Posibnuk

Розглянувши інтеграл j1 видно, що його знаходження зводиться до знаходження інтегралу j2.

Проміжні дії мають вигляд:

>restart:

with(student): Int(ln(3*x)^2+5*ln(3*x),x=1..8);

>changevar(3*x=t,%);

>j:=expand(%);

>j1:=op(1,j);

>j1:=simplify(intparts(j1,ln(t)^2));

>j2:=op(2,j);

>j1+j2;

113

>intparts(%,ln(t));

>value(%);

Якщо зробити деякі логарифмічні перетворення, то видно співпадіння з результатом, який отриманий командою int.

Нагадаємо, команда restart скасовує всі попередні присвоювання змінним.

Приклад 7. Обчислити інтеграл 10∫arctg 3x − 4dx .

2

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Кінцева відповідь:

> int(arctan(sqrt(3*x-4)),x=2..10);

При розв’язуванні даного прикладу використовуємо метод заміни змінної та метод інтегрування за частинами.

Проміжні дії:

>with(student): Int(arctan(sqrt(3*x-4)),x=2..10);

>changevar(sqrt(3*x-4)=t,%);

114

>intparts(%,arctan(t));

>j1:=op(1,%)+op(2,%);

>j2:=op(3,%%);

>-convert(integrand(j2),parfrac,t);

>Int(%,t=sqrt(2)..sqrt(26));

>j1+expand(%);

>value(%);

Оператор convert(integrand(j2),parfrac,t) розкладає дробово-раціональний підінтегральний вираз на елементарні дроби.

115

Контрольні завдання 1. Знайти невизначені інтеграли, використовуючи формулу інтегрування частинами.

1.	а). ∫(2x −1)e2 x dx ,	б). ∫(x2 − 2x +1)cos x dx ,
	в).	∫x3 cos(x2 )dx ,
2.	а). ∫(3 − x)sin 3x dx ,	б). ∫(x2 − 4x +1)e2x−5 dx ,
	в). ∫4x3 sin x2 dx ,

3.	а). ∫(2 x +1)cos(−2x + 4) dx ,	б).
	в). ∫−3x3 5x2 dx ,
4.	а). ∫(x + 2) 2x dx ,	б).
	в). ∫x3 ex2 dx ,

∫

∫

(−x2 +5x −7) 3x dx ,

(x2 + 4x − 2)sin 3x dx ,

5.	а). ∫(1−3 x) 4x dx ,	б). ∫(x2 − 4x +8)cos(2x +1)dx ,
	в). ∫2x5 cos x3 dx ,
6.	а). ∫(3 − 2x) cos 4x dx ,	б). ∫(1 − x + 4x2 )ex dx ,
	в). ∫−6x3 2x2 dx ,
7.	а). ∫(3x +1) e4x dx ,	б). ∫(8 −5x − x2 )sin x dx ,
	в).	∫x5 sin x3 dx ,
8.	а). ∫(−3x +1) 52x dx ,	б). ∫(4 + x − 4x2 )cos x dx ,
	в). ∫x7 ex4 dx ,
9.	а). ∫(x + 3) 52x dx ,	б). ∫(7x2 − x + 2)sin 5x dx ,
	в).	∫(x +1)5 sin( x +1)3 dx ,
10.	а). ∫(1+3x)cos 2x dx ,	б). ∫x2e1−4x dx ,
		116

	в). ∫(x −3)7 2(x−3)4 dx ,
11.	а). ∫(2 −5x)sin x dx ,	б). ∫(x2 − 2x + 3) cos 2xdx ,
	в). ∫(x − 4)7 sin(x − 4)4 dx ,
12.	а). ∫xe5x+4dx ,	б). ∫(1 − x + 2x2 )cos2x dx ,
	в). ∫(x + 2)7 cos(x + 2)4 dx ,
13.	а). ∫(2 +3x)sin 2x dx ,	б). ∫(5x − x2 )e3x dx ,
	в). ∫(x − 2)7 e(x−2)4 dx ,
14.	а). ∫(7x + 3) 4x dx ,	б). ∫x2 cos(5x + 4)dx ,
	в). ∫(2x −1)7 sin(2x −1)4 dx ,
15.	а). ∫(2x + 4) 7x−1 dx ,	б). ∫(5 −3x + x2 )sin 4x dx ,
	в). ∫(x + 3)3 cos(x + 3)2 dx ,
16.	а). ∫(2 + 5x) 3x dx ,	б). ∫(x2 − 2x + 7)cos5x dx ,
	в).	∫x13 cos(x7 )dx ,
17.	а). ∫(4x + 5)e3x dx ,	б). ∫(x2 + 5x −1)cos x dx ,
	в).	∫(5x +1)3 cos(5x +1)2 dx ,
18.	а). ∫(5 + 2x) 6x+2 dx ,	б). ∫(3 −5x + x2 )sin 2x dx ,
	в).	∫(2x −8)3 sin(2x −8)2 dx ,
19.	а). ∫(1 −5x)e2x dx ,	б). ∫(x2 + 2x −3)cos6x dx ,
	в).	∫(2x +1)3 cos(2x +1)2 dx ,
20.	а). ∫(2x + 4) 72x dx ,	б). ∫(x2 + 2x −3)sin 7x dx ,
	в).	∫(x +1)5 sin(x +1)2 dx ,

