Posibnuk

7.	а).	18∫	3		dx	4	x	,
		6			x +
8.	а).	30∫	4	4	dx	8		,
		20			x −		x
9.	а).	12∫	3		dx	4	x	,
		5	5		x +
10.	а).	16∫	2	3	dx	6		x	,
		7			x −	3
11.	а).	20∫	3		dx		4	x	,
		9	3		x + 2
12.	а).	16∫	4		dx	3		x	,
		10			x −	5

8dx

13.а). ∫2 53 x + 44 x ,

14.	а).	14∫	2		dx		3	,
		3			x −			x
15.	а).	17∫			dx		4	,
		5		x +3				x
16.	а).	25∫	7	3	dx		4	,
		6			x −			x
17.	а).	12∫4			dx		6	,
		3		x +8				x
18.		18			dx
	а). ∫		6				4	,
		4			x −			x
19.	а).	19∫	7	4	dx		8	,
		5			x +			x
20.		7			dx
	а). ∫						4	,
		1		x −7				x
21.	а). ∫8		6		dx	8		,
		1		x +8				x

б).

б).

б).

б).

б).

б).

б).

б).

б).

б).

б).

б).

б).

б).

б).

8

∫1 3x

12

∫3 6 5x

10

∫3 7x

14

∫5 4 5x

18

∫2 6x

10

∫2 6 9x

11

∫1 3 2x

13

∫5 3x

10

∫2 4 2x

9

∫1 6 3x

12

∫1 6x

17

∫3 3 4x

10

∫4 4 6x

5

∫0 3 4x

18

∫2 6 5x

dx ;

+5 − 4 (3x +5)3

	dx		;
	+ 2 + 9	(5x + 2)2
	dx	7x −1 ;
	−1 + 4
	dx	5x −3 ;
	−3 + 6
	dx	6x +5 ;
	+5 −3
	dx	9x − 4 ;
	− 4 + 4
	dx	2x + 6 ;
	+ 6 − 4
	dx	3x −7 ;
	−7 + 3
	dx	2x +1 ;
	+1 − 6
	dx	3x +8 ;
	+8 −8
	dx	6x +1 ;
	+1 + 3
	dx	4x −3 ;
	−3 + 4
	dx	6x − 4 ;
	− 4 − 6
	dx	4x +5 ;
	+5 − 4
	dx	5x −1 ;
	−1 +8

153

22.	а). ∫9						dx		4	x	,
		1		x −6
23.	а).	11∫	6				dx	9		x	,
		1	3			x +
24.	а).	13∫	2				dx			3	,
		3					x −3				x
25.	а).	11∫	6				dx			9	,
		4	3			x + 2					x
26.	а).	20∫4			x		dx		8		,
		6					− 4			x
27.	а).	14∫	2	4			dx		8		,
		7					x +			x
28.	а).	13∫					dx		4	x	,
		8			x −5
29.	а).	20∫	10			3	dx			4	,
		13					x +				x
30.		9					dx
	а). ∫3			x					6	x	,
		1					− 2

Завдання підібрано з джерела [6].

		15		dx
	б). ∫8							;
				6x +3 −		4
		2					6x +3
	б).	1		dx				;
		∫
				5 − 2x +		3
		−4					5 − 2x
	б).	21		dx				;
		∫4
				3x + 2 −		6
		15					3x + 2
		15		dx
	б). ∫
				4x +3 + 4 (4x +				3)	3
		5
		14		dx
	б). ∫							;
				3x − 2 +		4
		3					3x − 2
		15		dx
	б). ∫
			6	2x + 4 −9 (2x +				4)		2
		5
	б).	20		dx				3 ;
		∫
			4	x −6 + 8 (x −6)
		10
		10		dx
	б). ∫4							;
				7x +1 −	6		7x +1
		2
	б).	18		dx				.
		∫
				3x − 2 +		3
		7					3x − 2

;

;

Питання для самоперевірки 1. Як обчислити інтеграли такого виду

x2

m1

m2

mk

ax +b n1

ax +b n2

ax +b nk

(m1, n1, m2, n2, …, mk, nk - цілі

∫R(x,

,

,...,

)dx

x1

cx + d

cx + d

cx + d

числа)?

