Вопросы для самоконтроля

1. Перечислите основные задачи комбинаторики.

2. Что называется перестановками?

3. Запишите формулу для перестановок из nэлементов.

4. Что называется размещениями?

5. Запишите формулу числа размещений из nэлементов поm.

6. Что называется сочетаниями?

7. Запишите формулу для числа сочетаний из nэлементов поm.

Контрольное задание

1. Из 6 открыток надо выбрать 3. Сколькими способами это можно сделать?

_____________________________________________________________________________

2. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Сколькими способами можно составить список из 20 учеников?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Классическое определение вероятности

В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых невозможно предсказать, результат которых зависит от случая. Так, стрелок, участвуя в данных соревнованиях, может попасть или не попасть в мишень.

Случайное явление можно охарактеризовать отношением числа его наступлений к числу испытаний, в каждом из которых при одинаковых условиях всех испытаний оно могло наступить или не наступить.

Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении.

Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.

Результат этого действия или наблюдения будем называть случайным событием.

События называются несовместными, если никакие два из них не могут произойти в данном опыте вместе. В противном случае события называются совместными.

Так, при подбрасывании монеты появление цифры исключает одновременное появление герба, это пример несовместных событий.

Событие называется достоверным, если оно происходит в данном испытании обязательно.

Например, выигрыш по билету беспроигрышной лотереи есть событие достоверное.

Событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти.

Например, при бросании игральной кости невозможно получить 7 очков.

Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числуnвсех исходов.

Вероятность достоверного события равна единице.

Вероятность невозможного события равна нулю.

Пример. В партии из 100 деталей имеется 5 бракованных. Определите вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной.

Решение. Событие А состоит в том, что взятая наудачу деталь окажется стандартной. Число всех исходов равно 100, а число исходов, благоприятствующих наступлению данного события m, равно 100 – 5 = 95.

Вероятность события А: P(A) =

Ответ: 0,95.

Задание. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ: 0,2.

Пример. Из урны, в которой 10 синих и 5 красных шаров вынимают наудачу 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся красными?

Решение: В урне находится 10 + 5 = 15 шаров. Событие А состоит в том, что вынули оба красных шара. Число всех исходов nявляется числом сочетаний из 15 по 2, т.е.

Число исходов, благоприятствующих наступлению данного события m, является числом сочетаний из 5 по 2, т.е.

Вероятность события А: P(A) =

Ответ: .

Пример. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.

Решение: а) Извлеченная стандартная деталь, очевидно, не могла быть утеряна; могла быть потеряна любая из остальных 30 деталей (21+10–1=30), причем среди них было 20 стандартных (21–1=20). Вероятность того, что была потеряна стандартная де­таль,

Р== .

б) Среди 30 деталей, каждая из которых могла быть утеряна, бы­ло 10 нестандартных. Вероятность того, что потеряна нестандартная деталь, Р== .

Ответ: и

Пример. Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (к не равные шести).

Решение. Общее число элементарных исходов испытания рав­но числу сочетаний из шести элементов по три, т. е. .

Число исходов, благоприятствующих появлению шестерки на одной грани и различного числа очков (не равного шести) на гранях двух других костей, равно числу сочетаний из пяти элементов по два, т. е. .

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благо­приятствующих интересующему нас событию, к общему числу воз­можных элементарных исходов:

P ==.

Ответ: .

Задание. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

Решение:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: 0,147.