117

21.	а). ∫(2 − 4x)cos3x dx ,	б). ∫(1 − 4x − 4 x2 )ex dx ,
	в). ∫(2x +1)3 e(2 x+1)2 dx ,
22.	а). ∫(2 −3x)sin 5x dx ,	б). ∫(1 + 7x − 4 x2 )e2x dx ,
	в).	∫(3x −1)3 cos(3x −1)2 dx ,
23.	а). ∫(5 + 2x) 6x dx ,	б). ∫(2 −3x + x2 )sin 3x dx ,
	в). ∫(2x −3)3 sin(2x −3)2 dx.
24.	а) ∫(3 − 2x)cos 4x dx ,	б). ∫(1 + 2 x2 )e4x−1dx ,
	в).	∫(3x +1)5 cos(3x +1)2 dx ,
25.	а). ∫(2 + 3x)sin 4x dx ,	б). ∫x2 5−x+5 dx ,
	в). ∫(−2x +1)3 e(−2 x+1)2 dx ,
26.	а). ∫x 93x−5 dx ,	б). ∫(1 + 2x − 7x2 )cos2x dx ,
	в). ∫(2x −1)3 2(2x−1)2 dx ,
27.	а). ∫(3 + 4x) 5x+4 dx ,	б). ∫(2 − x + 3x2 )sin 2x dx ,
	в).	∫(x − 3)5 sin(x − 3)3 dx ,
28.	а). ∫(−3x + 4)sin xdx ,	б). ∫(x2 −5x + 3)e4x dx ,
	в). ∫(3x −2)5 cos(3x −2)3 dx ,
29.	а). ∫(13 − 2x) 2x dx ,	б). ∫(4 −3x −5x2 )cos3x dx ,
	в). ∫(2x + 3)3 3(2x+3)2 dx ,		;
30.	а). ∫(2 −x)ex+2dx ,	б). ∫(x2 +3x − 2)sin 6x dx ,
	в).	∫(−x + 8)3 sin(−x + 8)2 dx .

118

2. Обчислити визначені інтеграли.

1.а). ∫0 ex cos xdx ,

−π2

в). 10∫(ln2 (2x) −3ln(2x))dx ,

2

π

2.а). ∫2 e−2 x cos(3x +1)dx ,

0

в). ∫7 (ln2 (5x) + 4ln(5x))dx ,

1

π

3.а). ∫e2 x sin(5x − 4)dx ,

π

2

e

в). ∫(log22 (3x) −log2 (3x))dx ,

1

4.а). ∫0 ex−2 cos 2xdx ,

−π2

4

в). ∫(log32 (2x) −9log3 (2x))dx ,

2

5.а). ∫0 e−x cos(x +3)dx ,

−π2

10

в). ∫(log52 (6x) + 4log5 (6x))dx ,

1

π

6.а). ∫e2 x+1 cos(x + 4)dx ,

π

2

7

в). ∫(log24 (2x) −6log4 (2x))dx ,

2

π

7.а). ∫3 ex sin(3x −6)dx ,

0

5

в). ∫(log22 (5x) + 2log2 (5x))dx ,

1

		8
б). ∫			x2 +3dx ,
		1
г).	15∫arctg			2x −3dx ,
		3
б).		1	2 − x2 dx ,
		∫
		−1
г).		12∫arctg		2x −5dx ,
		5

4

б). ∫ 2x2 + 7dx ,

−2

г).	14∫arctg 5x −1dx ,
	1
б). ∫4		5x2 −9dx ,
	2
г).	15∫arcctg − 4 +3xdx ,
	3
б). ∫0		− 2x2 +3dx ,
	−1

