Конспект

D12 D22

										71
		4								4 0,6611
				M			22				2799,67 кг/м3.
		D
			12							3,14 0,15822 0,14762 0,0928
					D			L

Для расчета погрешности измерения плотности субъекты вывели формулу для ее относительной погрешности по выше приведенной методике, а именно:

1.Произвели логарифмирование формулы для плотности цилиндра: ln ln 4 ln M ln ln D12 D22 ln L .

2.Продифференцировали полученное выражение:

d dM d dL 2 D1dD1 D2dD2 .

M L

3. Заменили бесконечно малые приращения на абсолютные ошибки величин:

M L 2 D1 D1 D2 D2 .
M	L	D12 D22

4. В числителях заменили знаки “-“ на знаки “+”:

M L 2 D1 D1 D2 D2 .
M	L	D12 D22

Учитывая, что представляет собой относительную погреш-

ность плотности, подставив в полученную формулу средние значения результатов прямых измерений, субъекты вычислили относительные погрешности плотности. За погрешность констант, являющихся иррациональными числами, берется половина единицы младшего учтенного разряда. Поэтому абсолютная погрешность числа 3,14 составляет: 0,005.

Результаты расчетов субъекта А:

												72
								M							2			D1							D2					L
																	D1				D2
									M											12			22								L
																			D			D
	2						0,005					2		158,2 0,1 147,6										0,1					0,1
661,1					3,14							158,22							147,6					2			92,8

0,00302 0,00159 0,01887 0,00108 0,02456.

Аналогично получены результаты расчетов субъектом Б:

								M							2	D1 D1 D2 D2								L
								M										12		22					L
																	D		D
	1						0,005					2		158,2 0,01 147,6							0,01					0,1
661,1					3,14										158,22 147,6						2	92,8

0,00151 0,00159 0,00189 0,00108 0,00607

исубъектом В:

								M							2	D1 D1 D2 D2								L
								M										12		22					L
																	D		D
	1						0,005					2		158,2 0,01 147,6							0,01					0,01
661,1					3,14										158,22 147,6						2	92,8

0,00151 0,00159 0,00189 0,00011 0,0051.

Из анализа полученных результатов можно сделать такие выводы:

1. При одинаковой абсолютной погрешности измерения размеров D1, D2 и L наибольший вклад в относительную погрешность косвенного изме-

рения вносит слагаемое, содержащее разность величин (в данном примере это D12 D22 ). Причем, очевидно, чем ближе друг к другу их значения, тем больше вклад этого слагаемого в относительную погрешность косвенного измерения.

2. Для повышения точности косвенного измерения следует принимать меры к сокращению слагаемых в формуле для относительной погрешности, имеющих наибольшее значение. В данном примере – это слагаемое с D12 D22 . Так, уменьшение на порядок погрешности измерения диаметров и

вдвое – массы цилиндра позволило субъекту Б уменьшить относительную погрешность более чем в четыре раза (с 2,5 % до 0,61 %). При этом зна-

чения всех слагаемых относительной погрешности плотности оказались при-

73

мерно одинаковыми и дальнейшее снижение погрешности ещё и длины цилиндра, предпринятое субъектом В, не оказало значительного влияния на погрешность измерения плотности – величина дополнительно понизилась

только на 0,001 (0,1 %).

Отсюда следует простое правило по выбору приборов при косвенных измерениях: приборы, которыми выполняются прямые измерения, должны подбираться так, чтобы результаты измерения ими величин обеспечивали примерно одинаковый вклад отдельных слагаемых в относительную погрешность косвенного измерения.

Согласно этому правилу наиболее грамотно поступил субъект Б, измеривший диаметры D1, D2 и массу M с малой погрешностью, что позволило

сделать значения всех слагаемых в формуле для относительной погрешности плотности примерно одинаковыми. Решение субъекта В о повышении точности измерения также и длины цилиндра оказалось избыточным, так как оно не привело к заметному сокращению относительной погрешности по сравнению с результатом, полученным субъектом Б.

После определения относительной погрешности вычисляется значение предельной ( = 0,997) абсолютной погрешности.