2.Якими підстановками треба скористатись, щоб знайти інтеграли виду

∫R(x,n1 xm1 ,n2 xm2 ,...,nk xmk )dx (m1, n1, m2, n2, …, mk, nk - цілі числа)?

3.За допомогою якої команди можна спростити складний степеневий вираз?

4.Як виділити цілу частину неправильного дробу?

154

Заняття 2 «Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції»

Теоретико-практична частина

x2

Обчислити інтеграли вигляду ∫R(sin x,cos x)dx , за умови, що вони не є

x1

табличними, можна різними методами, викладеними раніше. Іноді буває досить перетворити підінтегральний вираз, використавши тригонометричні формули, застосувати методи "занесення" множника під знак диференціала, заміни змінної чи інтегрування частинами.

x2

Взагалі, для обчислення інтеграла вигляду ∫R(sin x,cos x)dx існує загальна

x1

універсальна схема, заснована на універсальній тригонометричній підстановці

t = tg

x

, t1 = tg

x1

, t2

= tg

x2

(4).

2

2

2

При цьому

sin x =

2t

, cos x =

1

−t 2

, dx =

2

dt .

+t

2

1

+t 2

1+t 2

1

Універсальна тригонометрична

підстановка

раціоналізує всі інтеграли

x2

вигляду ∫R(sin x,cos x)dx , але досить часто після підстановки підінтегральний

x1

вираз набуває громіздкого вигляду, тому буває більш зручно застосовувати одну із трьох підстановок, наведених нижче:

1.	Якщо R(sin x,−cos x) = −R(sin x,cos x) , то t = sin x , t1	= sin x1 , t2 = sin x2 .
2.	Якщо R(−sin x,cos x) = −R(sin x,cos x) , то t = cos x , t1	= cos x1 , t2 = cos x2 . (5)
3.	Якщо R(−sin x,−cos x) = R(sin x,cos x) , то t = tg x , t1 = tg x1 , t2 = tg x2 .

Зауважимо, що кожен вираз R(sin x,cos x) може бути представленим у

вигляді трьох доданків

155

R(sin x, cos x) =		R(sin x, cos x) − R(−sin x,cos x)			+
		2
+	R(−sin x, cos x) − R(−sin x,−cos x)		+	R(−sin x,−cos x) + R(sin x, cos x)		,
				2
		2

які відповідають умовам, за яких виконуються підстановки (5). Таким чином підстановки (5) також мають універсальний характер.

x2

До інтегралів вигляду ∫sin n x cosm xdx (m, n є Z) застосовні підстановки

x1

(5). Відмітимо, що якщо хоча б одне з чисел m і n - непарне, то, відокремлюючи від непарного степеня один співмножник і виражаючи за допомогою формули sin 2 x +cos2 x =1 парний степінь, що залишився, приходимо до інтеграла від раціонального або дробово-раціонального виразу. Якщо ж обидва показника степеня m і n – парні додатні числа, то доцільне

застосування формул

пониження

степеню,

cos2 x =

1+ cos 2x

,

а також

2

sin x cos x =

1

sin 2x .

2

x2

x2

Інтеграли вигляду

∫tgn xdx ,

∫ctgn dx ,

(n

є

N, n

> 1) обчислюються

x1

x1

підстановкамиtg x = t , t1,2

= tg x1,2

і ctg x = t , t1,2

= ctg x1,2 , відповідно.

Останній

Якщо t = tg x , то x = arctgt ,

dx = dt

2 .

Тоді

∫2 tgn xdx = ∫2

t n 2 dt .

x

t

1+t

x1

t1

1+t

інтеграл при n ≥ 2 є інтегралом від неправильного раціонального дробу, що обчислюється за правилом інтегрування раціональних дробів.