г). 12∫arcctg 5x + 7dx ,

0

б). ∫1	− 2x2 +5dx ,
0

г). ∫0 arctg 9 − 4xdx ,

−5

б). ∫8 2x2 − 4dx ,

2

г). −∫2 x arctg xdx ,

−8

119

8.а). ∫0 e−x+2 cos 6xdx ,

	−π
	4
в).	15∫(log62 x − 4log6 x)dx ,
	2

π

9.а). ∫4 ex+1 cos(x −3)dx ,

0

12

в). ∫(log72 (2x) −3log7 (2x))dx ,

1

π

10.а). ∫ex−1 sin(2x −5)dx ,

0

3

в). ∫(log32 (3x) +5log3 (3x))dx ,

1

π

11.а). ∫e3x+2 sin(2x +1)dx ,

π

2

в). 10∫(ln2 (5x +2) −2ln(5x +2))dx,

0

π

12.а). ∫2 2x−1 cos xdx ,

0

в). 14∫(ln2 (2x −1) + 4ln(2x −1))dx ,

2

π

13.а). ∫2 3x sin 2xdx ,

0

19

в). ∫(log22 (3x +4) −2log2 (3x +4))dx,

0

π

14.а). ∫2 5x cos(x −6)dx ,

0

в). 15∫(ln2 (2x −3) +7ln(2x −3))dx,

3

б). ∫6		(x +1)2 +8dx ,
	0
г). ∫3		(x −9) arcctg(x −9)dx ,
	−5
б). ∫5		(x −3)2 + 4dx ,
	−2
г).	15∫(2x + 7) arctg(2x + 7)dx ,
	0
б). ∫0		(−x + 2)2 −3dx ,
	−4
г).	14∫(x +1) arctg(x +1)dx ,
	6
б). ∫3		(x −5)2 + 4dx ,
	−2
г).	12∫(x +3) arcctg(x +3)dx ,
	1
б). ∫0		(−x +5)2 −9dx ,
	−5
г).	14∫arcctg 3x −15dx ,
	6
б).	3	15 − x2 dx ,
	∫

−2

г). ∫0 arctg( 15 −8x )dx ,

−7

б). ∫8	3x2 +10dx ,
0

9

г). ∫(x +3) arctg(x +3)dx ,

−1

120

15.	а). π∫ex−3 cos(5x − 2)dx ,			б). ∫1		6 − 2x2 dx ,
		0			−1
	в).	18∫(log52 (4x −1) −3log5 (4x −1))dx,		г).	∫6	(x −8)arcctg(x −8)dx ,
		1			−5
		π
16.	а). ∫2		2x sin(x − 2)dx ,	б). ∫9		3x2 −17dx ,
		0			3
	в).	12∫(ln2 (2x +3) +4ln(2x +3))dx ,		г).	10∫(2x +3) arctg(2x +3)dx ,
		0			0
		π
17.	а). ∫4		3x cos 2xdx ,	б). ∫5		(−x +9)2 +1dx ,
		0			0
	в).	15∫(ln 2 (x −1) − 2 ln(x −1))dx ,		г).	∫3	(−x + 4) arctg(−x + 4)dx ,
		3			−5
18.	а).	π∫ex+2 sin 2xdx ,		б).	10∫	6x2	− 2dx ,
		π			1
		− 4
		10			18
	в). ∫		(log62 (3x+7) +5log6 (3x+7))dx,	г).	∫(6x +1) arctg(6x +1)dx ,
		0			1
19.	а). π∫e3x−4 sin(x −1)dx ,			б). ∫8		(x − 4)2 +5dx ,
		π			−2
		2
	в).	14∫(ln 2 (x − 6) + 3ln(x − 6))dx ,		г).	20∫arctg		3x −14dx ,
		6			9
		π
20.	а). ∫2 ex+1 cos(2x −1)dx ,			б).	10∫	5x2	− 4dx ,
		0			1
	в).	17	(log32 (x + 2) −9 log3 (x + 2))dx ,	г).	10		2x +3dx ,
		∫			∫arctg
		0			1
		π
21.	а). ∫2 ex−4 cos(x + 2)dx ,			б).	10∫	3(x −1)2 − 4dx ,
		0			3
	в).	10	(ln 2 (1 + 6x) + ln(1 + 6x))dx ,		8
		∫		г). ∫arctg			5x −7dx ,
		1			2

121

22.а).

в).

23.а).

в).

24.а).

в).

25.а).

в).

26.а).

π

∫2 e2 x+3 sin(x +5)dx ,

0

20∫(ln2 (−4 +3x) +3ln(−4 +3x))dx ,

5

π

∫4 ex−5 sin(x −1)dx ,

0

18

∫(log22(−3+5x)+2log2(−3+5x))dx,

2

π∫e3x+1 cos 2xdx ,

π

2

7

∫(log32 (6 +2x) −log3 (6 +2x))dx,

−1

∫0 2x+1 cos(x +3)dx ,

−π2

12

∫(log52 (−1+3x) +3log5(−1+3x))dx,

3

∫0 2x−1 sin(x −5)dx ,

−π2

б). ∫7			2(x + 7)2 +10dx ,
	−1
г).	12∫arcctg			3x − 4dx ,
	6
б).	−∫1		5 −(x +3)2 dx ,
	−4
г). −∫2 x arcctg x ,
	−9
б).	10∫ 3(x + 2)2 + 7dx ,
	0
г).	∫0	(x −1) arcctg(x −1)dx ,
	−8
б). ∫0			2(x −3)2 −5dx ,
	−4
12
г). ∫			x arctg	xdx ,
	1
б). ∫7			5(x − 2)2 + 4dx ,
	0

	в).		−∫1(2 ln 2 (3 −5x) + ln(3 −5x))dx ,			г).	15∫arctg		x − 4dx ,
			−7				6
			3π
27.	а).		∫2	3x cos 4xdx ,		б). ∫3		− x2	+15dx ,
			π				−1
		15			+3log(2 −1+2x))dx,		0
				2		г). ∫arctg 12 −3xdx ,
	в). ∫(−2log2(−1+2x)
		5					−8
			3π
28.	а).		∫2	3x−1 sin xdx ,		б).	87∫	−9 + 4x2 dx ,
			π				2
	в).	19∫(3ln2 (−9+4x) −2ln(−9+4x))dx,				г).	18∫arcctg		2x −7dx ,
		4					7

122