Posibnuk

	I. 1. якщо заданий раціональний дріб			Pk (x)			- неправильний (k≥m), то слід
				Q (x)
				m
	представити його у вигляді суми многочлена та правильного
	раціонального дробу:	Pk (x)	= Z (x) +		Pn (x)			, де n < m; Z(x) – ціла
		Q (x)			Q (x)
		m				m
	частина, та переходити до ІІ;
	2. якщо заданий раціональний дріб			Pk (x)			- правильний (k < m), то слід
				Q (x)
				m

переходити до ІІ;

II.застосувати до частки многочленів з попереднього пункту метод невизначених коефіцієнтів для розкладу на елементарні дроби;

III.шуканий інтеграл представити у вигляді суми інтегралів від цілої частини та від відповідних найпростіших дробів і обчислити ці інтеграли.

Приклад 1. Знайти інтеграл ∫ x3 +5x −8dx . x2 + 4

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Кінцева відповідь:

> int((x^3+5*x-8)/(x^2+4),x);

Проміжні дії:

>with(student): Int((x^3+5*x-8)/(x^2+4),x); integrand(%); convert(%,parfrac,x); j1:=Int(op(1,%),x); Int(op(2,%%),x); js:=integrand(%);

143

zam:=diff(denom(js),x)/lcoeff(diff(denom(js),x),x);

>changevar(z=zam,Int(js,x),z);

simplify(%);

expand(%);

changevar(s=z^2,op(2,%),s)+value(op(1,%));

>value(%);

changevar(s=z^2,%,z);

144

j2:=changevar(z=zam,%,x);

value(j1)+j2;

Зауважимо, що кінцева відповідь відрізняється від результату, отриманого через проміжні дії на сталу, оскільки первісні оримані різними методами.

10	(5x −6)dx
Приклад 2. Обчислити визначений інтеграл ∫			.
	(x +1)(3x + 4)	2
1

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Кінцевий результат:

>int((5*x-6)/(x+1)/(3*x+4)^2,x=1..10); evalf(%);

Проміжні дії виконуємо, розкладаючи підінтегральний вираз на суму найпростіших дробів:

>Int((5*x-6)/(x+1)/(3*x+4)^2,x);

>integrand(%);

convert(%,parfrac,x);

Int(%,x);

145

>expand(%,x);

>value(%);

>Eval(%,x=1..10);

>value(%);

evalf(%);

Контрольні завдання 1. Знайти інтеграли від раціональних дробів.

	5		x3 + 2x −3												20		x2 + 2
1.	а). ∫										dx		,		б). ∫									dx	,
				x		2		+5									(x + 2)(2x +3)				2
	−8														1
2.	10		x4 + x + 4												15		3x2 + 4
	а). ∫									dx ,					б). ∫							dx ,
			2			+16											(3x +1)(x +	3)	2
	1			x											2
	0			x3 +8x					−5						16		5x2 + 6
3.	а). ∫											dx		,	б). ∫								dx ,
					x		2	+9									(3x + 4)(x +5)			2
	−10														1

146

4.а). 20∫ x4 −5x + 7 dx ,

x2 − 4

4

5.

16

x3

+ 4x − 2

а). ∫

dx ,

x

2

+

4

5

6.

18

x5

+ x2

− 4

а). ∫

dx ,

x

2

+9

8

7.

20 x3

+5x

−7

а). ∫

dx ,

x

2

−

9

5

8.

17

x4

+3x

+ 2

а). ∫

dx ,

x

2

+9

2

9.

19

x3

−6x

+3

а). ∫

dx ,

x

2

−16

6

10.

14

x53 + 2x

−3

а). ∫

dx ,

x

2

−

4

5

11.

15

x4

+ 2x −7

а). ∫

dx ,

x

2

−

4

5

−5

x3 +8x

− 4

12. а). ∫

dx

,

x

2

− 4

−10

−10 x4 + 2x

3 − 2

13. а). ∫

dx ,

x

2

+

4

−20

−5

x4

+10x

− 2

14. а). ∫

dx ,

x

2

−

9

−18

15.

10

x3

+ 7x −9

а). ∫

dx ,

x

2

+ 4

0

−10 x4

+ x

3 +5

16. а). ∫

dx

,

x

2

+9

−20

17.

