должны быть одинаково именованными. Наименование является единицей ФВ или ее доли.

Единица ФВ [Q] – это ФВ фиксированного размера, которой условно присвоено числовое значение, равное единице. Она применяется для количественного выражения однородных ФВ.

2. Порядка - число q1 , соответствующее большей по размеру величине Q1> Q2, должно быть больше числа q2 , соответствующее величине Q2. Для выполнения данного условия совокупность q1, …, qn должна быть упорядо-

ченным множеством действительных чисел с естественным отношением порядка.

3. Аддитивности – число q, равное оценке суммарной измеряемой величины Q, возникающей в результате сложения составляющих однородных величин Qi , должно быть равно сумме числовых оценок qi этих составляющих. Сумма именованных чисел Qi должна быть равна именованному числу

Q:

n	n	n	при Q Qi .
q qi ;	Q Qi	qi Qi q Q
i 1	i 1	i 1

Если размеры единиц (размерность) у всех именованных чисел одинаковы, т.е. Q Qi , то в этом случае используют такие понятия:

-значение физической величины Q – это оценка ее размера в виде не-

которого числа принятых для нее единиц;

-числовое значение физической величины q – отвлеченное число, вы-

ражающее отношение значения ФВ к соответствующей единице данной ФВ. Уравнение

19

Q q Q

(1.2)

называют основным уравнением измерения.

Суть простейшего измерения состоит в сравнении размера ФВ с размерами многозначной меры q Q . В результате сравнения устанавливают, что

q Q Q q 1 Q .

Отсюда следует, что

q Int Q Q ,

где Int(X) – операция выделения целой части числа Х.

Ограниченность числового значения q приводит при отображении ФВ

Q к гомоморфизму, т.е. к неоднозначности при отображении. Гомоморфизм вносит вероятностный аспект в отображение не только случайной, но и постоянной величины и является причиной появления неизбежной методической погрешности измерения – погрешности квантования. Эта погреш-

ность возникает из-за принципиального несовершенства измерения как метода отображения непрерывного размера величины числом с ограниченным количеством разрядов.

1.3. Шкалы измерений

Разнообразные проявления (количественные или качественные) любого свойства образуют множества чисел или условных знаков, называемых шка-

лами измерения этих свойств. Шкала измерения количественного свойства является шкалой ФВ.

Шкала величины – упорядоченная последовательность ее значений, принятая по соглашению на основании результатов точных измерений.

Шкалы имеют такие признаки: отметка шкалы, цена деления шкалы и пределы измерения.

Отметка шкалы – знак на шкале (черточка, точка), соответствующий некоторому значению физической величины. У цифровых шкал отметками являются числа.

Цена деления шкалы – разность значений измеряемой величины, соответствующих соседним отметкам шкалы.

Пределы измерения – числовые значения физической величины, соответствующих нижней (левой) и верхней (правой) отметкам шкалы.

20

Различают 5 основных типов шкал измерений.

1.Шкала наименований (шкала классификации) – используются для классификации эмпирических объектов, свойства которых проявляются только в отношении эквивалентности. Эти собъекты нельзя считать ФВ, поэтому шкалы такого вида не являются шкалами ФВ. Это самый простой тип шкал, основанный на приписывании качественным свойствам объектов чисел, играющих роль имен.

Примеры: номер завода, номер цвета и т.п..

Нумерация объектов по шкале наименований осуществляется по принципу: “не приписывай одно и то же число разным объектам”. Числа, приписанные объектам, могут быть использованы для определения вероятности или частоты появления данного объекта, но их нельзя использовать для суммирования и других математических операций.

Поскольку эти шкалы характеризуются только отношениями эквивалентности, то в них отсутствует понятие нуля, “больше” или “меньше” и единицы измерения.

2.Шкала порядка (шкала рангов) – обладает свойствами эквивалентности и порядка по возрастанию или убыванию ФВ. Шкала может быть монотонно возрастающей или убывающей и позволяет установить отношение больше/меньше между величинами. Эта шкала может иметь нуль, но она не имеет единиц измерения, т.к. для нее не установлено отношение пропорциональности и поэтому нельзя судить во сколько раз больше или меньше конкретные проявления свойства. К этим шкалам относятся условные шкалы, выраженные в условных единицах.

Примеры: шкала вязкости Энглера, 12-бальная шкала Бофорта для силы ветра (табл. 1.3).

В условных шкалах одинаковым интервалам между размерами ФВ не соответствуют одинаковые значения чисел, отображающих размеры. Эти числа позволяют оценить вероятности, моды, медианы, квантили, но их нельзя использовать для суммирования, умножения и др. математических опера-

ций. Определение значения величины при помощи шкал порядка нельзя считать измерением, т.к. эти шкалы не имеют единиц измерения – эту опера-

цию следует считать оцениванием.

3.Шкала интервалов (шкала разностей) – обладает свойствами эквивалентности, порядка и аддитивности и состоит из одинаковых интервалов, имеет единицу измерения и произвольно выбранное начало – нулевую точку.

Примеры: температурные шкалы Цельсия, Фаренгейта, Реомюра; летоисчисление по различным календарям – от Рождества Христова (Р.Х.),