- •Структура рабочей тетради
- •Введение Пояснительная записка
- •Тематический план
- •Рекомендации по работе с математическим текстом
- •Рекомендации по конспектированию
- •Рекомендации по решению задач
- •Раздел 1. Теория пределов
- •Предел функции
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •- Второй замечательный предел
- •Непрерывность функции Непрерывность функции в точке
- •Односторонние пределы функции*
- •Точки разрыва и их классификация*
- •Устранимый разрыв
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольные задания
- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Производная функции одной переменной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
- •Правила дифференцирования
- •Формулы дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Дифференциал
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Исследование функции при помощи дифференциального исчисления
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Раздел 3. Интегральное исчисление функции одной переменной
- •Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Приемы интегрирования
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Определенный интеграл
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Раздел 4. Ряды
- •Основные понятия
- •Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
- •Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Раздел 5. Основы теории вероятностей и математической статистики.
- •Основные понятия комбинаторики
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Классическое определение вероятности
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Случайные величины
- •Числовые характеристики случайной величины
- •Вопросы для самоконтроля
- •Контрольное задание
- •Литература
Производная функции одной переменной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции
Определение производной
Рассмотрим функцию , где(рис. 31). Возьмем произвольную точку. Для любогоразностьх – х0называется приращением аргументах в точке х0и обозначается. Таким образом,
Разность называется приращением функции в точкех0.
Производной функции в точке х0называется предел отношения приращения функциик приращению аргументапри, если этот предел существует и обозначается
Пример.Вычислим по определению производную функции в заданной точке:
Решение. Согласно определению производной, имеем:
;
Ответ. 1) –3; 2) 4а + b; 3)
Задание. Вычислить по определению производную функции в заданной точке:
Решение. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ:
Функция, имеющая производную в точке х0,называется дифференцируемой в этой точке. Если же функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то она дифференцируема на этом интервале. Необходимое условие существования производной вытекает из следующей теоремы.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Однако непрерывность функции в точке не является достаточным условием дифференцируемости функции в точке.
Пример.Функция непрерывна в точкех0= 0, но не дифференцируема в ней, поскольку
Геометрический смысл производной
Рис. 7 |
Пусть непрерывная функция , где, дифференцируема в некоторой точке, а криваяL– график этой функции, содержащий точку. Выберем на кривойLпроизвольную точкуМ (х; у)и построим секущуюМ0М(см. рис. 7).ТочкуМможно выбрать сколь угодно близко в точкеМ0. Положение секущей при этом будет изменяться. |
Касательной к кривой Lв точкеМ0 Î Lназывается прямаяМ0Т, занимающая предельное положение секущейМ0М (МÎ L)приМ ® М0 (если такое положение существует).
Геометрический смысл производной: производная функции в точкех0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой х0: .
Уравнение касательной к кривой Lв точке (х0;f (х0)), записанное как уравнение прямой, проходящей через точку (х0;f (х0)) и имеющей угловой коэффициентимеет вид:
или
.
Уравнение нормали к кривой (прямой, проходящей через точку кривой L с абсциссой х0 перпендикулярно касательной) составляется аналогичным образом с учетом того, что ее угловой коэффициент равен:
,
то естьили.
Пример.Составим уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке:
Решение.
Согласно определению производной, имеем:
Тогда уравнение касательной примет вид: или
Уравнение нормали запишем в виде:
Согласно определению производной, имеем:
Т
Уравнение нормали запишем в виде:
Механический смысл производной
Положим, что материальная точка движется прямолинейно по закону тогда ее средняя скорость за промежуток временивычисляется по формуле:
Как известно, мгновенной скоростью в момент времени t0 называется предел (если он существует), которому стремится средняя скорость за промежуток временипри, т.е.
Таким образом, мгновенная скорость движения материальной точки в любой момент времени tесть производная от путиsпо времениt.
В этом состоит физический смысл производной.
Пример.Найдем скорость движения материальной точки в момент времениt = 4, если закон движения задан формулой:
Решение. Найдем по определению: , тогда