17

x3

+9x

− 4

а). ∫

dx ,

x

2

−8

10

18. а). −∫1 5x3 + 7 dx ,

−10 x2 + 4

б).

14∫

7x +3

dx ,

(x + 6)(2x +1)

2

3

18

9x +1

б). ∫

dx ,

(2x + 7)(3x +

5)

2

1

б).

15∫

10x + 2

dx ,

(x +8)(3x + 7)

2

1

б).

17∫

8x + 4

dx ,

(2x +8)(x +10)

2

3

б).

13∫

6x + 2

dx ,

(2x +9)(4x +

1)

2

5

б).

15∫

8x −3

dx ,

6(x +9)(4x +

2)

2

3

б).

17∫

8x +1

dx ,

(6x + 7)(5x +

3)

2

4

б).

14∫

12x2 +3

dx ,

(4x + 7)(5x +

6)

2

5

8

5

б). ∫

dx ,

(5x +8)(4x +3)

2

1

б).

−4

7

dx ,

∫

8)

2

−10 (5x +10)(6x +

б).

−∫8

2x −7

dx ,

9)

2

−14 (6x + 2)(4x +

б).

−∫5

3x + 6

dx ,

2

−18 (2x +1)(x +3)

б). −∫10

2x +3

dx ,

2)

2

−16 (2x + 4)(3x +

12

4x +5

б). ∫

dx ,

(x + 4)(2x +5)

2

2

б).

14∫

6x + 4

dx ,

2(x + 6)(3x +

5)

2

3

147

	17				x4 +3x3 +18
19.	а). ∫																						dx ,
										x		2			−9
	5
20.	18				9x3 − 4
	а). ∫																dx		,
					x	2		−16
	6
21.	13				x4			+5x − 4
	а). ∫																				dx ,
							x			2			+ 4
	5
22.	20				x	4		+ 2
	а). ∫														dx ,
					x	2
	8							−3
23.	20 x4							+ 6x − 2
	а). ∫																				dx ,
							x		2			−16
	10
	19						3			+15
24.	а). ∫				7x													dx ,
					2					+9
	8				x
25.	16		x			4		+14
	а). ∫															dx ,
							2
	6				x				+ 5
26.	10				x3 + x2 +9
	а). ∫																				dx ,
							x			2			+9
	2
27.	15				5x3 + 4
	а). ∫																dx		,
					x		2		+				5
	1
28.	18				2x3 −3x2														+ 4
	а). ∫																						dx ,
								x			2			−16
	5
29.	15				3x4					+8
	а). ∫																dx		,
					x		2		+				9
	3

20x2 +5x

30.а). ∫1 x2 + 4 dx ,

Завдання підібрано з джерела [6].

б).

б).

б).

б).

б).

б).

б).

б).

б).

б).

б).

б).

10∫

8x2 + 2

dx ,

(3x + 6)(x + 7)

2

2

14∫

10x2

dx ,

(3x +8)(x +9)

2

3

10∫

9x +3

dx ,

(2x +10)(5x +

1)

2

1

8

7x +5

dx ,

∫

(3x +10)(6x +1)

2

2

12∫

7x − 4

dx ,

(5x + 2)(4x +

8)

2

2

10

9x − 2

dx ,

∫

(5x +9)(6x +

7)

2

4

12∫

10x −3

dx ,

(4x +10)(6x +

3)

2

1

10∫

15x2

dx ,

(4x +5)(x + 2)

2

0

−5

8

dx ,

∫

(4x + 6)(x +3)

2

−9

∫8

2x +5

dx ,

1)

2

0 (6x +5)(2x +

13∫

3x − 4

dx ,

(x +1)(2x −3)

2

3

12

2x +10

dx .

∫

(3x − 2)(x + 4)

2

4

Питання для самоперевірки

1.Який дріб називають неправильним раціональним дробом?

2.В чому полягає суть методу невизначених коефіцієнтів?

3.Назвіть правило інтегрування раціональних дробів.

4.За допомогою якої команди можна розкласти вираз на суму найпростіших дробів?

148

ДЕНЬ 5 МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

Заняття 1 «Інтегрування ірраціональних виразів»

Теоретико-практична частина

Інтеграли вигляду ∫R(x,n1 xm1 ,n2 xm2 ,...,nk xmk )dx (m1, n1, m2, n2, …, mk, nk - цілі числа).

