- •Структура рабочей тетради
- •Введение Пояснительная записка
- •Тематический план
- •Рекомендации по работе с математическим текстом
- •Рекомендации по конспектированию
- •Рекомендации по решению задач
- •Раздел 1. Теория пределов
- •Предел функции
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •- Второй замечательный предел
- •Непрерывность функции Непрерывность функции в точке
- •Односторонние пределы функции*
- •Точки разрыва и их классификация*
- •Устранимый разрыв
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольные задания
- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Производная функции одной переменной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
- •Правила дифференцирования
- •Формулы дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Дифференциал
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Исследование функции при помощи дифференциального исчисления
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Раздел 3. Интегральное исчисление функции одной переменной
- •Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Приемы интегрирования
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Определенный интеграл
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Раздел 4. Ряды
- •Основные понятия
- •Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
- •Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Раздел 5. Основы теории вероятностей и математической статистики.
- •Основные понятия комбинаторики
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Классическое определение вероятности
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Случайные величины
- •Числовые характеристики случайной величины
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Литература
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
Числовой ряд
называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.
Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.
Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов.Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий членunстремится к нулю при, то ряд сходится.
Этот признак служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
Составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.
Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся. Заметим, что из расходимости ряда в общем случае не следует расходимость ряда.
Для установления абсолютной сходимости знакопеременного (и знакочередующегося) ряда используются те же признаки, что и для сходимости ряда с положительными членами.
Для решения вопроса об абсолютной или условной сходимости знакочередующегося ряда необходимо рассмотреть ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда.
Если при исследовании этого ряда с помощью одного из признаков сходимости (признака Даламбера, признака сравнения рядов) ряд окажется сходящимся, то данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно; если же ряд окажется расходящимся, то знакочередующийся ряд сходится условно.
Пример. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:
Решение.
Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: и. Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.
Ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда, является гармоническим рядом, который, как известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.
Пример. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:
Решение.
Используя признак Лейбница, получим
;, т.е. ряд сходится.
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
Это геометрический ряд вида который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.
Задание. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:
Решение.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: данный ряд сходится условно.
Задание. Исследовать сходимость знакопеременного ряда:
Решение.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: данный знакопеременный ряд сходится абсолютно.