8. Изгиб

8.1 Основные понятия

Изгибом называется напряженно-деформированное состояния в брусе (стержне), при котором в поперечном сечении отличным от нуля является изгибающий момент или, или оба вместе). Если отличным от нуля является только один изгибающий момент, например,а соответствующие оси являются главными централами, то изгиб называется прямым. В противном случае изгиб называется косым. Если, кроме того, поперечная сила, то изгиб называется чистым, если, то изгиб называется поперечным.

При построении эпюра M и Q в основном применяется метод сечений. При этом балка должна разбиваться на участки, на которых нет сосредоточенных сил и моментов, опор или резкого изменения нагрузки. При рассмотрении равновесия отсеченных частей, при замене опор их реакциями необходимо получить аналитические зависимости и . При этом система координат может быть выбрана для каждого участка своя. Обычно, рассматривают равновесия той части, где меньше усилий. При построении эпюр следует придерживаться следующих правил. Изгибающий момент балки положительный, если он изгибает балку выпуклостью вниз и отрицательный если он изгибает балку выпуклостью вниз (рисунок 6.1). Эпюра M строится на сжатых волокнах. На эпюре Q отмечают участки, где Q положительно – знаком «+», а где отрицательно – знаком «-». Эпюры снабжаются штриховкой, перпендикулярной оси балки.

Для Q

Для M

Рисунок 8.1

При построении эпюр можно использовать следствия следующих дифференциальных зависимостей:

; (8.1)

1. На участках, q=0, это означает, нагрузка отсутствует, эпюра Q – постоянна, а M – линейная.

2. На участках , это означает нагрузка равномерно распределена. Эпюра Q – линейная, а M – описывается квадратичной параболой с выпуклостью по направлению действия нагрузки.

3. В точках действия сосредоточенных сил имеются скачки в эпюре Q по величине, равной сосредоточенной силе, и по направлению действия этой силы, а в эпюре M имеется излом.

4. В точках, где действует сосредоточенный момент на эпюре M, имеется сачок по величине, равный величине сосредоточенного момента, а на эпюре Q наличие сосредоточенного момента не отображается. Скачок направлен “вниз”, если сосредоточенный момент направлен против хода часовой стрелки и наоборот.

5. Если на эпюре Q имеется нулевая ордината, то в этой точке эпюра M имеет экстремум.

Для вывода формул изгиба используются такие гипотезы:

1. Плоские до деформации поперечные сечения остаются плоскими после деформации и перпендикулярными к искривленной оси (гипотеза Бернулли).

2. Продольные волокна не давят друг на друга.

Предполагается материал балки линейно упругим, так что остается справедливым закон Гука.

Принятые гипотезы и предположения позволяет написать формулу для нормальных напряжений:

(8.2)

где y – расстояние до точки в которой вычисляются напряжения, от нулевой линии. Нулевой линией называется след на поперечном сечении слоя, волокна которого при изгибе не растягиваются и не сжимаются. Нулевая линия перпендикулярна плоскости изгиба. Она проходит через центр тяжести сечения (при условии отсутствия продольной силы). Формула (6.2) показывает, что по высоте сечения, нормальные напряжения распределены по линейному закону. Наибольшее нормальное напряжение имеет место при .

, (8.3)

где .

Величина W_х называется моментом сопротивления сечения при изгибе.

При расчетах на прочность необходимо найти сечения, в котором изгибающий момент будет максимальным. Тогда максимальное напряжение будет определяться по формуле (6.3), где М_и должно быть заменено на М_мах :

. (8.4)

Условия прочности имеет вид:

. (8.5)

где [_и] - допускаемое напряжение при изгибе. Следует обратить внимание, что в условие прочности входит момент сопротивления W_х поэтому балки имеющие одинаковые площади поперечного сечения, по-разному могут сопротивляться изгибу. Наилучшим среди этих сечении – сечения имеющие форму двутавра.

При изгибе балки касательные напряжения определяются по формуле Журавского:

(8.6)

здесь Q – поперечная сила, I_х  осевой момент инерции для всего сечения относительно нулевой линии, S_ - статический момент отсеченной части сечения относительно нулевой линии, b – ширина сечения.

В частном случае прямоугольного поперечного сечения закон изменения  - квадратичный. В нейтральных линии   max , а по краям  = .