У цих інтегралах підінтегральна функція R раціональна або дробовораціональна відносно змінної інтегрування х і радикалів від х. Такі інтеграли

обчислюються

підстановкою

x = t s ,

t1

= s x1 ,

t2 = s

x2 де

s – спільний

знаменник

дробів

m1

,

m2

,

…,

mk

(або

найменше

спільне кратне

n

n

2

n

k

1

знаменників

n1, n2, …, nk). При такій заміні змінної всі показники s

m1

= r1,

n

1

s

m

2

= r2, … ,

s

mk

= rk

є цілими числами, тобто

інтеграл зводиться до

nk

n2

раціональної функції від змінної t:

x2					t2
∫R(x, n1 xm1 , n2	xm2 ,..., nk xmk )dx = ∫R(t s ,t r1 ,t r2 ,...,t
x1					t1
	x2				m1				m2
		ax +b n1				ax +b n2
Інтеграли вигляду ∫R(x,						,				,...,
	x1	cx + d				cx + d

rk

)st s−1dt .

mk

ax +b nk

)dx cx + d

					(m1, n1, m2, n2, …, mk, nk		- цілі числа).
	Підінтегральний вираз у цих інтегралах раціоналізується підстановкою:
ax +b			s		ax1 +b	ax2 +b		m1
		= t		,	t1 = s cx1 + d ,	t2 = s cx2 + d де s -	спільний знаменник дробів		,
cx + d								n
								1
m2	, … ,		mk		аналогічно до попереднього інтегралу.
			nk
n2
								149

Приклад 1. Знайти інтеграл ∫ 3	dx	4	.
3	x +5		x

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Кінцеву відповідь отримайте самостійно. Наведемо проміжні дії:

>with(student): Int(1/(3*x^(1/3)+5*x^(1/4)),x);

>changevar(x=z^12,%,z);

>simplify(%,power,symbolic);

>integrand(%);

>convert(%,parfrac,z);

>Int(%,z);

>value(%);

>powsubs(z=x^(1/12),%);

150

Для спрощення складного степеневого виразу до дробово-раціонального використовуємо команду simplify(%,power,symbolic);. Виділяємо цілу частину підінтегрального виразу, використовуючи оператор convert(%,parfrac,z);. Обернену заміну виконуємо застосувавши оператор powsubs(z=x^(1/12),%);, можна це зробити і вже відомим оператором changevar(z=x^(1/12),%,z);.

	10	dx
	Приклад 2. Обчислити інтеграл ∫		.
		4
	0	2x +3 −3 2x +3

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Кінцевий результат отримайте самостійно. Наведемо проміжні дії:

>Int(1/(sqrt(2*x+3)-3*(2*x+3)^(1/4)),x);

>changevar(2*x+3=z^4,%,z);

>simplify(%,power,symbolic);

>convert(integrand(%),parfrac,z);

>Int(%,z);

151

>expand(%);

>value(%);

>Eval(%,z=(eval((2*x+3)^(1/4),x=0)).. (eval((2*x+3)^(1/4),x=10)));

>value(%);

Щоб не повертатися до старої змінної інтегрування та підстановки відомих меж, виражаємо межі інтегрування, використовуючи оператор eval.

Контрольні завдання 1. Знайти визначені інтеграли.

1.	а). 10∫3			dx		6	,	б). ∫5		dx3			2x +13		;
		1		x + 2			x		−5 2x +13 +
2.		15		dx					5	dx4
	а). ∫				3		,	б). ∫3					;
		5		x −3 x					1	3x +1 −	3x +1
3.	а).	20∫		dx		4	,	б). 15∫		dx				2	;
		10	4 x +				x		7	2x −7 + 3 (2x −7)
4.	а). ∫8			dx	6		,	б).	20∫	dx4			;
		1 5 x −					x		10	2x +5 −		2x +5
5.		17		dx					15	dx
	а). ∫					8	,	б). ∫						2	;
		4		x + 2 x					8	3x + 4 + 3 (3x + 4)
6.	а). 14∫		2	4 dx		6	,	б). 15∫3		dx4			;
		5		x −			x		5	4x −7 +		4x −7

152