Posibnuk

Отримаємо матрицю, заповнену випадковими числами:

>with(Student[LinearAlgebra]):

>RandomMatrix(3);

Отримаємо діагональну матрицю:

> J:=diag(1,2,3);

Визначимо число рядків матриці А:

> rowdim(A);

Матриці можна вводити через організацію діалогу комп’ютера з користувачем, таке введення матриці називають інтерактивним. Для введення матриці в інтерактивному режимі, треба спочатку визначити розмірність масиву командою array, а потім застосувати команду entermatrix.

Інтерактивне введення матриці має такий вигяд:

>with(linalg):

>A:=array(1..3,1..3);

A := array( 1 .. 3, 1 .. 3, [ ] )

> entermatrix(A);

enter element 1,1 > -4;

enter element 1,2 > 0;

53

enter element 1,3 > 1; enter element 2,1 > 2; enter element 2,2 > -1; enter element 2,3 > 3; enter element 3,1 > 3; enter element 3,2 > 2; enter element 3,3 > 2;

-4		0	1
	2	-1
			3
	3	2
			2

Арифметичні операції над матрицями

Сума двох матриць однакової розмірності (аналогічно сума векторів) знаходиться за допомогою команд: evalm(A+B) або matadd(A,B).

Добуток двох матриць можна знайти, використовуючи команди evalm(A&*B); або multiply(A,B);.

За допомогою команди evalm також можна додавати до матриці число та множити матрицю на число.

Наведемо приклади дій над матрицями. Приклад 5. Знайти добуток двох матриць А та В.

Хід розв’язування

І спосіб

> evalm(A&*B);

ІІ спосіб

> multiply(A,B);

54

Знаходження оберненої та транспонованої матриці

Обернену матрицю Aобр , таку що Аобр А = А Аобр = Е, де Е - одинична матриця, можна обчислити використовуючи команду evalm(1/A); або inverse(A);.

Нагадаємо, щоб отримати транспоновану матрицю ( АT ) треба поміняти місцями рядки та стовпці матриці А. Транспоновану матрицю АT можна отримати за допомогою команди transpose(A).

Приклад 6. Знайти обернену до матриці А. Хід розв’язування

Знайдемо обернену матрицю до матриці А, але спочатку перевіримо чи матриця А невироджена (знайдемо визначник і перевіримо на нерівність нулю).

І спосіб

>det(A);

>A_obr:=inverse(A);

ІІ спосіб

> A_obr:=evalm(1/A);

Перевіримо, чи отримана матриця є оберненою.

55

>multiply(A_obr,A);

>multiply(A,A_obr);

Знайдемо обернену матрицю знайомим з алгебри способом. Відомо, що для А існує єдина обернена матриця А_обр, яка визначається за формулою:

Матриця А* називається приєднаною, її елементами є алгебраїчні доповнення транспонованої матриці. Команда minor(A,i,j); виводить матрицю, отриману з вихідної матриці А викреслюванням i-го рядка та j-го стовпця. Мінор M ij елемента aij матриці А можна обчислити командою

det(minor(A,i,j)).

Наведемо проміжні дії:

>(minor(A,1,1));

>A11:=det(%); A12:=-det(minor(A,1,2));A13:=det(minor(A,1,3));

>A21:=-det(minor(A,2,1));

56

A22:=det(minor(A,2,2));

A23:=-det(minor(A,2,3));

>A31:=det(minor(A,3,1)); A32:=-det(minor(A,3,2)); A33:=det(minor(A,3,3));

>matrix([[A11,A12,A13],[A21,A22,A23],[A31,A32,A33]]);

>A_trp:=transpose(%);

>A_obr2:=evalm((1/det(A))*A_trp);

> A_obr()=A_obr2();

57

Для знаходження власних значень матриці А використовується команда eigenvalues(A).

Для знаходження власних векторів матриці А використовується команда eigenvectors(A). В результаті виконання цієї команди будуть отримані власні значення, їх кратність і відповідні власні вектори.