Аналогічно,

якщо

t = ctg x ,

то

x = arcctgt ,

dx = −

dx

,

звідки

+t 2

1

x

t

t n

∫2 ctgn xdx = −∫2

dt .

1+t

2

x

t

1

1

156

x2	x2	x2
Інтеграли вигляду ∫sin mx cos nxdx ,	∫cos mx cos nxdx ,	∫sin mx sin nxdx , (m, n R)
x1	x1	x1

обчислюються шляхом розкладання підінтегральної функції на доданки за формулами:

	sin mx cos nx =			1				(sin(m + n)x + sin(m − n)x),
			2
	cos mx cos nx =		1					(cos(m + n)x + cos(m − n)x),
			2
	sin mx sin nx =				1			(−cos(m + n)x + cos(m − n)x).
			2
	Приклад 1. Знайти інтеграл ∫2				dx				.
	0,82 −5sin x

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Для введення універсальної тригонометричної підстановки у першому операторі введено допоміжні співвідношення UTP, які зв’язують тангенс

половинного аргументу 2x з синусом та косинусом від x . Ці вирази

використовуються в операторі simplify, для спрощення підінтегрального виразу.

>UTP:={sin(x)*(1+(tan(x/2))^2)-2*(tan(x/2))^2=0, cos(x)*(1+(tan(x/2))^2)-(1-(tan(x/2))^2)=0};

>Int(1/(2-5*sin(x)),x);

>changevar(t=tan(x/2),%,t);

>simplify(%,UTP);

157

>J:=integrand(%);

>denom(%);

>completesquare(%);

>sort(%);

>zam:=sqrt(op(1,%));

>changevar(z=zam,Int(J,t),z);

>simplify(%);

>value(%);

>changevar(z=zam,%,t);

>changevar(t=tan(x/2),%,x);

158

> radsimp(%);

> Eval(%,x=0.8..2);

> value(%);

> evalf(%);

π
3	sin	5	x
Приклад 2. Обчислити інтеграл ∫				dx .
		2
0	cos		x

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Наведемо проміжні дії, ввівши заміну змінної t = cos x .

>Int(sin(x)^5/cos(x)^2,x);

>changevar(t=cos(x),%,t);

>simplify(%);

>expand(%);

159

>value(%);

>changevar(t=cos(x),%,x);

>Eval(%,x=0..Pi/3);

>value(%);

π

Приклад 3. Обчислити інтеграл ∫2 sin 4 xdx .

0

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Для застосування формул пониження степеня підготовлені набори відповідних співвідношень FPS1, FPS11, FPS2, FPS22, F3, F33 для аргументів x та t . В даному прикладі застосовано співвідношення FPS1 та FPS22 які використовуються в операторах simplify.

Проміжні дії мають такий вигляд:

>FPS1:={sin(x)^2=(1-cos(2*x))/2};

>FPS11:={sin(t)^2=(1-cos(2*t))/2};

>FPS2:={(cos(x))^2=(1+cos(2*x))/2};

160

>FPS22:={(cos(t))^2=(1+cos(2*t))/2};

>F3:={sin(x)*cos(x)=(sin(2*x))/2};

>F33:={sin(t)*cos(t)=(sin(2*t))/2};

>Int(sin(x)^4,x);

>simplify(%,FPS1);

>changevar(t=2*x,%,t);

>simplify(%,FPS22);

>expand(%);

>value(%);

>changevar(t=2*x,%,x);

161

>Eval(%,x=0..Pi/2);

>value(%);

Приклад 4. Знайти інтеграл π∫sin(2x +1) cos(−x +5)dx .

−π2

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Наведемо проміжні дії.

>Int(sin(2*x+1)*cos(-x+5),x);

>combine(%);

>expand(%,sin,cos);

>value(%);

>Eval(%,x=-Pi/2..Pi);

>value(%);

162