Конспект

61

Распределением Стьюдента пользуются практически при всех законах распределения погрешностей, но при этом степень приближения остается неизвестной.

	Квантили распределения Стьюдента t ,					Таблица 2.2.
N 2			1 p
	0,683	0,90	0,95	0,99	0,997	0,999
1	1,833	6,314	12,71	63,66	234,8	636,6
2	1,283	2,920	4,303	9,925	18,72	31,62
3	1,197	2,353	3,182	5,841	9,005	12,91
4	1,142	2,132	2,776	4,604	6,485	8,615
5	1,110	2,015	2,571	4,032	5,404	6,865
6	1,089	1,943	2,447	3,707	4,819	5,963
7	1,075	1,895	2,365	3,499	4,455	5,408
8	1,066	1,859	2,306	3,355	4,209	5,041
9	1,058	1,833	2,262	3,250	4,032	4,783
10	1,052	1,812	2,228	3,169	3,898	4,596
12	1,042	1,782	2,179	3,054	3,711	4,322
14	1,036	1,761	2,145	2,977	3,586	4,146
16	1,031	1,746	2,120	2,921	3,496	4,025
18	1,027	1,734	2,101	2,878	3,430	3,929
20	1,024	1,725	2,086	2,845	3,378	3,853
22	1,021	1,717	2,074	2,819	3,336	3,792
24	1,020	1,711	2,064	2,797	3,302	3,747
26	1,019	1,706	2,056	2,779	3,274	3,719
28	1,017	1,701	2,048	2,763	3,250	3,676
30	1,016	1,697	2,042	2,750	3,230	3,654
40	1,011	1,684	2,021	2,704	3,160	3,551
60	1,007	1,671	2,000	2,660	3,093	3,463
100	1,003	1,660	1,984	2,626	3,042	3,402
200	0,999	1,653	1,972	2,601	3,003	3,358
	0,998	1,645	1,960	2,576	2,966	3,294

62

Лекция X.

2.7. Некоторые методы обнаружения грубых погрешностей

Корректная статистическая обработка серии многократных измерений (выборки) возможна только при ее однородности, т.е. в том случае, когда все ее члены принадлежат к одной и той же генеральной совокупности. В противном случае обработка данных бессмысленна.

Отбрасывание «слишком» удаленных от центра выборки отсчетов называется цензурированием выборки. Для уменьшения вероятности появления промахов измерения проводят два-три раза и за результат принимают среднее арифметическое полученных отсчетов.

Для обнаружения промахов используют статистические критерии, предварительно определив, какому виду распределения соответствует результат измерений. Вопрос о том, содержит ли результат наблюдений грубую погрешность, решается общими методами проверки статистических гипотез.

Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат наблюдения xi , с вероятностью не содержит грубой погрешности (это утверждение называют нуль-гипотезой H0 ), т.е. является одним из значений измеряемой величины. Пользуясь определенными статистическими критериями, пытаются опровергнуть выдвинутую нуль-гипотезу, то есть доказать справедливость альтернативной нуль-гипотезе H0 - гипотезы H1, вероятность выполнения которой, называемой уровнем значимости, равна p 1 . Если это удается,

то результат наблюдений рассматривают как содержащий грубую погрешность и его исключают.

Ниже даются некоторые из известных методов обнаружения промахов.

Критерий «трех сигм» применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону. По этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью p < 0,003, мало вероятен и его можно считать промахом, если

Ki 3,

(2.22)

где Ki

xi

Sx Sx

xi

2

N 1 – точечное среднеквадратическое

x

x

N

отклонение;

x

xi

N - среднее значение измеренной величины.

i 1

Величины x и Sx вычисляют без учета экстремальных значений xi .

Данный критерий надежен при числе измерений N 20...50.

63

Это правило обычно считается слишком жестким, поэтому рекомендуется назначать границу цензурирования в зависимости от объема выборки:

при 6 < N 100 она равна 4Sx ; при 100 < N 1000 - 4,5Sx ; при 1000 < N

10000 - 5Sx . Данное правило также распространяется только на нормальное распределение.

