90

60

120

		1)	3 a cos (α ) sin (α )	2)
	a := 2	r(α ) :=		x(t) := a	cos (t)3
			cos (α )3 + sin (α )3
				y(t) := a	sin (t)3

							2
	150			30
r(α)	180			6	0	y( t)
	0	2	4				0
	210			330
	240		300				2
	270
	α						x( t)

Рис.2. Графики на плоскости:

1 – в полярной системе координат; 2 – при параметрическом задании кривой

7.3. Построение трёхмерных графиков

7.3.1. Создание трёхмерных графиков

До версии MathCad 2000 при построении трёхмерных графиков предварительно требовалось:

задать функцию двух переменных; определить целочисленные индексы; сформировать матрицу аппликат; вывести шаблон;

в единственное поле ввода записать имя матрицы аппликат. Поскольку график строится на основе матрицы, содержащей только координаты высот фигуры, то истинные масштабы по осям Х и Y не известны и на рисунках не проставляются. Однако можно вывести порядковые номера элементов матриц в заданном

направлении (по Х и по Y).

Большие возможности дает несколько иной способ задания трехмерных поверхностей – в параметрическом виде. При этом приходится формировать три матрицы – X, Y и Z – и указывать их в шаблоне в виде (X, Y, Z).

29

z(x ,y) := cos(x y)				i := 0 .. 20 j := 0 .. 20
i − 10			j − 10
mi , j := z		,
	5			5

m

Рис.3. Построение поверхности

Современные версии пакета допускают построение трёхмерных графиков без задания матрицы аппликат, что существенно упростило задачу. Достаточно определить функцию двух переменных и указать её имя в поле ввода на шаблоне. Единственным недостатком такого метода является неопределённость масштабирования.

На одном графике допускается строить несколько пересекающихся или непересекающихся поверхностей. Для этого следует в шаблоне графика указать через запятую имена матриц или функций. Причём, возможно использование разных способов описания поверхностей, например, в виде обычной функции двух переменных и в параметрической форме.

MathCad позволяет очень просто разворачивать графики в пространстве, чтобы добиться наилучшей наглядности. Вращение графика выполняется при нажатой левой кнопке мыши. Если дополнительно использовать клавишу Ctrl, то можно приблизить объект к наблюдателю или удалить от него.

30

z1(x ,y) := x2 + y2

z2(x ,y) := −(x2 + y2)

z1 ,z2

Рис. 4. Соприкасающиеся поверхности

Если же удерживать клавишу Shift, то после отпускания мыши будет вращение. Чтобы его прервать, необходимо щёлкнуть по графику.

7.3.2. Форматирование трехмерных поверхностей

Наглядность представления трехмерных поверхностей зависит от множества факторов: масштаба построений, углов поворота фигуры относительно осей, применения алгоритма удаления невидимых линий или отказа от него, использования функциональной закраски и т. д. Для изменения этих параметров следует использовать операцию установки формата графика.

Применение алгоритма удаления невидимых линий делает рисунок трехмерной поверхности намного более наглядным. Дальнейшее повышение наглядности обеспечивается применением функциональной закраски. По существу, она дает дополнительную информацию о третьем измерении.

Окно форматирования проще всего вывести на экран двойным щелчком в области графика. Для задания внешнего вида графика используется очень большое количество параметров,

31

которые распределены по девяти вкладкам. Так, для смены типа графика используется вкладка General, на которой расположен переключатель, определяющий способ построения графика.

Так как форматирование поверхностей является довольно сложным процессом, то в состав пакета включён мастер построения трёхмерных графиков. Чтобы воспользоваться мастером, надо определить функцию и выполнить команду Insert|Graph|3D Plot Wizard. Затем в окне мастера Plot Type выбрать тип графика, в окне Appearance задать вид графика (линии сетки, окрашенная поверхность, окрашенная поверхность с линиями), а в окне Coloring указать способ задания цветовой гаммы (в зависимости от высоты, в зависимости от освещённости, заливка одним цветом). Завершив работу с мастером, следует в поле ввода шаблона записать имя функции. Процесс создания графика с помощью мастера очень наглядный и не вызывает затруднений. Однако мастер использует не все возможности форматирования.

7.3.3. Построение контурных графиков (Contour Plot)

Представление поверхности линиями равного уровня широко применяют в картографии. По умолчанию строится чёрнобелый контурный график без указания значений, соответствующих разным линиям уровня. Чтобы добавить оцифровку, следует открыть окно форматирования, перейти на вкладку Special и в группе Contour Options включить опцию Numbered. К сожалению, во многих случаях задание численных характеристик загромождает график. В ряде случае целесообразно задать аппликаты разного уровня с помощью цвета. Для использования функциональной окраски надо перейти на вкладку Appearance и выбрать опцию Fill Contours.

7.3.4. Построение точечного графика (3D Scatter Plot)

Нередко трехмерные поверхности представляют в виде находящихся в этом пространстве точек, кружочков или иных фигур. Каждая из этих фигур несет информацию о геометрическом положении ее центра в трехмерном пространстве.

Размеры точек, их вид и окраску можно изменять с помощью команды изменения формата ЗD-графика. Наглядность точечных графиков не очень высока. Их стоит использовать не для показа

32