Posibnuk

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

73

25.	26.
27.	28.
29.	30.

	3. Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь.
1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.

74

13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

Завдання підібрано з джерела [3].

Питання для самоперевірки

1.Якими способами можна перетворити матрицю до трикутного виду?

2.Яка команда обчислює характеристичну матрицю?

3.Чи можна розв’язати систему лінійних рівнянь стандартною командою solve?

4.Що є аргументами А і b в команді linsolve(A,b)?

5.Який пакет необхідно підключити для виконання команди linsolve?

75

ДЕНЬ 3 МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

Заняття 1 «Поняття границі»

Теоретико-практична частина

В Maple для деяких математичних операцій існують по дві команди: одна – прямого виконання, а інша – відкладеного. Нагадаємо, імена команд складаються з однакових літер за виключенням першої: команди прямого виконання починаються з рядкової літери, а команди відкладеного виконання

– з прописної. Після звернення до команди відкладеного виконання математичні операції (інтеграл, границя, похідна і т.д.) виводяться на екран у вигляді стандартного аналітичного запису цієї операції. Обчислення в цьому випадку не відбувається. Команда прямого виконання одразу видає результат.

Команди для обчислення границь

1)прямого виконання – limit(expr,x=a,par), де expr – вираз, границю якого слід знайти, a – значення точки, для якої обчислюється границя, par – необов'язковий параметр для пошуку односторонніх границь (left – зліва, right – справа) або опису типу змінних (real – дійсна, complex – комплексна).

2)відкладеного виконання – Limit(expr,x=a,par), де параметри команди такі ж, як і в попередньому випадку.

Приклад 1. Знайти границю функції lim sin(2x) . x→0 x

Хід розв’язування

>Limit(sin(2*x)/x,x=0);

>limit(sin(2*x)/x,x=0);

76

Можна обчислювати по-іншому (використовуючи команду value - обчислити):

>Limit(sin(2*x)/x,x=0);

>value(%);

За допомогою цих двох команд прийнято записувати математичні викладки у стандартному аналітичному вигляді:

> Limit(x*(Pi/2+arctan(x)),x=-infinity)=

limit(x*(Pi/2+arctan(x)), x=-infinity);

Односторонні границі обчислюються з указуванням параметрів: left – для знаходження границі зліва і right – справа.

>Limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,left)=

limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,left);

>Limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,right)= limit(1/(1+exp(1/x)), x=0,right);

77

Контрольні завдання 1. Обчислити границі функцій.

1.

lim (x3 −2x −1)(x +1).

x → −1

x4 + 4x2 −5

3.

lim

(

x2

+3x + 2

)

2

.

x → −1 x3 + 2x2 − x −2

5.

lim

(x2 +2x −3)2 .

x → −3

x3 +4x2 +3x

7. lim (1+ x)3 −(1+3x) .

x → 0

x + x5

9.

lim

x3 −3x −2

.

x → −1

x2 − x −2

11.

lim

x3 −3x +2

.

x → 1 x3 − x2 − x +1

13.

lim

x3 + 4x2 +5x + 2

.

x → −1

x3 −3x −2

15.

lim

x3 +5x2 +8x +4

.

x →-2

x3 +3x2 −4

17.

lim

x3 −6x2 +12x −8

.

x →2

x3 −3x2 + 4

19.

lim

x3 −3x −2

.

x →−

1 (x2 − x −2)2

21.

lim

x3 −3x −2

.

x →−

1 x2 +2x +1

23.

lim

x4 −1

.

2x4 − x2 −1

x → 1

25.

lim

2x2 − x −1

.

2

x → 1 x3 + 2x2 − x −

27.

lim

x3 −2x −1

.

x →−

1 x4 +2x +1

29.

lim

x2 −1

.

2x2 − x −1

x → 1

2.	lim		x3 −3x −2			.
	x → −1			x + x2
			(	2x2	− x −1 2
4.	lim				)		.
	x → 1 x3 + 2x2 − x −2
6.	lim		(x3 −2x −1)2 .
	x → −1			x4 +2x +1

8.lim x2 −2x +1.

x→ 1 2x2 − x −1

10.

lim

x3 +5x2 +7x +3

.

x → −1 x3 + 4x2 +5x + 2

12.

lim

x3 + x2 −5x +3

.

x → 1

x3 − x2 − x +1

14.

lim

x4 −1

.

2x4 − x2 −

1

x → 1

16.

lim

x3 −5x2 +8x −4

.

x →2

x3 −3x2 + 4

18.

lim

x3 +5x2 +8x + 4

.

x → -2 x3 +7x2 +16x +12

20.

lim

x3 −3x −2

.

x →2

x −2

22.

lim

x2 −2x +1

.

x → 1 x3 − x2 − x +1

24.

lim

x2 +3x + 2

.

x →− 1 x3 + 2x2 − x −2

26.

lim

x2 + 2x −3

.

x →-3

x3 + 4x2 +3x

28.

lim

(1+ x)3 −(1+3x)

.

x → 0

x2 + x5

30.

lim

x3 +7x2 +15x +9

.

x →-3

x3 +8x2 + 21x +18

78

2. Обчислити границі функцій.

