Вопросы для самоконтроля

1. Что называется числовым рядом?

2. Что называют частичными суммами ряда?

3. Какой ряд называется геометрическим? гармоническим?

4. В чем заключается необходимый признак сходимости ряда?

5. Какие вы знаете достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами?

6. Какой ряд называется знакопеременным?

7. В чем заключается признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов?

Контрольное задание

1. Найдите первые четыре члена ряда по заданному общему члену:

u_n =

^{____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________}

2. Найдите формулу общего члена ряда:

1 + ++ …

_____________________________________________________________________________

3. Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Раздел 5. Основы теории вероятностей и математической статистики.

В результате изучения раздела студент должен:

знать:

• основные понятия комбинаторики;

• классическое определение вероятности;

• определение случайной величины;

• математические характеристики случайной величины: математическое ожидание и дисперсию;

уметь:

• решать задачи на нахождение вероятности события;

• решать задачи на нахождение математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Основные понятия комбинаторики

В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, …, 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например, 345, 534, 1036, 5671, 45 и т.п.

Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (345 и 534), другие – входящими в них цифрами (1036, 5671), третьи различаются и числом цифр (345 и 45).

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: размещения, перестановки и сочетания. Однако предварительно познакомимся с понятием факториала.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до nвключительно называютn– факториалом.

1. Размещения. Размещениями изnэлементов поmв каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

(1.1),

Пример. Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна из них не повторяется?

Решение. Так как двузначные числа отличаются друг от друга или самими цифрами, или их порядком, то искомое количество равно числу размещений из пяти элементов по два:

Ответ: 20.

Задание. Сколькими способами из восьми кандидатов можно выбрать три лица на три должности?

Решение. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: 336.

2. Перестановки. Перестановками изnэлементов называются такие соединения из всехnэлементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

(1.2)

Пример. Пусть даны три буквы А, В, С. Сколько можно составить комбинаций из этих букв?

Решение. Число перестановок из трех элементов можно вычислить по формуле: 3! = = 6.

Ответ: 6.

Задание. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 7 местам?

Решение. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: 5040.

3. Сочетания. Сочетаниями изnэлементов поmв каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

(1.3)

Пример. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных, если в классе 30 учащихся?

Решение. Так как из 30 учащихся нужно выбрать 3, то можно составить комбинации, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, т.е. сочетания из 30 по 3:

Ответ: 4060.

Задание. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

Решение.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ: 3003.