	По критерию Шовене элемент xi						выборки объема N является грубой
погрешностью, если
				Ki K*,							(2.23)
где K*- критическое значение критерия, определяемое по табл. 2.3.
			Критические значения критерия Шовене K*							Таблица 2.3.
N		4	5	6	10		15	25	50	100	300
K*		1,54	1,65	1,73	1,96		2,13	2,33	2,57	2	81
	Критерий Романовского применяется в случае, если число измерений
N 20. При этом критерий Ki					сравнивается с критерием Rт , выбранным по
табл.2.4 при заданном уровне значимости p. Если
				Ki Rт ,							(2.24)

то результат xi считается промахом и отбрасывается.

							Таблица 2.4.
Табличные значения критерия Романовского Rт						f N .
Уровень значимости			Число измерений N
p	4	6	8	10		12	15	20
0,01	1,73	2,16	2,43	2,62		2,75	2,90	3,08
0,02	1,72	2,13	2,37	2,54		2,66	2,80	2,96
0,05	1,71	2,10	2,27	2,41		2,52	2,64	2,78
0,10	1,69	2,00	2,17	2,29		2,39	2,49	2,62

Вариационный критерий Диксона – удобный и достаточно мощный (с

малыми вероятностями ошибок). При его применении полученные результаты наблюдений записывают в вариационный возрастающий ряд:

x1 x2 ... xN-1 xN .

64

Критерий Диксона определяется как

KD xN xN 1 xN x1 .

Критическая область для этого критерия:
		P KD Zp p,				(2.25)
то есть, если KD Zp, то на уровне значимости					p значение xN является гру-
бой погрешностью. Значения Zp			приведены в табл. 2.5.
	Значения критерия Диксона					Таблица 2.5.
N			Zp
	0,10		0,05		0,02	0,01
4	0,68		0,76		0,85	0,89
6	0,48		0,56		0,64	0,70
8	0,40		0,47		0,54	0,59
10	0,35		0,41		0,48	0,53
14	0,29		0,35		0,41	0,45
16	0,28		0,33		0,39	0,43
18	0,26		0,31		0,37	0,41
20	0,26		0,30		0,36	0,39
30	0,22		0,26		0,31	0,34

Применение рассмотренных критериев требует осмотрительности и учета объективных условий измерений. При выявлении грубой погрешности оператор должен исключить ее из результатов наблюдения и выполнить новое измерение. Но он не имеет права отбрасывать результаты наблюдений, которые хотя и отличаются значительно от других, но в то же время удовлетворяют выдвинутой нуль-гипотезе H0 . В сомнительных случаях лучше сде-

лать дополнительные измерения (не взамен сомнительных, а кроме них) и затем привлекать на помощь рассмотренные выше статистические критерии.

Пример: Получены результаты N = 20 измерений напряжения в сети в вольтах, представленные в виде вариационного ряда: 218.1; 219; 219.2; 219.5; 219.6; 219.8; 219.8; 219.9; 220.1; 220.1; 220.3; 220.3; 220.5; 220.6; 220.9; 221.3; 222; 222.4; 222.7; 224.9.

Проверить выборку на наличие грубых погрешностей.

65

Решение: Наибольшие подозрения вызывают первый и последний элементы ряда.

Проверка первого элемента, то есть x1= 218.1 В. Среднее значение и

точечное среднеквадратическое отклонение без первого элемента, а также критерии K1 и KD,1 составляют:

x 220,68 В;	Sx = 1,448 В;	K1= 1,781 В;
	KD,1=0,132.

Из условий (2.22) и (2.23) следует, что первый элемент вариационного ряда не является грубой погрешностью. Условия (2.24) и (2.25) также свидетельствуют, что этот элемент не является промахом на уровне значимости p 0,1.

Проверка последнего элемента, то есть xN = 224.9 В: среднее значение

и точечное среднеквадратическое отклонение без				N -го элемента, а также
критерии KN и KD,N составляют:
		220,32 В;	Sx = 1,158 В;	KN = 3,953 В;
	x
			KD,N=0,324.

По критериям «трех сигм» и Шовене, то есть по условиям (2.22) и (2.23), этот элемент вариационного ряда является грубой погрешностью. По критерию Романовского (2.24) последний элемент является грубой погрешностью на уровне значимости p 0,01, а по критерию Диксона (2.25) значение 224.9 не является грубой погрешностью на уровне значимости p 0,02.