1 lim

1+ 2x −3

.

x → 4

x −2

3 lim

x −1

.

x → 1 3

x2 −1

5

lim

3

x −6 + 2

.

x → −2

x3 +8

7 lim

9 + 2x −5

.

x → 8

3

x −2

9 lim

3 8 +3x + x2 −2

.

x → 0

x + x2

11

lim

3

x −1

.

x → 1

1+ x −

2x

13

lim

3 4x −2

.

x → 2

2 + x −

2x

15

lim

3 9x −3

.

x → 3

3 + x −

2x

17

lim

3 16x −4

.

4 + x −

2x

x → 4

19

lim

3

x 4 −1 2

.

x →

1 2 1 2 + x − 2x

21

lim

3

x 16 −1 4

.

x →

1 4 1 4 + x − 2x

23

lim

3 27 + x − 3 27 − x

.

x → 0

3 x2 + 5 x

25

lim

1−2x +3x2

−(1+ x)

.

3

x

x → 0

27

lim

4

x −2

.

x → 16 3 (

x −4)2

2.

lim

1− x −3

.

x → −8

2 + 3 x

4 lim

x +13 −2

x +1

.

x2 −9

x → 3

6

lim

4 x −2

.

x → 16

x −4

8 lim

1−2x + x2

−(1+ x)

.

x

x → 0

10

lim

3 27 + x − 3 27 − x

.

x → 0

x + 23

x4

12

lim

1+ x − 1− x

.

x → 0

3 1+ x − 3 1− x

14

lim

x −1

.

x → 1

x2 −1

16

lim

3

x −6 + 2

.

x + 2

x → -2

18

lim

9 + 2x −5

.

x →

8

3

x2 −4

20

lim

3

x 9 −1 3

.

x → 1 3 1 3 + x − 2x

22

lim

1+ x − 1− x

.

x → 0

7

x

24

lim

3 8 +3x − x2 −2

.

x → 0

3 x2 + x3

26

lim

9 + 2x −5

.

x → 8

3

x −2

28

lim

3

x −6 + 2

.

3 x3 +8

x → -2

79

29 lim		x −2	.
x → 4 3		x2 −16

3. Обчислити границі функцій.

1. lim	ln (1+sin x)	.
x → 0	sin 4x

3lim 3x2 −5x .

x→ 0 sin3x

5	lim			4x			.
	x → 0 tg(π(2 + x))
7	lim		1−cos3 x		.
	x → 0			4x2
9	lim			2x −1		.
	x → 0 ln(1+ 2x)
11 lim				ln(1−7x)				.
	x → 0 sin(π(x +7))

13lim 9ln(1−2x) .

x→ 0 4arctg3x

15	lim		sin 7x	.
	x → 0		x2 +πx
17	lim		2sin[π(x +1)]					.
	x → 0		ln(1+ 2x)
19	lim		1+ x −1				.
	x → 0 sin[π(x + 2)]
21	lim		1− cos x		.
	x → 0		xsin x
23	lim		e4 x −1						.
	x → 0 sin(π(x 2 +1))
25	lim		sin2 x −tg2 x			.
			x4
	x → 0
27	lim		tgx −sin x			.
			x(1−cos2x)
	x → 0

30

lim

10 − x −6 1− x

.

x → −8

2 +

3

x

2.

lim

1−cos10x

.

x → 0

ex2 −1

4 lim

1−cos2x

.

x → 0 cos7x −cos3x

6 lim

2x

.

1 2)]

x → 0 tg[2π(x +

8 lim

arcsin3x

.

x → 0

2 + x −

2

10

lim

arctg2x

.

x → 0 sin(2π(x +10))

12

lim

cos(x +5π 2)tgx

.

x → 0

arcsin 2x2

14

lim

1− 3x +1

.

x → 0 cos[π(x +1) 2]

16

lim

4 + x −2

.

x → 0

3arctgx

18

lim

cos2x −cos x

.

x → 0

1−cos x

20

lim

sin[5(x +π)]

.

x → 0

e3x −1

22lim arcsin 2x ln 2.

x→ 0 2−3x −1

24lim 1−cos x .

x→ 0 (e3x −1)2

26	lim		arcsin 2x		.
	x → 0 ln(e − x) −1
28	lim		ln(x2 +1)	.
	x → 0 1− x2 +1

80

29 lim	tg(π(1+ x 2))	.
x → 0	ln(x +1)

4. Довести, що lim an = a .

n→∞

1. a

=

3n −2

, a =

3

.

n

2n −1

2

3. an =

7n + 4

, a =

7

.

2n +1

2

5. a

=

7n −1

, a = 7.

n

n +1

7. a =

9−n3

,

a =−

1

.

n

1+2n3

2

9. a

=

1−2n2

, a =−

1

.

2+4n2

n

2

11. a

n

=

n +1

,

a = −

1

.