Абсолютная погрешность измерения плотности субъектом А:

2799,67 0,02456 68,7 кг/м3,

субъектом Б:

2799,67 0,00607 16,99 кг/м3,

субъектом В:

2799,67 0,0051 14,3 кг/м3,

Абсолютная ошибка оценивает величину доверительного интервала, в котором находится истинное значение измеряемой величины, то есть является оценкой диапазона неопределенности истинного значения. Поэтому значащие разряды4, присутствующие в абсолютной ошибке, являются сомнительными; верными считаются разряды, старше сомнительных. Количество сомнительных разрядов ограничивают одним или двумя (подробнее о правилах округления результатов измерения см. следующий раздел - п. 2.10).

4 Значащими являются те разряды, начиная со старшего, цифры в которых отличны от нуля.

74

В соответствии с правилами округления результаты измерения плотности материала цилиндра субъектами А, Б и В запишутся так:

2800

70 кг/м3,

2800

17 кг/м3,

2800

14 кг/м3.

2.10. Правила округления и записи результатов измерений

Окончательный результат измерения записывается по форме (2.26), то есть он должен содержать наименование измеренной величины, например

X , среднее значение x измеренной величины, абсолютную погрешность x измерения, единицу измерения и соответствующую найденной погрешности доверительную вероятность .

Как сказано выше, при записи окончательного результата следует помнить, что ошибка является оценкой диапазона неопределенности истинного значения. Поэтому значащие разряды, присутствующие в ошибке, являются сомнительными, старшие разряды считаются верными.

В окончательной записи погрешность измерения принято выражать числом с одним или двумя значащими цифрами. Эмпирически были установлены следующие правила округления рассчитанного значения погрешности

иполученного результата измерения.

1.Сначала округляется абсолютная ошибка x по одному из вариан-

тов:

а) если цифра в старшем значащем разряде ошибки x менее 3, то в ошибке оставляют два значащих разряда;

б) в остальных случаях, т.е. если цифра в старшем сомнительном разряде равна 3, 4 и более, то в ошибке оставляют один значащий разряд.

2.После округления абсолютной ошибки округляют среднее значение

x, применяя следующее правило:

а) в среднем значении x должны быть сохранены все верные разряды; б) сомнительные разряды в среднем значении x должны быть такими

же, что и сомнительные разряды в абсолютной погрешности x.

Пример. В столбцах 1 и 4 табл. 2.6 даны результаты измерений по-

грешностей x и средних значений x нескольких величин.

Решение: Округление начинается с абсолютных погрешностей x (цифры старших значащих разрядов в округляемых x выделены жирным курсивом) по вариантам, указанным в столбце 2. Результаты округления x даны в столбце 3.

Затем производится округление средних значений x так, чтобы в них присутствовали только верные разряды и ровно столько же и тех же сомни-

75

тельных разрядов, сколько их присутствует в абсолютной погрешности (в столбце 4 оставляемые сомнительные разряды выделены жирным курсивом).

Округленные средние значения и их погрешности даны в столбце 5.

							Таблица 2.6.
Результат	Вариант		Результат	Результат			Окончательная
вычисления	округления		округления	вычисления			запись результа-
x	x		x				та
					x
1	2		3	4			5
0,02745	а): 2 < 3		0,027	6,7563			6,756 0,027
50,645	б): 5	> 3	50	928,1			930 50
12,437	а): 1	< 3	12	353,22			353 12
0,000759	б): 7	> 3	0,0008	0,99555			0,9956 0,0007

Контрольные вопросы

1.Можно ли определить истинное значение измеряемой величины?

2.Какова классификация погрешностей измерений в зависимости от характера проявления?

4.Отличаются ли признаки классификации погрешностей результатов измерений и погрешностей средств измерений?

5.Наблюдается ли какая-нибудь закономерность в появлении случайных погрешностей измерений?

6.Каким образом можно существенно уменьшить случайные погрешности измерений? Можно ли совсем устранить случайные погрешности?

7.Назовите наиболее универсальные способы описания случайных величин.

8.Опишите формирование закона распределения плотности вероятностей случайной величины.

9.Запишите условие нормирования дифференциального закона распределения случайной величины.

