Posibnuk

changevar(t1=3*x+1,op(1,%),x)+

changevar(t2=2*x,op(2,%),x);

Використана команда integrand визначає підінтегральну функцію, команда op виявляє доданок з указаним номером, а команда changevar робить задану заміну змінної під інтегралом та відповідну обернену заміну в отриманій первісній.

Зверніть увагу, що в даному випадку ми були вимушені розбивати інтеграл на суму інтегралів не командою expand, а майже вручну - використанням вкладених одна в одну команд Int, op та integrand. Це пояснюється тим, що в цьому прикладі команда expand призводить не до спрощення, а до ускладнення процесу інтегрування.

		2			5
Приклад 3. Знайти інтеграл ∫				−				dx .
		+9x	2		cos	2
4							2x

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Отримаємо кінцевий розв’язок:

> int(2/(4+9*x^2)-5/cos(2*x)^2,x);

93

Проміжні дії можна отримати таким способом

>Int(2/(4+9*x^2)-5/cos(2*x)^2,x);

expand(%,cos);

changevar(t=3*x,op(1,%),t)+changevar(t=2*x,op(2,%),t);

simplify(%);

value(%);

changevar(t=3*x,op(1,%),x)+changevar(t=2*x,op(2,%),x);

Команда simplify спрощує вираз. На відміну від попереднього прикладу, тут команда expand(%,cos) містить опцію cos, яка забезпечує розклад інтегралу на два інтеграли без перетворень другого доданку підінтегральної функції, що містить тригонометричну функцію. Цей же прийом можна було б застосувати у прикладі 1. Рекомендуємо зробити це самостійно.

94

π

Приклад 4. Обчислити інтеграл ∫2 5x4 cos x5 dx .

0

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Кінцева відповідь:

> int(5*x^4*cos(x^5),x=0..Pi/2);

Проміжні дії отримуємо послідовним виконанням команд:

> with(student):

Int(5*x^4*cos(x^5),x=0..Pi/2);

changevar(t=x^5,%,t);

value(%);

Оператор changevar виконує заміну змінної, value – знаходить відповідне значення.

Приклад 5. Обчислити інтеграл π∫(sin x cos x + 2x sin x2 )dx .

0

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Кінцевий результат:

> int(sin(x)*cos(x)+2*x*sin(x^2),x=0..Pi);

95

Проміжні дії можна зробити так: інтегрувати окремо два доданки, користуючись схемою запропонованою в попередньому прикладі. А можна знайти інтеграл, використовуючи комп’ютерні підказки. Отже, в першому доданку скористаємось підказкою Hint для отримання правила інтегрування Rule, другий доданок проінтегруємо вже відомим способом. Для використання підказки необхідно підключити пакет Student[Calculus1]

командою with(Student[Calculus1]).

>with(student):

with(Student[Calculus1]): Int(sin(x)*cos(x)+2*x*sin(x^2),x=0..Pi); J:=expand(%);

op(1,J);

Hint(%);

Rule[%](%%);

J1:=value(%);

J1:=rhs(%);

op(2,J);

changevar(t=x^2,%,t);

J2:=value(%); Int(sin(x)*cos(x)+2*x*sin(x^2),x=0..Pi)=J1+J2;

96

Для розкладу на два інтеграли використовуємо команду expand, а для виділення доданків - оператор op.

Оператор rhs(%) відокремлює праву частину вказаного в дужках виразу. Також є оператор lhs(%), який розглядає відповідно ліву частину виразу.

Контрольні завдання 1. Знайти інтеграли, користуючись таблицею інтегралів, найпростішими правилами інтегрування або методом заміни змінної.

	3			2		x
		2	+		+5
1. а). ∫				1− x2			dx ,
cos			x

в). ∫(sin(3x +1)+ 2e5x )dx ,

б). ∫ x5 − x34

г). ∫ 4 +29x2

− 4x x dx ,
−(1	−3x)5 dx .

97

2.а).

в).

3.а).

в).

4.а).

в).

5.а).

в).

6.а).

в).

7.а).

в).

8.а).

в).

			4	3					x
				+				−3
		2				2
∫			−16		sin		x		dx ,
x

∫(cos (1− 2x)+ (5x +1)9 )dx ,

∫x22+3 − sin52 x +sin x dx ,

∫(cos(1−3x)+ 25x )dx ,

5

2

+7

x

∫

x

2

+3

−

sin

2

x

dx ,

4x+1

3

+

2

∫ e

cos

dx ,

3x

	1		3				x
		+		2		+ e
∫	x2 − 4		cos		x			dx ,

∫((3 +5x)9 − 41−2x )dx ,

∫2 −3sin x + 2 5x dx ,

x

3x−1

3

+

2

∫ e

sin

dx ,

(1− 2x)

2

x

∫

2cos x

−

+ 4e

dx ,

sin

2

x

4

∫

3 x + 2

−sin (1− 4x) dx ,

1

−3ex

4

∫

+

dx ,

4 + x

2

x

∫(sin (3 x +1)−3(1− 4 x)8 )dx ,

3

− x

2 4

x

3

+

2

б). ∫ x

x

7

dx ,

1

2x+1

+3e

г). ∫

1− 4x2

dx .