1−2n

2

13. a =

1−2n2

,

a =−2.

n

n2 +3

15.	a	=				n		,				a =					1				.
	n					3n −1						3
17.	an	=				4 + 2n					,	a = −												2		.
																								3
						1−3n
19.	a	=			3−n2		,				a =−		1	.
	n	1+2n2										2
21.	an	=				3n −1		,				a =				3				.
						5n +1
												5
23.	a	=			1−2n2				,			a =−							1					.
					2+4n2
	n											2
25.	an	=				2 −2n				,		a = −												1	.
																								2
						3 + 4n
27.	an	=			1+3n			,				a = −3.
						6 −n
29.	a	=			3n2 +2			,				a =			3			.
	n				4n2 −1							4

30 lim	2(eπx −1)	.
x → 0	3( 3 1+ x −1)

2. a

=

4n −1

, a = 2.

n

2n +1

4. an =

2n −5

, a =

2

.

3n +1

3

6. a

=

4n2 +1

,

a =

4

.

n

3n2 +2

3

8. a

=

4n −3

, a = 2.

n

2n +1

10.

a

= −

5n

,

a = −5.

n

n +1

12.

a

=

2n +1

,

a =

2

.

n

3n −5

3

14.

a

=

3n2

,

a =−3.

2−n2

n

16.

a =

3n3

,

a =3.

n

n3 −1

18.

a

=

5n +15

,

a = −5.

n

6 −n

20.

an

=

2n −1

,

a = −

2

.

2 −3n

3

22.

a

=

4n −3

,

a = 2.

n

2n +1

24.

a

=

5n +1

,

a =

1

.

n

10n −3

2

26.

an

=

23 −4n

,

a = 4.

2 −n

28.

a

=

2n +3

,

a = 2.

n

n +5

30. a

=

2−3n2

,

a =−

3

.

n

4+5n2

5

81

5. Обчислити границі числових послідовностей.

1.	lim	(3 −n)2		+(3 + n)2	.	2.	lim	(3 −n)4		−(2 −n)4	.
			−n)2	−(3 + n)2					−n)4	−(1+ n)4
	n → ∞ (3						n → ∞ (1

3.

lim

(

3 −n)4 −(2 −n)4

.

n → ∞ (1−n)3 −(1+ n)3

5.

lim

(

6 −n)2 −(6 + n)2

.

n → ∞ (6 + n)2 −(1− n)2

7.

lim

(1+ 2n)3 −8n3

.

n → ∞ (1+ 2n)2 + 4n2

9.

lim

(3 −n)3

.

n → ∞ (n +1)2 −(n +1)3

11.

lim

2(n +1)3 −(n −2)3

.

n → ∞

n2 + 2n −3

13.

lim

(n +3)3 +(n + 4)3

.

n → ∞

(n +3)4 −(n + 4)4

15.

lim

8n3 −2n

.

(n +1)4 −(n −1)4

n → ∞

17.

lim

(2n −3)3 −(n +5)3

.

n → ∞

(3n −1)3 +(2n +3)3

19.

lim

(2n +1)3 +(3n + 2)3

.

(2n +3)3 −(n −

7)3

n → ∞

21.

lim

(2n +1)3 −(2n +3)3

.

(2n +1)2 +(2n +3)2

n → ∞

23.

lim

(n + 2)4 −(n −2)4

.

(n +5)2 +(n −5)2

n → ∞

25.

lim

(n +1)3 −(n −1)3

.

n → ∞

(n +1)2 −(n −1)2

27.

lim

(n + 2)3 +(n −2)3 .

n → ∞

n4 + 2n2 −1

4. lim (1−n)4 −(1+ n)4 .

n → ∞ (1+ n)3 −(1−n)3

6. lim (n +1)3 −(n +1)2 .

n → ∞ (n −1)3 −(n +1)3

8.

lim

(3 −4n)2

.

n → ∞ (n −3)3 −(n +3)3

10.

lim

(n +1)2 +(n −1)2 −(n + 2)3

(4 −n)

3

.

n → ∞

12.

lim

(n +1)3 +(n + 2)3

.

n → ∞

(n + 4)3 +(n +5)3

14.

lim

(n +1)4 −(n −1)4

.

(n +1)3 +(n −1)3

n → ∞

16.

lim

(n +6)3 −(n +1)3

.

(2n +3)2 +(n + 4)2

n → ∞

18.

lim

(n +10)2 +(3n +1)2

.

(n +6)3 −(n +1)3

n → ∞

20.

lim

(n +7)3 −(n + 2)3

.

(3n + 2)2 +(4n +1)2

n → ∞

22.

lim

n3 −(n −1)3

.

n → ∞

(n +1)4 −n4

24.

lim

(n +1)4 −(n −1)4

.

(n +1)3 +(n −1)3

n → ∞

26.

lim

(n +1)3 −(n −1)3

.

n → ∞

(n +1)2 +(n −1)2

28.

lim

(n +1)3 +(n −1)3 .

n → ∞

n3 −3n

82