- •Введение
- •1. Определение реакций опор твердого тела
- •2 .Кинематика точки
- •2.1. Основные понятия кинематики
- •2.2. Скорость точки
- •2.3 Ускорение точки
- •2.4 Задание к ргр- м 2
- •2.5 Пример м 2 –Кинематика точки
- •3. Принцип даламбера
- •3.1 Принцип Даламбера для материальной точки
- •3.2. Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •3.3 Задание к ргр - м 3
- •3.4 Пример м 3 – Принцип Даламбера
- •4. Растяжение и сжатие
- •4.1 Основные понятия
- •4.2 Задание к ргр-м3 статически определимой задачи на растяжение (сжатие) ступенчатого бруса
- •4.3 Пример решения статически определимой задачи на растяжение (сжатие) ступенчатого бруса.
- •4.4 Решение.
- •4.4.1 Определение количества участков.
- •Следует отметить, что поскольку z зависит от Nz и Аi, то для определения величин нормальных напряжений могут быть использованы те же участки.
- •Для граничных сечений III участка получим следующие значения нормальных сил и напряжений:
- •4.4.4 Вычисление перемещения верхнего конца колонны от действия всех сил
- •5. Расчет гибких нитей
- •5.1 Задание к ргр-м5
- •6. Геометрические характеристики сечений
- •6.1 Основные теоретические понятия
- •6.2 Задание к ргр- м 6 «Определение геометрических характеристик плоских сечений».
- •6.3 Пример определения геометрических характеристик плоских сечений
- •Решение:
- •3.2.1. Находим по таблице сортамента из приложений I, II, III, IV площадь, моменты инерции и координаты центра тяжести каждой фигуры (рисунок 6.6).
- •7. Кручение
- •7.1. Общие сведения
- •8. Изгиб
- •8.1 Основные понятия
- •8.2 Перемещения при изгибе
- •8.3 Задание для ргр-6 по теме «Расчет балок на изгиб»
- •8.3.2 Построение эпюр Qу и Мх для всей балки
- •Построение приблизительного вида изогнутой оси балки
- •8.3.4 Подбор поперечного сечения балки
- •8.4 Пример 2 решениея ргр-6 для 2-х шарнирной балки
- •Определение количества участков
- •8.4.2 Составление аналитических выражений изменения Qу, Мх и определение значений их в характерных сечениях каждого участка
- •9. Устойчивость стержня.
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Пример расчета на устойчивость
- •10. Расчет редукторной передачи
- •10.1 Выбор электродвигателя
- •10.2. Определение общего передаточного числа привода и разбивка его по ступеням
- •10.3 Кинематический расчет привода
- •10.4. Материалы зубчатых и червячных передач
- •10.4.1. Выбор материала для зубчатых передач
- •10.4.2. Выбор материала для червячных передач
- •10.5. Определение допускаемых напряжений
- •10.5.1. Режим работы передачи
- •10. 5.2. Допускаемые напряжения.
- •Зубчатые передачи
- •Допускаемые напряжения для проверки прочности зубьев при перегрузках
- •Червячные передачи
- •10.6. Цилиндрическая зубчатая передача
- •10.6.1. Общие сведения
- •10.7. Коническая зубчатая передача
- •10.7.1. Общие сведения.
- •10.7.2. Последовательность проектного расчета
- •10.8. Червячные передачи
- •10. 8.1. Общие сведения
- •10.8.2. Последовательность проектного расчета
- •10.9 Задание к ргр- м10. Расчет редукторных передач
- •10.10 Пример расчета редукторной передачи
- •Литература
- •Содержание
8.2 Перемещения при изгибе
Перемещения сечений балок характеризуется:
1) линейными перемещениями центров тяжести поперечных сечений в направлении, перпендикулярном геометрической оси балки z , которые называются прогибами .
2) угловыми перемещениями поперечных сечений вокруг нейтральной оси x, которые называются углами поворота сечений .
Уравнение, определяющие y и в произвольном сечении балки (рисунок 8.2):
Рисунок 8.2
(8.7)
(8.8)
Если равномерно распределенная нагрузка заканчивается не в конце балки, то эту нагрузку следует мысленно продолжить до конца и добавить противоположно направленную нагрузку такой же интенсивности (рисунок 6.2).
При этом в обобщенные уравнения углов поворота и прогибов, добавится ещё по слагаемому с противоположным знаком соответственно. Знаки слагаемых в обобщенных уравнениях устанавливают по правилу знаков для изгибающих моментов.
Положительное значение у обозначает прогиб вверх, и наоборот; положительное значение означает поворот сечения против часовой стрелки, и наоборот
Помимо расчетов на прочность балки нередко проверяют или рассчитывают на жесткость. Условие жесткости заключается в том, что максимальный прогиб (стрела прогиба f) или максимальный угол поворота не должно превышать допускаемых величин. Расчетные условия на жесткость имеет вид:
; (8.9)
8.3 Задание для ргр-6 по теме «Расчет балок на изгиб»
На (рисунке 8.3, 8.4приведены схемы балок требуется:
Для обеих схем построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.
