Posibnuk
.pdf
5. |
xr |
=(8; 9) ; |
18. x =(0;15) ; |
6. |
x |
=(11; 3) ; |
19. x =(−8;1) ; |
7. |
xr |
=(−2; 9) ; |
20. x =(7; 6) ; |
8. |
x =(7;1) ; |
21. x =(16;13) ; |
|
9. |
xr =(8;14) ; |
22. x =(5;10) ; |
|
10. xr =(4; −3) ; |
23. x =(1; −2) ; |
||
11. x =(11; 8) ; |
24. x =(−2;14) ; |
||
12. xr =(0; − 5) ; |
25. x =(−4;13) ; |
||
13. x =(1;13) ; |
26. x =(9; 7) ; |
||
14. xr =(6; − 2) ; |
27. x =(13;19) ; |
||
15. |
xr =(8; −1) ; |
28. x =(−3;1); |
|
16. x =(1; 8) ; |
29. x =(5; 0) ; |
||
17. xr =(6; 13) ; |
30. x =(11;13) . |
||
2. Обчислити кут між векторами x |
і y , якщо p і q - одиничні взаємно- |
||
ортогональні вектори: |
|
||
1. |
r |
= |
r |
|
|
|
r |
|
|
x |
3p + 2q , y = p + 5q ; |
||||||||
2. |
r |
= |
r |
r |
r |
|
r |
5q ; |
|
x |
13p |
− 3q , y |
= 8p + |
||||||
3. |
r |
|
r |
r |
|
|
r |
|
r |
x |
= p + |
3q , y |
= p − |
3q ; |
|||||
4. |
r |
= |
r |
|
r |
|
r |
− 7q ; |
|
x |
2p + 5q , y = |
3p |
|||||||
5. |
r |
|
r |
|
|
= |
r |
|
|
x |
= −3p + q , y |
2p + q ; |
|||||||
6. |
r |
= |
r |
r |
r |
= |
|
r |
r |
x |
3p + q , y |
3p − q ; |
|||||||
7. |
r |
|
r |
|
|
|
r |
|
|
x |
= p − 5q , y = |
5p + q ; |
|
||||||
8. |
r |
|
|
r |
r |
|
r |
|
|
x |
=11p + 3q , y |
= 4 p + 7q ; |
|||||||
9. |
r |
= |
r |
|
|
|
r |
|
|
x |
4 p − q , y = |
5p + 3q ; |
|||||||
|
r |
|
r |
|
r |
r |
=10p −3q ; |
||
10. x |
= −7p +13q , |
y |
|||||||
|
r |
= |
r |
|
y = |
r |
− 5q ; |
||
11. x |
3p + 7q , |
2p |
|||||||
|
r |
= |
r |
+ q , |
r |
|
r |
+11q ; |
|
12. x |
10p |
y = |
9p |
||||||
13. x = 3 p +10qr , |
|
y = 13 p + 7q ; |
||
r |
|
|
r |
r |
14. x = 2 p + 3q , |
|
|
y |
= 9 p − 6q ; |
r |
|
|
|
r |
15. x = 2p + 7q , |
|
|
y = 9p + 5q ; |
|
16. x = 3p +11qr , |
|
|
yr = 4 p − 7q ; |
|
17. x =11p − 7qr , |
|
y = −2p + 9q ; |
||
r |
|
r |
r |
|
18. x =11p + q , |
|
y |
= 5 p + 6q ; |
|
r |
|
|
|
r |
19. x = 3p −8q , |
|
|
y = 5p +11q ; |
|
r |
r |
|
r |
|
20. x = p −3q , |
y |
= 5p +10q ; |
||
21. x = 3p +13qr , |
|
|
y = 5p − 8q ; |
|
r |
|
|
r |
r |
22. x = p +10q , |
|
y |
= 9p −11q ; |
|
r |
|
|
|
r |
23. x = 7p + 3q , |
|
|
y = 2p + 5q ; |
|
24. x = 3p +15qr , |
|
|
yr =10p − 2q ; |
|
43
|
r |
r |
|
|
r |
r |
= |
r |
r |
25. x |
= 4 p + 5q , |
y = p − 9q ; |
28. x |
3p , |
y |
||||
|
r |
r |
|
r |
r |
29. x = 3p − 7qr , |
|||
26. x |
= 6p −5q , |
y |