б). ∫

(2 + x )3

+

1

dx ,

4

x

2

5

2 −

2

г). ∫

9 + 4x

dx .

cos

3x

2

,

б). ∫ 3x2 − x 4 x −

x

3

dx

2

г). ∫

2 −9x2

+sin(1−5x) dx .

б). ∫

(2 + 3 x )2

+

2

dx ,

5

x

2

3

г). ∫

−

dx .

2

1+9x

2 − 4x

3

−

x

3

+

4

б). ∫ x

x

9

dx ,

3

г). ∫

−cos

(5x +3) dx .

5 +16x

2

(3 −

3

+

2

б). ∫

x )

dx ,

x

2

−

4

1−3x

г). ∫

9x2 +5

dx .

б). ∫

(2x2 +1)3

−

4

dx ,

5

x

5

2−5x

г). ∫

−3

dx .

4x

2

−

9

98

+ 4x

2

9. а). ∫ 3sin x

−

dx ,

x

2

+1

2

3

−

2

в). ∫

(4x +1)

1

dx ,

cos

−5 x

x

4

10. а). ∫

5

3

− 2cos x +

dx ,

9 − x2

2x+3

3

в). ∫

−

2

e

sin

(1

dx ,

− 2x)

3

2

x

11. а). ∫

+

2

−

4

1− x2

sin

x

dx ,

в). ∫(cos(4x −3) +3e3x )dx ,

x

2

3

12. а). ∫

5

−

+

dx ,

x

4

−

4

cos

2

x

в). ∫((2 −7x)5 +3sin(3 + 4x))dx ,

3

4

13. а). ∫

+

−5sin x dx

,

2

x

5 + x

2

cos

в). ∫(52x

−3sin(2 −5x))dx ,

x

2

6

14. а). ∫

5

+

2

−

cos

x

5 + x2

dx ,

4

2−3x

в). ∫

−

5e

dx ,

2

sin

2x

15. а). ∫

+

4

−

5

,

3ex

2

dx

sin

x

x2

−9

в). ∫(52−3x + (2 − x)7 )dx ,

x +

1

2

dx ,

б). ∫

x

2

3

г). ∫

2

+ (3 +

4x)4

dx .

1− 25 x

3 x +

1`

3

б). ∫

x

dx ,

2

2

−

г). ∫

9x2 + 7

dx .

3

−

5x

5

− x

6 + 2x 2

,

б). ∫

3

x dx

x

5

г). ∫

+

(5x −3)4 dx .

4x

2

+9

4

+

3

б). ∫ x x + 2x

x

6

dx ,

2+5x

2

−

г). ∫ e

1−9x2

dx .

(3 −3 x)2

−

3

б). ∫

x

2

dx ,

3

7

г). ∫

+

dx .

2

4 +9x

2

sin

4x

3 −

3

б). ∫ x5 x +5x

7

dx ,

x

5

+ 3cos(6x +1)

г). ∫

3 − 4x2

dx .

б). ∫ 16 −(1

+ x )3 dx ,

x

5

4

+

г). ∫

3 −5x

+16 x

2 dx .

1

99

16.а).

в).

17.а).

в).

18.а).

в).

19.а).

в).

20.а).

в).

21.а).

в).

22.а).

в).

		3			x
	∫ 5cos x +		−5	2	dx ,	б).
		x

2

+ e

2+5x

2

∫

(3 − 4x)

dx ,

cos

x

6

∫

5e

−3sin x +

dx ,

cos

2

x

2cos (3 −5 x)

5

∫

+

dx ,

3

+

4x

3

+ 2ex −

5

∫

dx ,

9

+ x

2

x

∫((2 +3 x)9 + cos (1−5 x))dx ,

x

6

∫

5

−

4cos x

+

dx ,

x

2

+

4

5

4

+

2

∫

2 −3x

sin

(2 +5x)

dx ,

5

3sin x +

+

3

6

x

∫

4 − x2

dx ,

2

+ e

2−5x

2

∫

(3 + 4 x)

dx ,

cos

x

3

2

∫

2

+

−

dx ,

9 + x

2

cos

2

x

3

∫

− 2sin (1−6x) dx ,

2 +5x

5

−4x +

5

∫

dx ,

2

+

36

sin

2

x

x

∫((3 −5x)8 + 2cos3x)dx ,

∫ 4 x

г).

б).

г).

б).

г).

б).

г).

б).

г).

б).

г).

б).

г).

3	+3 x4	−	2
			x7	dx ,

∫ 2sin (3 −8x)+ 3 +59x2 dx .

		3	+ (2 − 6	2
∫	3	x		x )	dx ,

∫56x−5 + 3 dx . 4x2 +3

∫x56 −(3x3 − 2)2 dx ,

∫55−2x + 9x2 3− 25 dx .

3 x −

1

2

∫

x

3

dx ,

4

2

(4 −9x)

+

∫

1−9x2

dx .