Тем не менее, низкий уровень значимости по критерию Диксона, а также однозначное указание на наличие промаха по критериям «трех сигм», Шовене и Романовского, позволяют сделать вывод, что элемент выборки xN = 224.9 В

является грубой погрешностью. Поэтому из результатов многократных измерения он должен быть исключен.

2.8. Погрешности и результаты прямых измерений

Прямые измерения могут быть однократными и многократными. Результат прямых измерений записывается в виде:

X x x, «ед. измер.», = ….

(2.26)

Здесь Х – буквенное обозначение измеряемой величины; x - среднее значение измеренной величины; x - абсолютная погрешность среднего значения x; «ед. измер.» - единицы измерения величины; - доверительная вероятность, принимаемая равной, чаще всего, 0,95 или 95%.

66

2.8.1. Погрешности прямых однократных измерений

Однократные измерения проводятся при выполнении следующих усло-

вий:

-модель объекта измерений построена на основе достаточно полной априорной информации и определение измеряемой величины не вызывает сомнений;

-метод измерения позволяет либо заранее устранить погрешности измерения, либо произвести их оценку;

-средства измерений исправны, а их метрологические характеристики соответствуют нормам;

-отсутствует возможность повторных измерений (например, происходит разрушение объекта измерений);

-имеет место экономическая целесообразность.

Составляющими погрешности прямых однократных измерений явля-

ются:

-погрешности СИ;

-погрешности метода измерения;

-погрешность субъекта.

Погрешности СИ рассчитываются по их метрологическим характеристикам. Методические погрешности определяются на основе анализа метода измерения. За субъективную погрешность часто берут некоторую долю (0,1…0,5) цены деления прибора. Если сумма методической и субъективной погрешности не превышает 15% погрешности СИ, то за погрешность прямого однократного измерения принимается погрешность СИ.

При проведении измерений в нормальных условиях за погрешность однократного измерения берется основная погрешность СИ, определяемая по нормативно-технической документации. При отклонении условий измерения от нормальных к основной погрешности добавляется дополнительная погрешность.

2.8.2. Погрешность прямых многократных измерений

Многократные измерения обычно проводятся при метрологических измерениях и в лабораторных условиях. Их результаты рассматриваются как случайные величины, а погрешности измерения (случайная составляющая) оцениваются на основе статистических методов, рассмотренных выше. Случайная погрешность при многократных измерениях включает в себя такие

67

погрешности, как погрешность модели, погрешность метода измерения, субъективную погрешность.

Результирующая погрешность многократных измерений включает в себя случайную (см. п.2.3-2.6) и систематическую (см. п.2.2) погрешности.

Оценкой истинного значения измеряемой величины Х при многократных измерениях является его среднее значение x с внесенной поправкой на систематическую погрешность xсист СИ. Другими словами, оценкой истин-

ного значения измеряемой величины Х является исправленное значение сред-

него xиспр . Поэтому важно оценить и исключить систематическую погреш-

ность из результатов измерений (см. п. 2.2.1).

При многократных независимых равноточных измерениях результат отдельного (i-го) измерения будет включать в себя случайную погрешностьxсл,i . Ввиду неопределенности значения и знака xсл,i (1 i N ) измерен-

ное значение будет содержать некоторую оценку случайной погрешности среднего значения результата многократных измерений:

xи xиспр xсл ,

(2.27)

где xсл - случайная погрешность среднего значения x измеряемой величи-

ны Х. Знак указывает на то, что формула (2.27) оценивает лишь интервал значений случайной погрешности, т.к. точное значение xсл определить не-

возможно.

Оценку значения xсл производят по формуле:

xсл t ,p /2S

,

(2.28)

x

N

xi

2

S

x

где S

x

i 1

- среднее квадратичное отклонение

среднего

x

N N 1

N

значения

x

;

t ,p/2 -

коэффициент Стьюдента при уровне значимости р и

числе степеней свободы N 2.

Результат многократного измерения записывается в виде

X

испр xсл , ед.изм., ...

(2.29)

x

или

X

x,

ед.изм., ....