10.Запишите вероятность Ρ попадания случайной величины х в интервал от x1 до x2 при известном дифференциальном законе распределения f (x).

11.Дайте определение интегральной функции распределения, приведите ее график и перечислите основные свойства.

12.Поясните суть различных способов нахождения центра распределения случайной величины.

13.Запишите формулы для начальных и центральных моментов распределений дискретных и непрерывных случайных величин.

14.Что характеризует дисперсия случайной величины?

76

15.Определите точечную оценку математического ожидания случайной величины.

16.Является ли точечная оценка дисперсии несмещенной и состоятельной. Приведите формулу для точечной оценки дисперсии.

17.Приведите формулу для оценки СКО. Как связаны СКО и рассеяние результатов наблюдений?

18.Определите характеристики нормального закона распределения, согласно центральной предельной теореме теории вероятностей. Приведите формулу для распределения Гаусса.

19.Можно ли устранить систематические погрешности?

20.Может ли систематическая погрешность измерения изменяться при повторных измерениях одной и той же физической величины?

21.Поясните особенности влияния систематических погрешностей на результат измерения.

22.Определите основные составляющие процесса измерения, влияющие на оценку систематических погрешностей.

23.Определите методы устранения постоянных систематических погрешностей.

24.Приведите примеры применения метода измерений замещением для устранения постоянных систематических погрешностей.

25.Приведите примеры применения метода измерений противопоставлением для устранения постоянных систематических погрешностей.

26.Приведите примеры измерения с помощью метода компенсации погрешности по знаку для устранения постоянных систематических погрешностей.

27.Назовите область применения, достоинства методов противопоставления и симметричных наблюдений при исключении систематических погрешностей.

28.Определите специальные статистические методы устранения систематических погрешностей.

29.Дайте определение понятию грубая погрешность. Назовите причины её возникновения.

30.Какие методы обнаружения грубых погрешностей Вам известны?

31.Какой метод обнаружения промахов, на Ваш взгляд, наиболее надежен? Почему?

32.Может ли абсолютная погрешность измерений в полной мере служить показателем точности измерений?

33.Как изменяется относительная погрешность измерений с уменьшением действительного или измеренного значения измеряемой величины?

34.Укажите причины возникновения погрешности метода измерений.

77

35.Погрешность метода измерений по характеру проявления относится к систематической или случайной погрешности?

36.Укажите причины возникновения дополнительной погрешности средства измерений.

37.Чем обусловлено наличие динамической погрешности средства измерения?

38.Что характеризует термин «неопределенность измерения»?

39.Определите, чему равна предельная погрешность, обусловленная округлением.

40.Из чего складывается погрешность прямых однократных и многократных измерений?

41.Какие методы оценки погрешности косвенных измерений Вы знаете?

42.Как правильно выбрать измерительные приборы при косвенных измерениях?

43.Какие разряды в результате измерения считаются верными, а какие сомнительными?

44.Сформулируйте правило округления и представления результата измерения.

__________________________________

78

Лекция XII.

Глава 3. Основы обеспечения единства измерений

3.1. Основные понятия

Единство измерений – состояние измерений, при котором их результаты выражены в допущенных к применению в Российской Федерации единицах величин, а показатели точности измерений не выходят за установленные границы

Средством измерений являются только те технические средства, кото-

рые имеют нормированные метрологические характеристики.

Средства измерений утверждаются Федеральным агенством по тех-

ническому регулированию и метрологии (ФАТРМ) и регистрируются в государственном Реестре средств измерений, удостоверяются сертификата-

ми соответствия и только после этого допускаются к применению на территории Российской Федерации.

Структура описания средств измерений в справочных изданиях:

-регистрационный номер;

-наименование;

-номер и срок действия сертификата об утверждении типа средства измерения;

-местонахождение изготовителя;

-основные метрологические характеристики.

Основные метрологические характеристики оценивают пригодность средств измерений к измерениям в известном диапазоне с известной точностью.

На практике используют следующие метрологические характеристики: Диапазон измерений – область значений измеряемой величины, для

которой нормированы допускаемые погрешности средства измерения. Диапазон показаний – размеченная область шкалы средства измере-

ния, ограниченная ее начальным Xmin и конечным Xmax возможными значениями измеряемой величины. Диапазон показаний может быть шире диапазона измерений.