=11p + q ; |
||||||
|
r |
r |
r |
y =13 p − 7q ; |
30. x = p +11qr , |
||||
27. x |
=10p |
+ 3q , |
|||||||
3. Чи компланарні три вектори x , |
y , z : |
|
|
|
|||||
1. |
x =(−1; 0; −1), y = (1;1;1), z =(4; 6; 2) ; |
|
|
|
|||||
2. |
xr = (3;1; −1), yr = (3; 2;1), z = (2; 3; 4) ; |
|
|
|
|||||
3. |
x =(1; −1;1), y =(−1; −1; −1), z =(1; 5; 2) ; |
|
|
|
|||||
4. |
xr = (3; 2;1), yr = (2; 3; 4), z = (1; −1; −3) ; |
|
|
|
|||||
5. |
xr = (1;1;1), yr = (3; 3;1), z = (1; − 2;1) ; |
|
|
|
|||||
6. |
x =(2;1; 0), y =(3;1; −1), z =(5; 2; −1) ; |
|
|
|
|||||
7. |
xr = (−2; 4; −2), yr =(4; 3;1), z = (1;1;1) ; |
|
|
|
|||||
8. |
x =(6; 7; 4), y =(4; 3;1), z =(−2; 0;1) ; |
|
|
|
|||||
9.xr = (−1; 3; 7), yr = (3; 2;1), z = (1; 2; 3) ;
10.xr = (2; 2;1), yr =(2; 0;1), z =(3; 7; 2) ;
11.xr =(1; 0;1), yr =(−1; 2; −6), z =(2; −6;17) ;
12.xr = (2;1; 2), yr = (1; 2;1), z = (6; 3; 4) ;
13.x =(2; 4; 2), y =(7; 3; 4), z =(2;1; 2) ;
14.xr = (2; 3; 2), yr = (−2; 0;1), z = (4; 7; 5) ;
15.xr = (1; 0;1), yr = (5; 3; 4), z = (4; 2; 4) ;
16.x =(2; 4; 3), y =(2; 2; 3), z =(3;10; 5) ;
17.xr = (6; 7; 4), yr = (2; 4; 3), z = (−4; − 3; −1) ;
18.x =(8; 3; −2), y =(−1; 0;1), z =(3;1; −1) ;
19.xr = (2;1;1), yr = (2;1; 2), z = (6; 6; 6) ;
20.xr = (9; 2; 5), yr = (4;1; 2), z = (−1; −1;1) ;
21.x =(4; 3; 3), y =(9; 5; 8), z =(5; 3; 4) ;
22.xr = (8;11; 6), yr = (3; 4; 2), z = (1;1; 0) ;
23.x =(−4;1; 6), y =(−2;1; 4), z =(−1; 3; 7) ;
r |
r |
= p + |
3q ; |
y = −10p + 4q ; |
|
r |
r |
y = 5 p −6q .
44
24.xr = (5; 4; 5), yr = (3;1; 0), z = (4; 2; 4) ;
25.x =(3; 0; 3), y =(−1; −1;1), z = (8;1; 6) ;
26.xr = (1; 0; 3), yr = (−1; 3; −8), z = (−1;1; −4) ;
27.x =(1; 2;1), y =(6; 3; 4), z =(2;1; 2) ;
28.xr = (8; 2; 2), yr = (3;1; 3), z = (9; 4; 9) ;
29.xr = (3; 0; −1), yr = (−1;1;1), z = (−12; 21;18) ;
30. x =(0; 2;1), y =(2; −4;1), z =(−7;10; −5) .
4. Чи компланарні задані вектори? Знайти норму вектора a і c . 1. a ={2, 3, 1}, b ={−1, 0, −1}, c ={2, 2, 2}.
2. a ={3, 2, 1}, b ={2, 3, 4}, c ={3, 1, −1}.
3. a ={1, 5, 2}, b ={−1, 1, −1}, c ={1, 1, 1}.
4. a ={1, −1, −3}, b ={3, 2, 1}, c ={2, 3, 4}.
5. a ={3, 3, 1}, b ={1, −2, 1}, c ={1, 1, 1}.
6. a ={3, 1, −1}, b ={−2, −1, 0}, c ={5, 2, −1}.
7. a ={4, 3, 1}, b ={1, −2, 1}, c ={2, 2, 2}.
8. a ={4, 3, 1}, b ={6, 7, 4}, c ={2, 0, −1}.
9. a ={3, 2, 1}, b ={1, −3, −7}, c ={1, 2, 3}.
10. |
a ={3, |
7, |
2}, |
b ={−2, |
0, |
|
−1}, |
c ={2, 2, |
1}. |
|||
11. |
a ={1, |
−2, |
6}, |
b ={1, |
0, |
|
1}, |
c ={2, |
−6, |
17}. |
||
12. |
a ={6, |
3, |
4}, |
b ={−1, |
−2, |
−1}, |
c ={2, |
1, |
2}. |
|||
13. |
a ={7, |
3, |
4}, |
b ={−1, |
−2, |
−1}, |
c ={4, |
2, |
4}. |
|||
14. |
a ={2, |
3, |
2}, |
b ={4, |
7, |
5}, |
c ={2, |
0, |
−1}. |
|||
15. |
a ={5, |
3, |
4}, |
b ={−1, |
0, |
|
−1}, |
c ={4, |
2, |
4}. |
||
16. |
a ={3, |
10, |
5}, |
b ={−2, |
−2, |
−3}, c ={2, |
4, 3}. |
|||||
17. |
a ={−2, |
−4, −3}, b ={4, |
3, |
1}, |
c ={6, |
7, |
4}. |
|||||
45
18. |
a ={3, |
1, |
−1}, |
b ={1, |
0, |
−1}, c ={8, 3, |
−2}. |
|
|||||||
19. |
a ={4, |
2, |
2}, |
b ={−3, |
−3, |
−3}, |
c ={2, |
|
1, |
2}. |
|||||
20. |
a ={4, |
1, |
2}, |
b ={9, |
2, |
5}, |
c ={1, |
1, |
−1}. |
|
|
||||
21. |
a ={5, |
3, |
4}, |
b ={4, |
3, |
3}, |
c ={9, |
5, |
|
8}. |
|
|
|||
22. |
a ={3, |
4, |
2}, |
b ={1, 1, |
0}, |
|
c ={8, |
11, |
|
6}. |
|
|
|||
23. |
a ={4, |
−1, |
−6}, |
b ={1, |
−3, |
|
−7}, c ={2, |
−1, |
−4}. |
||||||
24. |
a ={3, |
1, |
0}, |
b ={−5, |
−4, |
−5}, |
c ={4, |
|
2, |
4}. |
|||||
25. |
a ={3, |
0, |
3}, |
b ={8, |
1, |
6}, |
c ={1, |
1, |
−1}. |
|
|
||||
26. |
a ={1, |
−1, |
4}, |
b ={1, |
0, |
3}, |
c ={1, |
−3, |
8}. |
|
|||||
27. |
a ={6, |
3, |
4}, |
b ={−1, |
−2, |
−1}, |
c ={2, |
|
1, |
2}. |
|||||
28. |
a ={4, |
1, |
1}, |
b ={−9, |
−4, |
−9}, |
c ={6, |
|
2, |
6}. |
|||||
29. |
a ={−3, |
3, |
3}, |
b ={−4, |
7, |
6}, |
c ={3, |
0, −1}. |
|||||||
30. |
a ={−7, |
10, −5}, |
b ={0, |
−2, |
−1}, |
c ={−2, |
4, |
−1}. |
|||||||
Завдання підібрано з джерела [2].
Питання для самоперевірки
1.Які ви знаєте способи задання векторів?
2.За допомогою яких команд можна знайти суму векторів?
3.Що обчислює команда dotprod(a,b)?
4.Як обчислити векторний добуток?
5.Як знайти базис системи n векторів?
6.За допомогою якої команди можна знайти норму вектора?
7.Яку дію виконує команда subs?
8.За допомогою якої команди можна записати лінійну комбінацію векторів?
46
Заняття 2 «Матриці та визначники»
Теоретико-практична частина 1
Обчислення визначників
Нагадаємо, основна частина команд для розв'язування задач лінійної алгебри міститься в бібліотеці linalg. Тому перед розв'язуванням задач з матрицями та векторами слід підключити вказану бібліотеку командою with(linalg):.
Визначник можна описати різними способами.
Способи задання визначників
І спосіб <<a11,a21,...,an1>|<a12,a22,...an2>|...<a1n,a2n,...ann>>; ІІ спосіб <<a11|a12|...a1n>,<a21|a22|...an2>,...<an1|an2|...ann>>;.
Таким чином, в першому випадку елементи вводяться по стовпцям, а в другому - по рядкам. Також можна задати визначник, використовуючи команду matrix, з якою ознайомимося більш детально нижче.
|
−3 |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|||||
Приклад 1. Задати визначник |
2 |
− 2 |
1 |
4 |
|
. |
|
4 |
0 |
−1 |
2 |
|
|
|
3 |
1 |
−1 |
4 |
|
|
Хід розв’язування
І спосіб.
>with(linalg): Delta:=<<-3,2,4,3>|<2,-2,0,1>|<1,1,-1,-1>|<0,4,2,4>>;
ІІспосіб.
>Delta:=<<-3|2|1|0>,<2|-2|1|4>,<4|0|-1|2>,<3|1|-1|4>>;
47
Визначник обчислюється за допомогою команди det(A);. Також є команди для знаходження мінорів. Команда minor(A,i,j); виводить матрицю, отриману з вихідної матриці А викреслюванням i-го рядка та j-го стовпця. Мінор M ij елемента aij матриці А можна обчислити командою det(minor(A,i,j)).
Приклад 2. Знайти мінор M12 та обчислити. Знайти алгебраїчне доповнення елементу a12 .
Хід розв’язування
Знайдемо мінор M12 , тобто визначник, який отримується викреслюванням 1-го рядка і 2-го стовпця:
> minor(Delta,1,2);
Тепер обчислимо знайдений мінор:
> M12:=det(%);
Також мінор можна обчислити за допомогою команди Minor, підключивши попередньо пакет Student[LinearAlgebra] командою with(Student[LinearAlgebra]):.
> with(Student[LinearAlgebra]):
Minor(Delta,1,2);
Знайдемо алгебраїчне доповнення елементу a12 :
> A12:=(-1)^(1+2)*M12;
48
−3 2 1 0
Приклад 3. Обчислити визначник |
2 |
− 2 |
1 |
4 |
та розкласти за заданими |
|
4 |
0 |
−1 |
2 |
|
|
3 |
1 |
−1 |
4 |
|
умовами: а) за елементами першого рядка; б) за елементами другого стовпця; отримати нулі в першому рядку.
Хід розв’язування Спочатку обчислимо заданий визначник однією командою:
> det(Delta);
Тепер будемо розкладати визначник за заданими умовами та обчислювати його а) розкласти визначник за елементами 1-го рядка
>(-1)^(1+1)*Delta[1,1]*minor(Delta,1,1)+ (-1)^(1+2)*Delta[1,2]*minor(Delta,1,2)+ (-1)^(1+3)*minor(Delta,1,3)+ (-1)^(1+4)*Delta[1,4]*minor(Delta,1,4);
Для того, щоб обчислити визначник, скопіюємо формулу розкладу та застосуємо оператор det до кожного мінору.
>(-1)^(1+1)*Delta[1,1]*det(minor(Delta,1,1))+ (-1)^(1+2)*Delta[1,2]*det(minor(Delta,1,2))+ (-1)^(1+3)*det(minor(Delta,1,3))+ (-1)^(1+4)*Delta[1,4]*det(minor(Delta,1,4));
Можна було б використати команду Minor, підключивши попередньо пакет
Student[LinearAlgebra].
49
б) розкласти визначник за елементами 2-го стовпця
> (-1)^(1+2)*Delta[1,2]*minor(Delta,1,2)+(-
1)^(2+2)*Delta[2,2]*minor(Delta,2,2)+(-
1)^(3+2)*Delta[3,2]*minor(Delta,3,2)+(-
1)^(4+2)*Delta[4,2]*minor(Delta,4,2);
Самостійно перевірте, що результат дорівнює 38. в) отримати нулі в 1-му рядку
> Delta;
Поділимо 3-ій стовпчин на 3 (помножимо 3-ій стовпчик на 13 ):
> mulcol(Delta,3,3);
Додамо до 3-го совпця 1-ий:
> addcol(%,3,1);
Помножимо 3-ій стовпчик на число 2:
50
>mulcol(%,3,1/3);
>mulcol(%,3,-2);
>addcol(%,3,2);
>mulcol(%,3,1/(-2));
>(-1)^(1+3)*minor(%,1,3);
>det(%);
51
Теоретико-практична частина 2
Матриці та операції над ними
Перед розв'язуванням задач з матрицями та векторами виконуємо команду with(linalg):.
Для опису матриці в Maple можна використовувати команду: matrix(n, m, [[a11,a12,…,a1n], [a21,a22,…,a2m],…, [an1,an2,…,anm]]),
де n - число рядків, m – число стовбців матриці. Ці числа задавати необов'язково, досить перерахувати елементи матриці по порядку в квадратних дужках через кому.
Діагональну матрицю в Maple можна отримати командою diag. Також матрицю можна заповнювати випадковими числами, використовуючи команду RandomMatrix(n); підключивши попередньо пакет
Student[LinearAlgebra] командою with(Student[LinearAlgebra]):.
Число рядків матриці А можна визначити за допомогою команди rowdim(A), а число стовбців – за допомогою команди coldim(A).
Приклад 4. Описати матриці А та В: A = |
|
− 4 |
0 |
1 |
|
, |
B = |
|
1 |
2 |
−3 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
−1 |
3 |
|
|
2 |
0 |
1 |
|
||||
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
− 2 |
1 |
3 |
|
|
Отримати матрицю заповнену випадковими числами та діагональну матрицю. Визначити число рядків матриці А.
Хід розв’язування Підключаємо бібліотеку linalg.
>with(linalg):
>A:=matrix([[-4,0,1],[2,-1,3],[3,2,2]]);
>B:=matrix([[1,2,-3],[2,0,1],[-2,1,3]]);
52