- •1.Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины(или n столбцов одинаковой длины).
- •2.Умножение матрицы на число
- •3.Умножение матриц
- •2 Матр а и в соглас-е, если число строк матр а равно числу столбцов матр в, и наоборот.
- •4.Опред-ль 1,2,3 порядков.
- •1. Находим опр-ль матр. Если δ ≠0, то матр a-1 сущ-т.
- •2. Составим матрицу a* алгебраических дополнений элементов исходной матрицы а. Т.Е. В матрице a* элементом I - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение Aij элемента aij исх матрицы.
- •3. Транспонируем матрицу a* и получим a*t
- •7.Минор к-го порядка матрицы. Базисный минор матр. Ранг матр и его св-ва. Теорема о ранге матр. Вычисление ранга.
- •8. Система m-линейных ур-й с n неизв-ми. Матричная запись системы. М-д обр матрицы. М-д Крамера.
- •9.Метод Крамера.
- •10. Метод Гаусса. Эквив преобраз-я систем. Базисные и своб неизвестные. Критерий совместности.
- •11. Системы линейных однородных уравнений.
- •12.Вектор на плоскости и в простр-ве. Лин опер-и над в-ми, их св-ва. Базис на пл-ти и в простр-ве. Ортонормированный базис.
- •3.Ассоциативный закон относительно умножения чисел
- •4. Дистрибутивный закон относительно сложения векторов ,отн-но сложения чисел
- •8. Базисомn-мерного пространства наз-ся любая совокупность n-лин. Независимых векторов n-мерного пространства.
- •15.Необх и достат условие компланарности в-ов. Скал произв-е в-ов, его св-ва. Критерий перпенд в-ов, угол м/д ними, длина в-ов.
- •16.Собственные векторы и собственные числа матрицы. Св-ва.
- •17.Уравнение прямой-уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой и только этой прямой.
- •18.Углом между двумя прямыми называется любой из двух углов, образованных прямыми при их пересечении.
- •21.Расстояние от точки до прямой
- •22.Окружность
- •22А.Гипербола, ее характеристики, геометрические свойства
- •22Б. Где идут буквы с нулями-это значит,например x0,только в уменьшенном варианте где s,n-это вектора ,сверху палочку подрисуйте¯; √- этот корень всегда доводите до конца выражения
- •23.Плоскость.Условие параллел-ти и перпендик-ти
- •1 Из спос-в зад-я пл-ти через зад точку m0(x0,y0,z0) с заданным нормальным вектором n(a;b;c)
- •24.Расстояние от точки до плоскости.Угол между плоскостями
- •25.Пр линия в пр-ве.Параметрич ур-е прям.Канонич ур-е пр
- •26. Предел числовой последовательности (чп).
- •X1, x2,…xn,…-числ послед.(1), xn-общ член чп.
- •27.Понятие ф-и. Сп-бы задания ф-й, оп-ции над ними. Обр ф-ия. Элемент ф-ии, их классификация.
- •1)Степенные:
- •31.Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
- •32. Теоремы о непрерывных функциях
- •1)Первая теорема Вейерштрасса
- •2) Вторая теорема Вейерштрасса
- •3) Теорема Больцано-Коши о промежут.Значении
- •1) Все элем-ые ф-ции в области определения непрерывны.
- •3) Сумма, произвед-е и частное двух непр-ых ф-ций есть ф-ция непр-ая (делитель не равен нулю).
- •34.Произв. Ф-ции. Геометр., механ., экон. Смысл произ-ной. Эласт-сть ф-ции, ее экон приложение.
- •35. Правила дифферен-я. Таб-ца произв-ых.
- •36.Производная показательной неявной функции. Производные высших порядков:
- •37. Теорема Ферма. Т-ма Ролля. Их геом смысл.
- •38.Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя.
- •39) Достаточное усл-е возраст-я (убыв-я) ф-й.
- •40)Экстрему ф-ии.Необх усл-е экс-ма ф-ии. Достаточное (1е и 2е) усл-я экс-ма. Нахожд-е наимень и наиболь знач-ий ф-ии на отр-ке.
- •41)Выпук-ть ф-ции вверх(вниз).Необх-ое и достат-ое усл-я перегиба ф-ии.
- •42) Асимптоты графика ф-ии (вертик, гориз-е,наклонныые).
- •43)Общ схема исслед-я ф-и и постр-я гр-ка.
- •44)Дифференц-л ф-ии, его геометр смысл. Примен-е дифф-ла в приближ вычисл-ях.
38.Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя.