Предел измерений – наибольшее или наименьшее значение диапазона измерений.

Область рабочих частот (диапазон частот) – полоса частот, в пределах которой погрешность прибора, полученная при изменении частоты сигнала, не превышает допускаемого предела.

79

Градуировочная характеристика – зависимость, определяющая соот-

ношение между сигналами на выходе и входе средства измерений в статическом режиме.

Чувствительность по измеряемому параметру – отношение измене-

ния сигнала на выходе измерительного прибора к вызвавшему его изменению измеряемой величины:

S y x,

(3.1)

где х – измеряемая величина; у – сигнал на выходе СИ; x - изменение измеряемой величины; y - изменение сигнала на выходе.

Размерность S зависит от размерностей х и у: мм/В, мм/оС и др. Предельная чувствительность (по напряжению, току или мощности)

- минимальная величина параметра (напряжения, тока или мощности), подаваемого на вход СИ, которая необходима для получения отсчета с погрешностью, не превосходящей допустимой.

Порог чувствительности СИ– наименьшее значение изменения измеряемой физической величины, начиная с которого может осуществляться ее измерение.

Время измерения – время, которое требуется для определения значения измеряемой величины с заданной погрешностью.

Разрешающая способность (абсолютная) – минимальная разность двух значений измеряемой величины, которая может быть различима с помощью прибора.

Быстродействие (скорость измерения) – максимальное число изме-

рений в единицу времени, выполняемых с нормированной погрешностью. Показание – значение измеряемой величины, определяемое по отсчет-

ному устройству СИ и выраженное в единицах этой величины.

Собственная потребляемая мощность Рсоб – мощность измеряемого сигнала, потребляемая прибором от измерительной цепи – чем Рсоб меньше, тем точнее измерения.

Характерная особенность измерительной техники – широкое распространение измерительных процессов, в которых одновременно участвуют несколько средств измерений, измеряющих разные физические величины и основанных на разных принципах действия. Например, для измерения расхода жидкости или газа с помощью сужающего устройства сразу измеряются диаметр трубы, диаметр отверстия диафрагмы, температура и давление перед сужающим устройством и перепад давления на сужающем устройстве.

80

Для обеспечения единства измерений и взаимозаменяемости средств измерений их метрологические характеристики нормируют.

Основная нормируемая метрологическая характеристика СИ - погреш-

ность

xCИ xCИ xИ ,

(3.2)

где xCИ - показания СИ; xИ - истинное значение измеряемой величины.

Под нормированной погрешностью понимают предельную для данного типа СИ погрешность.

Метрологические характеристики нормируют для нормальных условий эксплуатации СИ. Нормальными считают условия, при которых изменением метрологических характеристик под воздействием влияющих величин можно пренебречь. Для многих СИ нормальными условиями являются (см. табл. 3.1):

-напряжение питающей сети 220±4,4 В;

-частота 50±0,5 Гц;

-температура окружающей среды 20±10 оС;

-атмосферное давление от 97,4 до 104 кПа;

-электрические и магнитные поля (наводки) – отсутствуют. Погрешность средств измерений называют инструментальной по-

грешностью измерения. Инструментальная погрешность СИ в нормальной области значений влияющих величин называют основной. Выход одной или нескольких влияющих величин за пределы нормальной области может привести к возникновению дополнительной погрешности, которая нормируется отдельно от основной погрешности. Пределы допускаемых дополнительных погрешностей СИ устанавливают в виде дольного значения предела допускаемой основной погрешности; иногда ее нормируют в виде коэффициента, указывающего «на сколько» или «во сколько раз» изменяется погрешность при отклонении номинального значения влияющей величины. Например, указание, что температурная погрешность вольтметра составляет ±0,5 % на 10 оС, означает, что при измерении температуры среды от номинального значения на каждые на 10 оС добавляется дополнительная погрешность

0,5 %.

3.2. Классы точности средств измерений

Термин «класс точности» появился в 1930-е годы с целью классификации СИ по точности стрелочных приборов и определял основную погреш-