Приклад 7. Знайти власні значення та власні вектори, якщо

A =		3	−1	1		.
		−1	5	−1
		1	−1	3

Хід розв’язування

>restart:

with(linalg): A:=matrix([[3,-1,1],[-1,5,-1],[1,-1,3]]);

>eigenvectors(A);

Врядку виведення перераховані в квадратних дужках власне значення, його кратність і відповідний йому власний вектор в фігурних дужках, потім наступні набори даних.

58

Контрольні завдання

1.Для даного визначника ∆ знайти мінори та алгебраїчні доповнення елементів ai2 , a3 j . Обчислити визначник ∆:

а) розкласти його за елементами і-го рядка; б) розкласти його за елементами j-го стовбця;

в) отримати нулі в і-му рядку.

	1	1		−2	0											2	0		−1	3
1.	3	6	−2 5										, i = 4, j =1;		2.	6	3	−9 0			, i =3, j = 3 ;
	1	0		6	4											0	2		−1	3
	2	3		5	−1											4	2		0	6
	2	7	2		1											4 −5 −1 −5
3.	1	1	−1 0										, i = 4, j =1;		4.	−3		2		8 − 2									, i =1, j =3;
	3	4		0	2											5		3		1	3
	0	5	−1 −3													− 2 4 − 6 8
	3	5		3	2											3	2		0	−5
5.	2	4		1 0									, i = 2, j = 4 ;		6.	4	3	−5 0					, i =1, j = 2 ;
	1	−2		2	1											1	0		−2	3
	5	1		−2	4											0	1		−3	4
	2	−1		2	0											3		2	0	−2
7.	3	4 1 2											, i = 2, j =3;		8.	1 −1 2 3										, i = 3, j =1;
	2	−1		0	1											4		5	1		0
	1	2 3 −2														−1 2 3 −3
	0	4		1	1											0	−2			1	7
9.	−4	2		1	3								, i = 4,	j =3;	10.	4	−8			2			−3						, i = 4, j = 2 ;
	0	1		2	−2											10		1 −5			4
	1 3 4 −3															−8 3				2 −1
	5	−3 7 −1														4	−1 1				5
11.	3	2		0	2								, i =3,	j = 4 ;	12.	0	2		−2		3					, i =1, j = 2 ;
	2	1		4	−6											3	4		1		2
	3	−2		9	4											4	1		1		−2
	1	8		2	−3											2	−3		4	1
13.	3	−2		0	4								, i =1,	j = 4 ;	14.	4	−2		3	2	, i = 2, j = 4 ;
	5	−3		7	−1											3	0		2	1
	3	2		0	2											3	−1		4	3

59

	3	1	2	3																		3	1	2		0
15.	4	−1	2	4	, i =1,													j =3;			16.	5	0	−6		1			, i =3,					j = 2 ;
	1	−1	1	1																		−2	2	1		3
	4	−1	2	5																		−1	3	2		1
	1	−1	0	3																		5	0	4	2
17.	3	2	1		−1					, i =3,									j =1;		18.	1	−1	2	1	, i = 2, j = 4 ;
	1	2	−1	3																		4	1	2	0
	4	0	1	2																		1	1	1	1
	6	2 −10 4																				−1 −2 4						1
19.	−5	−7	−4							1								, i = 2, j =3;			20.	2	3	0				6					, i = 4, j =3;
	2	4 −2 −6																				2 −2 1						4
	3	0	−5 4																			3	1 −2 −1
	1	2	3							4												−1	1	−2		3
21.	−2	1	−4							3					, i =1,					j = 2 ;	22.	1	2	2		3			, i =3,					j = 2 ;
	3 −4 −1 2																					−2 3 1 0
	4	3 −2 −1																				2 3 −2 0
	−1	2	0	4																		4	1	2		0
23.	2	−3	1		1		, i = 4,												j = 4 ;		24.	−1	2	1		−1			, i =3,					j = 2 ;
	3	−1	2	4																		3	−1	2		1
	2	0	1	3																		5	0	4		2
	4 3 −2 −1																					3	−5 1			2
25.	−2	1	−4	3										, i = 2,						j =3;	26.	0	1	−1		−2						, i = 4,		j =1;
	0	4	1		−2																	3	1	−3		0
	5	0	1		−1																	1	2	−1		2
	2	−2	0	3																		6	0	−1		1
27.	3	2	1		−1						, i =3,									j = 4 ;	28.	2	−2	0		1			, i =1, j = 2 ;
	1	1	−2	1																		1	1	−3		3
	3	4	−4	01																		4	1	−1		2
	−1 −2 3 4																					−4 1		2 0
29.	2	0	1		−1								, i = 4,							j = 4 ;	30.	2	−1	2				3				, i = 2,		j = 2 .
	3	−3	1	0																		−3	0	1				1
	4	2	1		−2																	2	1	−2				3