(2.30)

x

68

Форма представления (2.29) предполагает, что систематические погрешности или исключены до измерений, или внесены в результаты измерений и абсолютная погрешность состоит лишь из случайной погрешности, т.е.x xсл . При представлении по форме (2.30) абсолютная ошибка x со-

держит в себе как случайную, так и неисключенную систематическую погрешность xсист . При этом оценка абсолютной ошибки x производится по

одной из следующих формул:

xсист

2

xсл

2

при xсист

xсл ,

x

x

x

при

x

x

.

сист

сл

сист

сл

Лекция XI.

2.9. Погрешности косвенных измерений. Выбор средств измерений

Косвенные измерения – это измерения, при которых искомое значение Y находится по математической зависимости

Y Y(X1, X2 ,..., Xm ),

(2.31)

где X j - j-я величина, определенная путем прямых измерений (1 j m); m

– число величин, найденных путем прямых измерений.

Функциональные зависимости Y(X1, X2,..., Xm )	могут быть линейны-
ми и нелинейными.
Погрешности косвенных измерений при линейной зависимости
m
Y a0 a1X1 ... amXm ajX j ,	(2.32)
j 0

где aj - коэффициенты j-го (0 j m) аргумента X j , найденные с помощью

модели (аналитической или регрессионной) объекта измерения путем обработки многократных прямых измерений, например, с помощью метода наименьших квадратов.

При отсутствии корреляционной связи между аргументами среднее квадратичное отклонение результата косвенного измерения, обусловленное случайными погрешностями, вычисляется так:

69

			m
S			a2j S	x2j ,	(2.33)
	y
			j 1

m

где y aj xj - значение косвенного измерения при средних значениях ар-

j 0

гументов x j .

При наличии корреляционной связи между аргументами среднее квадратичное отклонение результата косвенного измерения определяется так:

m

m

m

S

a2jS

2

rl, jalajS

l S

j ,

(2.34)

y

x j

x

x

j 1

j 1

l 1

l j

где rl,j - коэффициент корреляции между погрешностями аргументов

Xl

и

X j :

N

xl,i

l xj,i

j

x

x

r

i 1

;

l, j

N(N 1)S

l S

x

x

j

xl,i и x j,i - результаты i-го (0 i N)

прямого измерения аргументов

Xl

и

X j ; N – число прямых измерений аргументов.

Доверительная граница случайной погрешности результата косвенного измерения определяется по формуле:

y tpS		,	(2.35)
	y

где tp - квантиль нормального распределения на принятом уровне значимо-

сти р при большом числе измерений (более 25…30), или квантиль распределения Стьюдента при меньшем количестве измерений и числом степеней свободы, определяемом по формуле:

m

2

m

a4j S

4

2

x j

2

aj

S

j

2;

x

nj

1

j 1

j 1

nj - число измерений при определении аргумента x j .

70

Погрешность косвенных измерений при нелинейной зависимости меж-

ду искомой величиной и аргументами вычисляется по формуле, которая выводится по следующей методике:

1.Обе части выражения (2.31) логарифмируют.

2.Полученное выражение дифференцируют.

3.Дифференциалы (бесконечно малые приращения) величин заменяют на конечные приращения (абсолютные ошибки).

4.Знаки “-“ в числителях заменяют на “+” – получаем формулу для предельной относительной погрешности косвенного измерения ( = 0,997).

Пример: При определении плотности материала полого цилиндра субъект А путем прямых измерений наружного диаметра D1, длины L, массы M и диаметра отверстия D2 получил следующие значения этих величин:

D1 158,20 0,10 мм;

D2 147,60 0,10 мм;

L 92,80 0,10 мм;

M 661,1 2,0 10 3 кг.

Субъект Б точнее измерил наружный и внутренний диаметры, а также массу цилиндра:

D 158,20 0,01 мм;	D	2	147,60 0,01 мм;	M 661,1 1,0 10 3 кг.
1

Субъект В, желая еще более повысить точность измерения плотности, повысил также точность измерения длины цилиндра:

L 92,80 0,01 мм.

Каковы результаты измерения плотности у каждого из субъектов? Как повышение точности прямых измерений повлияло на погрешность измерения плотности тела?

Решение: Формула для плотности материала полого цилиндра имеет

вид:

4 M

D12 D22 L ,

поэтому среднее значение плотности при 3,14 составляет: