Posibnuk

>id:=integrand(%%);

>((denom(%))^(1/m));

>simplify(%,radical,symbolic) ;

>d:=(diff(%,x));

>zam:=d/lcoeff(d);

>changevar(z=zam,Int(id,x=10..22),z);

>simplify(%);

>expand(%);

>value(op(1,%))+changevar(s=z^2,op(2,%),s);

>value(%);

133

> evalf(%);

Команда simplify(%,radical,symbolic); спрощує вираз з радикалами, нормалізує раціональний вираз.

Контрольні завдання 1. Знайти інтеграли від найпростіших раціональних дробів.

1.	а). ∫	dx			,	б). ∫	dx			.
		3x +	4				(7x −1)	3
2.	а). ∫	dx			,	б). ∫	dx				,
		7x − 4					(8x −9)		5

	3.	а). ∫	dx			,					б).
			4x +	2
	4.	а). ∫	dx				,				б).
			2x −	4
	5.	а). ∫	dx							,	б).
			6x −	40
	6.	а). ∫	dx			,					б).
			4x +1
	7.	а). ∫	dx							,	б).
			40x −1
	8.	а). ∫	dx							,	б).
			8x −12
	9.	а). ∫	dx						,		б).
			10x −1
	10.	а). ∫	dx							,	б).
			11x + 2

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

dx			,
(3x + 7)4
dx			,
(2x −6)5
dx				,
(3x +11)4
dx			,
(5x + 6)5

dx		,
(15x + 4)7
dx			,
(5x −32)5
dx
	,
(3x + 4)6
dx				,
(2x −32)5

134

11.а).

12.а).

13.а).

14.а).

15.а).

16.а).

17.а).

18.а).

19.а).

20.а).

21.а).

22.а).

23.а).

24.а).

25.а).

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

dx , 21x − 2

dx , 8x −3

dx , 3x +9

	dx	,
	7x −9

dx , 9x +1

	dx		,
	4x −1

dx , 5x +1

	dx			,
	12x +1
	dx		,
	2x −	9
	dx		,
	2x −	9
	dx					,
	3x −19
	dx				,
	30x −1

	dx			,
	13x +11
	dx		,
	7x +11
	dx		,
	17x −1

б). ∫

dx

,

(21x −7)

3

б). ∫

dx

,

(2x

+ 7)

4

б). ∫

dx

,

(2x −5)

7

б). ∫

dx

,

(6x +5)

8

б). ∫

dx

,

(5x

−11)

4

б). ∫

dx

,

(5x +1)

3

б). ∫

dx

,

(11x −

1)

7

б). ∫

dx

,

(9x +1)

8

б). ∫

dx

,

(6x −1)

7

б). ∫

dx

,

(6x −1)

7

б). ∫

dx

,

(7x

+ 21)

8

б). ∫

dx

,

(5x

−16)

4

б). ∫

dx

,

(3x

+12)

6

б). ∫

dx

,

(8x

−1)

10

б). ∫

dx

,

(5x

+1)

11

135

26.

а). ∫

dx

,

б). ∫

dx

,

6x +15

(15x −14)

5

27.

а). ∫

dx

,

б). ∫

dx

,

16x −1

(4x − 2)

8

28.

а). ∫

dx

,

б). ∫

dx

,

11x −10

(2x

+11)

6

29.

а). ∫

dx

,

б). ∫

dx

,

10x +1

(20x −

1)

3

30.

а). ∫

dx

,

б). ∫

dx

,

5x −4

(7x

+11)

9

2. Знайти визначені інтеграли від найпростіших раціональних дробів.

1.а).

в).

2.а).

в).

3.а).

в).

4.а).

в).

5.а).

в).

0

dx

,

−∫10

x2 − 4x +5

18

3x

− 2

dx ,

∫6

5x2 − 20x +8

4

dx

,

−∫4

x2 + 6x +13

15

4x +3

∫1

dx ,

x2 + 6x +13

1

dx

,

−∫10

x2 −10x +16

10

5x

− 2

dx ,

∫2

x2 +14x +13

14

dx

,

∫1

4x2 + 4x + 2

12

∫1		3x + 2		dx ,
		5x2 +30x +18
15		dx	,
∫5
		x2 − 4x +3
20

∫ 5x + 7 dx ,

2 2x2 + 20x + 40

б).

г).

б).

г).

б).

г).

б).

г).

б).

г).

∫4								dx				,
				2						3
0 (x						− 4x +5)
20∫						5x + 7							dx ;
			(x	2						2
8						− 4x +13)
4								dx											,
∫
						2				3
−2 (4x							−12x +18)
15∫						4x −9					dx ;
			(x	2		+ 6x +			3
5									5)
14								dx												,
∫
			(25x				2	− 40x		3
5										+11)
12∫							3x +8									dx ;
			(3x		2		−12x +					2
5										5)
15								dx						,
∫
			(x	2						3
6						−6x +10)
10∫							5x −7										dx ;
			(x	2								3
5						−16x + 48)
13								dx							,
∫
			(9x			2				3
8							+ 6x +5)
15∫							4x +9											dx ;
			(5x		2		− 20x +						2
4										8)

136

6.	а).	12∫					dx			,
				9x		2	−12x +5
		2
	в).	17				4x −3		dx ,
		∫
				2x		2	−8x +3
		7
7.	а).	10∫					dx				,
				x	2	−10x +34
		1
	в).	24∫				5x + 2			dx ,
				x	2	+ 4x −12
		6

15dx

8.а). ∫2 x2 − 4x +8 ,

в).

20∫

3x − 4

dx ,

x

2

10

+8x −9

9.

а).

10∫

dx

,

x

2

+ 6x +5

1

в).

18∫

4x +5

dx ,

x

2

1

+14x +33

10.

а).

12∫

dx

,

9x

2

3

−12x +3

10

5x −3

,

в). ∫

dx

2

−6x +18

−2 x

11.

а).

15∫

dx

,

x

2

− 4x +13

3

в).

14∫

3x + 4

dx ,

2

+10x +

29

−3 x

12.

а). −∫1

dx

,

2

9

−8 4x

−10x +

в).

20∫

4x −5

dx ,

x

2

1

−6x +13

13.

а).

12∫

dx

,

2

+14x +

40

−2 x

	11																				dx
б). ∫																										,
											(2x						2						3
	2																			+ 20x +1)
г). −∫5																				3x −8									dx ;
														2			+12x +						2
	−9 (x																					20)
б).	0																				dx						,
	∫
																2			−8x +				3
	−10 (x																					20)
г). −∫10																				5x + 6										dx ;
																2			+ 4x +				2
	−20 (x																					20)
б).	−2																				dx										,
	∫
											(4x						2						3
	−8																			−12x +5)
г). −∫10																					4x −7														dx ;
																		2			−18x −		3
	−18 (3x																						4)
б).	15																				dx											,
	∫
											(2x						2						3
	5																			+12x + 2)
г).	−∫8																			3x + 7					dx ;
																2							3
	−14 (x																		+8x +32)
б).	3																				dx									,
	∫
											(x				2		−10x +						3
	−1																					24)
г). −∫1																	5x −6							dx ;
														2								2
	−8 (x																−8x +5)
б).	13																				dx																,
	∫
											(36x								2							3
	5																				−12x +10)
г).14∫																			4x + 7														;
															2			+16x +					2
	1 (2x																					10)
б).	16																				dx													,
	∫
											(5x						2			+30x +			3
	4																						4)
г). ∫7																				3x −7																dx ;
																2								2
	1 (5x																		−10x +12)
б).	17																				dx							,
	∫
											(x			2			−12x +						3
	10																					35)

137

в).

14.а).

в).

15.а).

в).

16.а).

в).

17.а).

в).

18.а).

в).

19.а).

в).

20.а).

в).

0

5x +3

dx ,

−∫4

3x2 −36x +39

−2

dx

,

−∫12

4x2 + 4x +5

24

3x −5

,

10∫

dx

x2 −8x −9

15

dx

,

∫5

16x2 +8x −15

20

4x + 6

∫5

dx ,

x2 +10x +34

10

dx

,

∫1

x2

+12x + 20

−4

5x − 4

dx ,

−∫12

3x2 −12x −5

14

dx

,

−∫4

x2 +14x +58

−1

3x +5

dx ,

−∫10

x2 +12x −13

−6

dx

,

−∫15

4x2 −10x +16

−2

4x −6

dx ,

−∫11

x2 −16x + 60

18

dx

∫2

,

4x2 + 4x −3

15

5x + 4

dx ,

∫1

4x2 −16x +32

14

dx

,

∫2

x2 +12x +11

25

3x −7

12∫

dx ,

x2

−14x + 40

г).	10∫										5x + 4						dx ;
							2			−12x +				3
	2				(x								11)
б).	19											dx												,
	∫
					(2x					2	+ 20x		+	3
	6													14)
г). ∫8											3x +5					dx ;
							2			+12x −				3
	2 (x												11)
б).	20											dx												,
	∫
					(2x					2	− 20x +			3
	10													18)
г). , ∫9												5x − 4															dx ;
						(5x					2						2
	1											+ 20x −18)
б).	16											dx										,
	∫
					(x			2						3
	6									−14x +50)
г). ∫8											3x −5							dx ;
							2			−14x −				2
	0 (x												32)
б).	18											dx													,
	∫
					(3x					2	+ 42x		+	3
	10													47)
г). ∫8												5x +3											dx ;
									2									2
	2 (2x										− 20x +18)
б).	18											dx														,
	∫
					(2x					2	+ 20x		+	3
	5													66)
г).	12∫										4x −5								dx ;
							2			−16x +				3
	1				(x								68)
б).	20											dx																,
	∫
					(3x					2	+ 42x		+											3
	6													148)
г).	11∫										3x + 4										dx ;
							2			+16x +				2
	2 (x												60)
б).	10											dx								,
	∫
					(x			2						3
	2									−16x +15)
г).	12∫									5x −3					dx ;
							2							3
	5				(x					+8x −33)

138

21.а).

в).

22.а).

в).

23.а).

в).

24.а).

в).

25.а).

в).

26.а).

в).

27.а).

в).

28.а).

12

dx

,

∫3

9x2 −12x +8

22

4x + 7

,

10∫

dx

2x2 −12x +5

17

dx

,

∫2

4x2 −10x + 21

11

5x −6

∫2

dx ,

x2 −14x +15

−4

dx

−∫10

x2 −16x +15

,

8

3x + 7

,

∫3

dx

x2 −12x + 20

16

dx

,

∫2

3x2 +12x +3

18

4x −11

∫8

dx ,

2x2 −16x +15

−3

dx

−∫14

,

x2 − 4x −5

28

5x + 6

∫9

dx ,

3x2 − 24x + 4

18

dx

,

∫6

9x2 −12x −5

25

3x −8

,

∫1

dx

x2 −10x + 41

−2

dx

,

−∫12

4x2 − 28x +13

14

4x +9

∫2

dx ,

2x2 + 20x −9

0

dx

,

−∫10

x2 −16x + 28

	9										dx
б). ∫																										,
			(25x						2															3
	2										− 40x +12)
г).	10∫									4x +5												dx ;
			(3x				2						2
	4								−36x +14)
б).	−2										dx													,
	∫
									2				3
	−10 (4x										− 20x +9)
г). ∫2								3x − 4								dx ;
						2							3
	−4 (x							+ 4x − 21)
б).	15										dx							,
	∫
			(x			2							3
	2							−18x +19)
г). ∫0									5x + 2										dx ;
								2	+10x −				2
	−2 (5x												8)
	8										dx
б). ∫																				,
			(9x					2					3
	2								+ 6x +15)
г). ∫0								4x −3						dx .
						2						3
	−4 (x							−6x +5)
б).	15										dx										,
	∫
			(x			2							3
	4							− 20x +51)
г). ∫8									3x + 2								dx ;
					2									2
	0 (x							+16x −17)
б).	12										dx													,
	∫
			(36x						2		−12x		3
	5											+5)
г). ∫7								5x − 2							dx ;
						2							3
	−2 (x							−8x + 41)
б).	14										dx														,
	∫
			(2x					2	+12x +				3
	6												22)
г). ∫7										4x +3													dx ;
							2		− 20x +											2
	3 (2x												35)
б).	15										dx													,
	∫
			(x			2							3
	5							+30x +125)

139

в).

17∫

5x −7

dx ,

г). ∫6

3x − 2

dx ;

2

+16x +

68

2

3

26 x

−1 (x

+14x + 24)

29.

а).

18∫

dx

,

б).

13∫

dx

,

2x

2

+12x +9

(5x

2

3

0

3

+30x + 49)

в).

16∫

3x +8

dx ,

г).

20∫

5x +9

dx ;

x

2

−10x +

29

(6x

2

2

5

5

− 24x + 20)

30.

а).

15∫

dx

,

б).

15∫

dx

,

(x

3

5

2x

+12x −7

4

+ 26x +

69)

в).

28∫

4x −9

dx ,

г). ∫3

3x −11

dx .

2x

2

− 28x − 25

2

3

16

−5 (x

−12x +32)

Завдання 1 підібрано з джерела [5], завдання 2 – з джерела [6].

Питання для самоперевірки 1. Що називають найпростішим дробом?

2. Яка формула дає можливість обчислювати інтеграли ∫( dx )n ?

x2 +a2

3.Який оператор виділяє знаменник дробу?

4.Як встановити такий порядок доданків, де на першому місці стоїть доданок із старшим степенем?

Заняття 3 «Інтегрування раціональних дробів зведенням до найпростіших»

Теоретико-практична частина

Раціональним дробом R(x) називається дріб, чисельником і знаменником якого є многочлени, тобто кожний дріб вигляду:

	P	(x)		a	0	xn + a xn−1	+... + a	n
R(x) =	n		=			1			.
	Qm (x)			b xm + b xm−1			+... + b
				0		1	m

Якщо степінь многочлена в чисельнику більше чи дорівнює степеню многочлена в знаменнику (n≥m), то дріб називається неправильним. Якщо

140

степінь многочлена в чисельнику менше степеня многочлена в знаменнику (n<m), то дріб називається правильним.

Кожний неправильний раціональний дріб можна представити у вигляді суми многочлена (цілої частини) і правильного раціонального дробу. Це представлення досягається шляхом ділення чисельника на знаменник за

	правилом ділення многочленів
				Pk (x)		= Z (x) +	Pn (x)	,
				Q (x)
							Q (x)
				m			m
	де Z(x) - ціла частина дробу			Pk (x)		; Pn(x) – залишок від ділення (многочлен
			Qm (x)
	степеня n < m). Кожний	правильний раціональний дріб							Pn (x)	можна
									Qm (x)

представити у виді суми скінченного числа найпростіших раціональних

дробів першого - четвертого типів. Для розкладання

Pn (x)

на найпростіші

Qm (x)

дроби необхідно розкласти знаменник Qm(x) на лінійні і квадратні множники.

Теорема. Правильний

раціональний

дріб

Pn (x)

,

де

знаменник

має

Qm (x)

вигляд Qm (x) =

k

k

2 K(x

−α

k

2

s

(x

2

+ p

x +q

s

K(x

2

+ p

x +q

)

sj

=(x −α )

1 (x −α

2

)

) i (x

+ p x +q ) 1

2

2

) 2

j

j

1

i

1

1

____

( r =1, s j

pr 2 − 4qr < 0),

можна

єдиним

способом

розкласти

на

суму

найпростіших дробів:

P

(x)

A

A

A1k

n

=

11

+

12

+... +

1

+

Qm (x)

(x −α1 )

(x

−α1 )

2

k

(x −α1 ) 1

+

A

+

A

+... +

A2k

2

+

21

22

(x −α2 )

(x −α2 )2

(x −α2 )k2

+........................................................... +

A

A

Aik

i

+

i1

+

i2

+...

+

+

(x

−αi )

(x −αi )2

(x −αi )ki

141

+

M

11

x + N

11

+

M

12

x + N

12

+

+

M

1s x + N1s

+

1

1

x2 + p x + q

(x2 + p x

+ q

)2

(x2 + p x + q

)s1

1

1

1

1

1

1

+

M

21

x + N

21

+

M

22

x + N

22

+

+

M 2s

x + N 2s

2

1

x2 + p2 x + q2

(x2 + p2 x + q2 )2

(x2 + p2 x + q2 )s2

+

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

....

+

+

M

j1

x + N

j1

+

M

j2

x + N

j2

+ +

M js

x + N js

j

1

x2 + p j x + q j

(x2 + p j x + q j )2

(x2 + p j x + q j )s j

де A11,K, Aiki

, M11,K, M js j

, N11,K, N js j

деякі дійсні числа.

+

(3)

,

Метод невизначених коефіцієнтів. Метою методу є представлення

правильного дробово-раціонального виразу				Pn (x)	у	вигляді суми
				Qm (x)
найпростіших дробів.
Суть методу полягає в наступному:
1. Згідно теореми записується розклад правильного раціонального
дробу	Pn (x)	на найпростіші	дроби		з	невизначеними
	Qm (x)

коефіцієнтами за формулою (3).

2.Сума дробів зводиться до одного дробу зі знаменником Qm(x).

3.Многочлен Pn(x) прирівнюється до чисельника дробу, отриманого вище. Із рівності многочленів випливає рівність коефіцієнтів при однакових степенях змінної x, звідки випливає лінійна неоднорідна система алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів.

4.Розв’язання отриманої системи визначає значення шуканих невідомих коефіцієнтів.

Правило інтегрування раціональних дробів.

Для того, щоб проінтегрувати раціональний дріб, необхідно виконати наступні дії:

142