Теорема Лагранжа: Пусть задана ф-я и пусть она: 1) опр-на и непрер на; 2) имеет кон произв-юна. Тогда найдётся такая т. с (a<c<b), что вып-ся рав-во
Док-во: Введём вспомогат функцию
Она удовл-т всем условиям теоремы Ролля. Действительно, F(x) опред-на и непрер на ,,
,т.е. сущ на . След-но, найдётся точка с (a<c<b), такая, что F’(c) = 0, т.е.
или
Тогда ∆
Правило Лопиталя: Пусть ф-и f(x) и g(x) одновр явл либо бескон б-ми, либо беск-но малыми в т. . Тогда при выч-и пределовпри x →для раскрытия неопред-тей видаилиудобно применить пр. Лопиталя :
, Неопределенности вида 0 · ∞, ∞ – ∞,,,часто удается свести к неопределенностям видаилис помощью различных преобразований.
39) Достаточное усл-е возраст-я (убыв-я) ф-й.
Ф-я наз-сявозраст-ей на инт-ле, если для любыхииз этого инт-ла, для которых, верно нерав-во. Ф-я наз-сяубыв-ей на инт-ле, если для любыхx1 и x2 из этого инт-ла, для кот, верно нерав-во.Необх-ое усл-е возраст-я ф-ии:если ф-ия диффер-ма и возраста на инт-ле, тодля всех х из этого инт-ла.Необх-ое усл-е убыв-я ф-ции. Если ф-ция дифф-ма и убыва на инт-ле, тодля всех х из этого инт-ла.Достаточное усл-е возраст-я (убыв-я ф-и). Пусть ф-я диф-ма на инт-ле. Если во всех точках этого инт-ла, то ф-ия возраста на этом интле, а если, то ф-я убывает на этом инт-ле.
40)Экстрему ф-ии.Необх усл-е экс-ма ф-ии. Достаточное (1е и 2е) усл-я экс-ма. Нахожд-е наимень и наиболь знач-ий ф-ии на отр-ке.
Точки макс-ма и мин-ма наз. точками экст-ма ф-ии. Т-ка xi наз точкой mах ф-и y =f(x) если для люб достаточно малых выполн-ся нерав-воf(x1+)<f(x1). Точка xi наз точкой min ф-ии y =f(x) если для люб достаточно малых справед-во нерав-воf(x2+)<f(x2). Если ф-я y=f(x) имеет в точке x=x0 экст-м, то f’(x)=0 или f’(x0) не сущ (необход усл-е экст-ма).Если при переходе (слева направо) через критическую т-ку x0 пр-ая f’(x) меняет знак с +на-, то в т-ке x0 ф-я y=f(x) имеет max; если же с - на +, – то min; если знака не меняет, то экст-ма нет (1е достаточное усл-е экстр-ма). Если f’’(x0)<0,то ф-я имеет локальный max; если f’’(x0)>0, - локальный min; если f’’(x0)=0, точка x=x0 может и не быть экстремальной (2е достат-е усл-е экстр-ма). Если ф-я f(x) диффер-ма в ограниченной замкнутой обл-ти, то она достиг своего наиб (наимен) знач-я или в критической т-ке, или в граничной т-ке обл-ти.Алгоритм исслед-я ф-и на экс-мы:1)обл опред-я Х, нанос на числ. прямую.2)f(x)=0, корни этого ур-я-стационарн, или критич т-ки ф-ии. Замеч-е 1: к стац. Т-кам относ тж те т-ки, где пр-я обращ-ся в бескон-ть.Зам 2: если стац т-к нет,экс-мов нет.3)нанести т-ки на прямую4)опред-ть знак пр-ой на кажд инт-ле5)y max, y min
41)Выпук-ть ф-ции вверх(вниз).Необх-ое и достат-ое усл-я перегиба ф-ии.
Кривая, заданная ф-ей y=f(x), наз. выпуклой в инт-ле (a;b), если все т-ки кривой лежат не выше люб касат-ой в этом инт-ле,и в вогнутой в инт-ле (a;b),если все т-ки этой кривой лежат не ниже люб её кас-й в этом инт-ле.Т-ка кривой M0(y0;x0), отделяющая выпуклую её часть от вогнутой (или наоборот), наз. Т-ой перегиба кривой.Если ф-я y=f(x) имеет в окрест-ти внутр т-ки c обл-ти опред-я 2ю непрерывную пр-ую и т-ка M(c,f(c)) , лежащая на графике ф-ии, явл-ся т-ой перегиба, то f’’(c)=0 (необх усл-е перегиба).Если при переходе через т-ку c, подозрительную на перегиб графика ф-и y=f(x),2я пр-ая меняет знак, то точка M(c,f(c)) гр-ка есть т-ка перегиба (достат-е усл-е перегиба).