2.Дано дві матриці А та В. Знайти:

а. AB ; б. BA ;

60

в. A−1 ; г. AA−1 ; д. A−1 A .

	2		−1		−3
1.		8	−					,
	A =			7 −6
			4			2
	−3
	3		5	−6
2.		2	4		3		,
	A =
			1		1
	−3
	2		1	−3
3.							,
	A = 2		−1 −6
			0	2
	1
	−6		1	11
4.		9	2	5
	A =					,
		0	3	7
	3		1	2
5.			0			,
	A = −1			2
		1	2
				1
	2		3	2
6.	A = 1		3	−1		,
			1	3
	4
	6		7	3
7.			1		,
	A = 3			0
			2
	2			1
	−2		3			4
8.		3						,
	A =		−1 −4
		−1	2			2
	1		7	3
9.			9
	A = −4			4 ,
		0	3
				2
	2		6	1
10.			3		,
	A = 1			2
			1
	0			1

2	−1	−2
	−5		4		;
B = 3
	2		1
1
2	8		−5
	−	1	0			;
B = −3
	5
4			−3
3	6		0
	4				;
B = 2		−6
	−2		3
1
3	0	1
	2			;
B = 0		7
	−3
1		2
0	−1	2
	1			;
B = 2		1
	7
3		1
3	2	−1
	1	2		;
B = 3
	3	0
5
2	0		5
	−1
B = 4		−2 ;
	3		7
4
3	3	1
	6		;
B = 0		2
	9
1		2
6	5	2
	9		;
B = 1		2
	5
4		2
4	−3			2
	0			5		;
B = −4
	2
3			−3

61

	6	9		4
11.		−	1
	A = −1			1 ,
		1
	10			7
	1	0	3
12.		1		,
	A = 3		7
		1
	2		8
	5	1	−2
13. A = 1		3	−1		,
		4
	8		−1
	2	2	5
14.		3		,
	A = 3		6
		3
	4		4
	1	−2	5
15.		0			,
	A = 3		6
		3
	4		4
	5 4 2
16. A = 1		2	4	,
		0
	3		5
	3	1	0
17.		3	2		,
	A = 4
		2
	2		−7
	8	−1		−	1
18. A = 5		−5		−	1	,
		3
	10			2
	3	−7	2
19.		−8			,
	A = 1		3
		−2
	4		3
	3	−1	0
20.		5			,
	A = 3		1
		−7
	4		5
	2	−1	−4
21.		−9		3		,
	A = 4
		−7
	2		−1

1		1	1
		4		;
B = 3			3
		5
0			2
3		5		4
		0		1		;
B = −3
	5	6
			−4
3		5	5
		1		;
B = 7			2
		6
1			0
1		−1		1
		3		3		;
B = 2
		−2
1			−1
−1		1		1
	2	3		3			;
B =
	1	−2
				−1
5		4	−5
B = 3		−7		1		;
		2		2
1
2		7	0
		3			;
B = 5			1
		−6
1			1
3		2	5
B = 3		2 1		;
		0
1			2
0		5	−3
		4	1		;
B = 2
		1
2			−5
−1		0		2
	1	−8				;
B =				5
	3	0
				2
0		0	−4
		−6		4
B = 5					;
		−4		1
7

62