- •Структура рабочей тетради
- •Введение Пояснительная записка
- •Тематический план
- •Рекомендации по работе с математическим текстом
- •Рекомендации по конспектированию
- •Рекомендации по решению задач
- •Раздел 1. Теория пределов
- •Предел функции
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •- Второй замечательный предел
- •Непрерывность функции Непрерывность функции в точке
- •Односторонние пределы функции*
- •Точки разрыва и их классификация*
- •Устранимый разрыв
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольные задания
- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Производная функции одной переменной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
- •Правила дифференцирования
- •Формулы дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Дифференциал
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Исследование функции при помощи дифференциального исчисления
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Раздел 3. Интегральное исчисление функции одной переменной
- •Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Приемы интегрирования
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Определенный интеграл
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Раздел 4. Ряды
- •Основные понятия
- •Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
- •Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Раздел 5. Основы теории вероятностей и математической статистики.
- •Основные понятия комбинаторики
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Классическое определение вероятности
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Случайные величины
- •Числовые характеристики случайной величины
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Литература
Геометрические приложения определенного интеграла
Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке[а, b].Тогдапогеометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под кривойна[а, b] численно равна определенному интегралу , т.е.
Пример. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями,
Решение. Из рис. 11 видно, что искомая площадь Sкриволинейного треугольникаОАВравна разности двух площадей:
, '
каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла.
Рис. 11 |
Решая систему ,получаем, что точкаВпересечения прямой и кривойимеет координаты (2; 4). Тогда. Для вычисления второго интеграла определим вид подынтегральной функции, выразив из переменнуюу:. |
Тогда получим:
О
Ответ: ед2.
Вопросы для самоконтроля
Что такое определенный интеграл?
Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
В чем заключается формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла?
Какие вы знаете способы вычисления определенных интегралов?
В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
Контрольное задание
Вычислить интегралы:
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y=,y= 0,x= 1 иx=5.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Раздел 4. Ряды
В результате изучения раздела студент должен:
знать:
определение числового ряда, остатка ряда, свойства рядов;
необходимый и достаточные признаки сходимости рядом с положительными членами: признак сравнения, признак Даламбера;
определение знакочередующихся рядов, признак Лейбница;
определение абсолютной и условной сходимости произвольных числовых рядов;
уметь:
по формуле n-го члена записывать числовой ряд;
записывать формулу n-го члена числового ряда;
исследовать на сходимость положительные ряды;
исследовать на абсолютную и условную сходимость числовые ряды.
Основные понятия
Числовым рядом называется сумма вида
Где числа u1,u2,u3, …. ,un, … называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; членunназывают общим членом ряда.
Пример.Записать ряд по его заданному общему члену: 1).
Решение. Придавая nзначения 1, 2, 3, …, имеем бесконечную последовательность чисел:;;; …. , .Сложив её члены, получим ряд
Пример. Записать ряд по его заданному общему члену:
Решение.
Придавая nзначения 1, 2, 3, … и учитывая, что 1! = 1,, 3! =…, получим ряд
Задание. Записать ряд по его заданному общему члену:
Решение.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ:
Пример.Найтиn-й член ряда по его данным первым членам:
Решение: Знаменатели членов ряда, начиная с третьего, являются нечётными числами; следовательно, n-й член ряда имеет вид
Пример.Найтиn-й член ряда по его данным первым членам:
Решение. Числители членов ряда представляют собой квадратные корни из натуральных чисел, а их соответствующие знаменатели равны n!. Знаки чередуются по закону(-1)n. Общий член ряда имеет вид
Задание. Найтиn-й член ряда по его данным первым членам:
Решение.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ:
Суммы:
. . . . . . . . . . .
составленные из первых членов ряда, называются частичными суммами этого ряда.
Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм S1,S2,S3,….,SnЕсли при бесконечном возрастании номераnчастичная сумма рядаSnстремится к пределуS, то ряд называется сходящимся, а числоS– суммой сходящегося ряда, т.е.
или
Эта запись равносильна записи
Если частичная сумма Snряда при неограниченном возрастанииnне имеет конечного предела ( в частности, стремится к +х или к – бесконечность), то такой ряд называют расходящимся.
Если ряд сходится, то значение Snпри достаточно большомnявляется приближенным выражением суммы рядаS.
Разность rn =S-Snназывается остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е., и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.
Пример.
Найти сумму членов ряда
Решение.
Находим частичные суммы членов ряда:
;;;
Запишем последовательность частичных сумм: .
Общий член этой последовательности есть . Следовательно,
Последовательность частичных сумм имеет предел, равный . Итак, ряд сходится и его сумма равна.
Геометрический ряд.Рассмотрим несколько случаев нахождения частичной суммы первыхnчленов ряда, образованного из членов геометрической прогрессии.
1) . Для нахождения частичной суммыSnвоспользуемся формулой суммы членов убывающей геометрической прогрессии:
гдеa1– первый член,an=a1qn-1–n–ый член,q– знаменатель прогрессии.
Следовательно
Находим сумму ряда:
Поскольку первое слагаемое под знаком предела является постоянным, а второе – бесконечно малой величиной (qn->0 приn->). Таким образом, в данном случае ряд сходится, а его сумма есть.
2) . Частичную суммуSnнайдём по формуле суммы членов возрастающей геометрической прогрессии:
Тогда сумма ряда
Так как первое слагаемое под знаком предела есть бесконечно большая величина (при). В этом случае ряд расходится.
3) q=1. Находим
Следовательно . Значит, в данном случае ряд расходится.
4) q = -1. Имеем.
S1 = a
S2 = a – a =0
S3 = a – a + a = a
S4 = a – a + a – a = 0
. . . . . . . . . . . . . .
Т.е. Sn=0 приnчетном иSn=aприnнечётном. Отсюда следует, что последовательность частичных сумм не имеет предела и, значит, ряд расходится.
Итак, данный ряд сходится при и расходится при. Ряд видабудем называть геометрическим рядом.
Гармонический ряд.Ряд вида
называется гармоническим.
Запишем частичную сумму этого ряда:
Сумма Sn больше суммы представленной следующим образцом:
Или
Если , то
, или.
Следовательно, если , то, т.е. гармонический ряд расходится.