1

− 4

x

3

∫

2

dx ,

x

3

5

−

∫

2 +9 x

2

+

11

dx .

16 x

5

− x4 x + 2x3

,

∫

6

dx

x

7

3

(2 −7x)

+

2

∫

−16 x

dx .

9

3

− x3

x + 2 x4

∫

2

dx ,

x

4

x

5

6 x

3

5

+

4

∫ x

2 + x

dx .

100

23.а).

в).

24.а).

в).

25.а).

в).

26.а).

в).

27.а).

в).

28.а).

в).

29.а).

в).

5

3

∫ 3sin x +

−

dx ,

x

2

+ 4

sin

2

x

∫(36x − 2cos (2 −5x))dx ,

3

x

3

+5

+

2

∫

x2 −9

sin

x

dx ,

3

3x+2

∫

−

2

dx ,

2

5x

cos

∫ 3ex + cos52 x − x2 2−9 dx ,

∫(23−5x +5(2 +3x)5 )dx ,

x

3

3 4

−5sin x +

∫

x2

dx ,

+1

2x+1

5

3

−

2

∫

dx ,

sin

(3x − 2)

5

+3 6x

∫

−

4cos x dx ,

2

sin

x

(5x +1)−

5

∫

2sin

dx ,

3x − 2

3

−5 3x +

4

∫

dx ,

x

2

+

x

16

∫(2(5 −3x)7 −5sin (1−5x))dx ,

			x				3
∫	5			−					−5sin x dx ,
					x	2	−36
				4						3
						−			2
∫		3x +5									dx ,
								cos		(7x −1)

б). ∫ 39 −

(4 −3 x )2 dx ,

x

3

5

г). ∫

+

dx .

2

4x

4x

2

−

cos

25

1

− x5 x +5 x4

,

б). ∫

6

dx

x

5

г). ∫

−3sin(2x +5) dx .

4 x

2

+11

б). ∫ 34 +

(3 −5 x )2 dx ,

x

3

2

г). ∫

+

dx .

4x

2

−

5

+ 6x

1

4 x7

+ 2 x3

−

5

,

б). ∫

x

5

dx

(5 + 2x)−

4

г). ∫

2 cos

dx .

3 + 4x

2

3

−(2

+ 3

3

б). ∫

4 x

x )

dx ,

2x−3

4

5

г). ∫

−

25 x

2

+3

dx .

б). ∫

3

−

2(x4 + 2)3 dx ,

8

x

4x−7

3

г). ∫

5

+

dx .

16x

2

+9

3 x −

2

2

б). ∫

2

dx ,

x

4

2

(1−5x)

+

г). ∫

36 x

2

+

5

dx .

101

x

2

2

3

2

5cos x − 4 8

+

б). ∫

−

x

dx ,

30. а). ∫

dx ,

x2 −3

x

5

4

3

−5

6x+1

+

в). ∫

2

(3x +1)

dx ,

г). ∫

2 −9x

4 + 25x2

dx .

sin

2.	Знайти інтеграли, користуючись таблицею інтегралів, найпростішими
правилами інтегрування, методом заміни змінної.
	π
1.	а). ∫2	5x4 cos x5 dx ,														б). π∫(sin x cos x + 2x sin x2 )dx ;
	0																0
	1			7		x	8										0										2 tg(2x)																2
2.	а). ∫																																															3
		8x			e			dx ,								б).		∫																				+3x						cos x					dx ;
																															2			(2x)
	0																−			π				cos
																				6
																	π
3.	а). ∫2	4ex4 x3dx ,														б). ∫2 (sin 2 x cos x + ecos x sin x)dx ;
	1																0
	π																	1
4.	2	3x		2					3	dx ,						б).	2											4		e			x		5					2
	а). ∫				sin x												∫ 5x																			+			2 −				4x			2 dx ;
	0																−			1
																				2
	π																π
	4				9					10							3									sin x												2											3
5.	а). ∫	10x				sin x						dx ,				б). ∫																				+ x			sin(2 −3x										dx	;
																														3			x
	π																0				cos
	6
																	π
	2				3						4						2				cos x																								2
6.	а). ∫4x					cos(x						+ 6)dx ,				б). ∫																				+sin x cos											x dx ;
																													3			x
	1																π				sin
																	4
																	π
7.	a). ∫2	2xex2 dx ,														б). ∫2 (sin x cos x − 2x cos x2 )dx ;
	0																0
																	π
	2			2						3		4					6										cos x													cos x
8.	а). ∫	3x			(5 + x						)		dx ,			б). ∫					e											sin x +															dx		;
																																								sin			3
	0																0																											x
	2			6				7						5			2															2									ln	3		x
9.	а). ∫	7x			(x				+12)						dx ,	б). ∫																																;
																					x(2x															+1)		+									dx
																																									x
	1																1
10. а). ∫1			4x3 (2 + x4 )3dx ,													б).	10∫(xe−x2																+ x(3x2 + 7)5 )dx ;
		0															5
																																																		102