9. Устойчивость стержня.

9.1. Основные понятия

Устойчивость системы – это свойство системы сохранять свою форму при малых возмущениях. При центральном сжатии, гибкого стержня, может произойти потеря устойчивости (переход к новому равновесному состоянию при наличии возмущений), если усилия P превышает некоторое критическое значение, т.е. . При превышении у стержня появляется смежные ненулевые положения равновесия, и при снятии возмущений стержень остается в изогнутом состоянии. Такое состояние называется продольным изгибом.

При потере устойчивости возможны два случая:

1. материал стержня остается упругим – после снятия нагрузки восстанавливается прямолинейная форма равновесия.

2. Появляются пластеские деформации и после снятия нагрузи остается остаточные деформации.

Если материал стержня остается упругим , (_пц - предел пропорциональности), то критическая сила определяется по формуле Эйлера:

(9.1)

где: - минимальный осевой момент инерции сечения стержня,

- коэффициент приведения длины , зависящий от способа

закрепления концов стержня (см. табл. 9.1),

- приведенная длина (длина полуволны формы потери устойчивости).

Таблица 2. Значения коэффициента μ

Способ закрепления концов стержня	μ
	1 2 0,5 0,7

Соответствующее критическое напряжения равно:

(9.2)

где λ - гибкость стержня, определяемая формулой:

(9.3)

Здесь введено обозначения для минимального радиуса инерции:

(9.4)

Формула Эйлера (9.2) и (9.3) применяется. Когда критическое напряжение не превышает предела пропорциональности _пц :

или (9.5)

где, (9.6)

Если условие (9.5) нарушается, то вместо формулы Эйлера можно использовать формулу Ясинского:

(9.7)

Параметры a и b для различных материалов приводятся в справочнике. Например для стали 3 они равны: a= 310Мпа, b=1,14 Мпа.

Расчет на устойчивость ведется двумя способами:

1. по допускаемым нагрузкам, когда

(9.8)

где: -нормативный коэффициент запаса по устойчивости, который обычно больше, чем нормативный коэффициент запаса на прочность. Критическую силу подсчитывают при этом по формулам (9.2) или (9.3) или (100).

2. по коэффициенту продольного изгиба, когда в качестве основного расчетного условия используется неравенство:

(9.9)

где: - допускаемое напряжение при сжатии. Коэффициентизменяется в пределах от 0 до 1 и зависит от гибкости стержня. Его значения приведены в приложении ХІІ.

При определении поперечных размеров из расчета на устойчивость применяется расчет по коэффициентному . Расчет ведется с учетом формулы (100) методом последовательных приближений. Из него следует:

(9.10)

Процесс вычисления проводится в следующем порядке!

1. Выбираем значенияи по формуле (9.10) определяетсяA.

2. Вычисляется радиус инерции и максимальная гибкость.

3. По из таблицы определяется.

4. Производится сравнение ии выбираетсяиз промежутка междуи(например).

5. Для определяетсяA и процесс повторяется до тех пор пока исходное и окончательное не совпадут (расхождение менее 5 %).