Руководствуясь эпюрой изгибающего момента, показать приблизительный вид изогнутой оси балки. По опасному сечению подобрать размеры поперечного сечения:
а) для схемы (рисунок 8.3а, 8.4а)
прямоугольное h x в при
расчетом [τ] = 16 М Па (клееная древесина):h ·в= 1,5;
б) для схемы (рисунок 8.3б,
6.4б) – двутавровое (ГОСТ
8239-72) при расчетном
сопротивлении
[τ] = 200 М Па (сталь).
Данные взять из таблицы 9 Принять интенсивность равномерно распределенной нагрузки q = 6 кН/м.
Рисунок 8.3
Рисунок 8.4
Таблица 9
№ схемы |
а, м |
Р, кН |
М, кН · м |
1 |
1,5 |
10 |
150 |
2 |
2,0 |
15 |
200 |
3 |
2,5 |
20 |
120 |
4 |
3,0 |
25 |
100 |
5 |
3,5 |
30 |
300 |
6 |
4,0 |
35 |
180 |
7 |
4,5 |
40 |
60 |
8 |
5,0 |
45 |
240 |
9 |
5,5 |
50 |
220 |
10 |
6,0 |
60 |
160 |
8.3.1 Пример решения РГР-6 на тему «Расчет балок на изгиб» (рисунок 8.5а).
Решение. Решение любой задачи в сопротивление материалов всегда надо начинать в определение опорных реакций. Однако, при построении эпюр внутренних силовых факторов Q и М, для заделанных одним концом балок (консолей) опорные реакции, возникающие в заделке (НА, RА и МА) можно не определять, так как они не войдут в уравнения равновесия правых отсеченных частей балки при расположении начало координат на свободном конце балки. Если же принять начало координат в заделке и при этом рассматривать равновесия левых отсеченных частей, то определение опорных реакций обязательно.
Для нашего примера начало координат примем в сечении D, т.е. на свободном конце балки. При этом отсчет координат z ведем от точки D влево.
Построение эпюр Qу и Мх.
Для построения эпюр Qу и Мх определяем количество участков, затем, используя метод сечений, составляем аналитические выражения изменения Qу и Мх в зависимости от текущей абсциссы z для каждого участка.
Определение количество участков балки. Так как границы являются точки приложения нагрузок, то рассматриваемая балка (рисунок 6.5б) имеет три участка:участок I–DC, участокII–СВ, участокIII–ВА.
Рисунок 8.5
Составление аналитических выражений изменения Qу и Мх и определение значений их в характерных сечениях каждого участка. Проведя сечение I-I, рассмотрим равновесия правой отсеченной части балки длиной z1, приложив в ней все действующие справа от сечения заданной нагрузки и внутренние силовые факторы Qу и Мх, возникающие в сечении, которые заменяют действие отброшенной части балки (рисунок 8.6). При этом предполагаем, что изображенные на рисунке внутренние силовые факторы положительны.
Рисунок 8.6 Рисунок 8.7
Составим уравнения равновесия Σ у = 0 и Σ для этой части балки и решив их, найдем аналитические выражения измененияQу и Мх в зависимости от z1, на участке I, где z1 изменяется в пределах 0 ≤ z1 ≤ 1 м.
Полученные выражения показывают, что на участке I и - величины постоянные, так как не зависят от изменения z1. Знак «минус» у , говорит о том, что момент в сечение I-I вызывает растяжение верхних волокон, что показано на рисунке 6.4. Участок II (1м ≤ z2 ≤ 2м). Составим уравнения равновесия Σ у = 0 и для отсеченной сечением II-II правой части балки (рисунок 6.7) и определим и.
Σ у = 0;
Из полученных выражений для и видно, что на участке II величина постоянно, а величинаизменяется в зависимости отz2 по закону прямой линии. Знак «минус» у показывает, что в сечении II-II возникает поперечная сила, действующая в обратном направлении показанному на рисунке 6.7 Теперь, подставляя значения z2 для характерных сечений участка II в полученные аналитические выражения, определим величины и , возникающие в этих течениях, т.е. ординаты эпюр и в точках С и В.
При z2= 1 м,
При z2 = 2 м,
Участок III (2 м ≤ z3 ≤ 4 м). Составим уравнения равновесия Σ у = 0 и Σ М0 = 0 для отсеченной сечением III-III правой части балки (рисунок 6.8) и решив их, получим.
Рисунок 8.8
Таким образом, величина в пределах участкаIII изменяется по закону прямой линии, а величина по закону квадратной параболы в зависимости от величиныz3.
Далее, подставим значения z3, соответствующие характерным сечениям участка, в полученные аналитические выражения изменения и, определим ординаты этих эпюр для сеченийВ и А.
При z3 = 2 м.
При z3 = 4 м.
Так как поперечная сила в пределах участка меняет знак, т.е. имеет промежуточное нулевое значение (см. рисунок 6.5в), то в этом сечении возникает экстремальное значение изгибающего момента. Для определения его величины в начале найдем значение z0, при котором
Подставим найденное значение z0 = 3,5 м в аналитическое выражение изменения , вычислим величинуМтах.