15.Необх и достат условие компланарности в-ов. Скал произв-е в-ов, его св-ва. Критерий перпенд в-ов, угол м/д ними, длина в-ов.

векторы наз компланарными ,если их представители параллельны некоторой плоскости.скалярное произвед-е векторовиназ-ся число ,равное произвед-ю длин этих векторов умнож-е на косинус угла между ними, Св-ва:1.коммутативность2.3. ассоциативность4.5.если

Скалярное произв-е ненулевых вектр-в равно 0 тогда и только тогда, когда векторы ортогональны.

Угол между векторами ,. Длина вектора:

16.Собственные векторы и собственные числа матрицы. Св-ва.

Говорится, что матрица A размера N*N имеет собственный вектор x и соответствующее собственное значение l, когда выполняется Ax = lx.Очевидно, что любой вектор, пропорциональный собственному, также будет собственным вектором. Нулевой вектор как собственный не рассматривается. Из ф-лы следует также, что для каждого из N собственных значений (не обязательно различных) имеется соответствующий собственный вектор: известно, что если матрица (A - l1)вырождена, то существует ненулевой вектор, обнуляющий ее при умножении. Определения и основные факты

Матрица называется симметричной, если она совпадает с транспонированной (со своей транспозицией): A = AT, или ai,j = aj,i. Она называется ортогональной, если ее транспозиция является обратной к ней: AAT = ATA = 1. Концепция "нормальности" важна при поиске собственных векторов. Система собственных векторов нормальной матрицы с невырожденными собственными значениями является полным и ортогональным базисом N-мерного векторного пространства. Если матрица не является нормальной, как, например, любая действительная несимметричная матрица, то в общем случае нельзя отыскать ортонормированный набор собственных векторов, нельзя даже гарантировать ортогональности любой пары из них. В общем случае эти N собственных векторов будут образовывать неортогональный базис в N-мерном пространстве.

17.Уравнение прямой-уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой и только этой прямой.

Векторное уравнение прямой: пусть на прямой задана точка М_о(х_о;у_о) и задан нормальный вектор n=(А;В)

На данной прямой выбрать произвольную точку М(х;у) и рассмотреть вектор М_оМ=r. Вектор n перпендикулярен вектору r, следовательно n*r_о =0 (1) – векторное уравнение прямой.

В уравнении (1) вектор n=(А;В), а вектор r_о =(х-х_о;у-у_о), подставим и получим

А(х-х_о)+В(у-у_о)=0 - уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к данному вектору. Раскроем скобки, получим Ах-Ах_о+Ву-Ву_о=0;

Ах +Ву+(-Ву_о-Ах_о) =0. Обозначим -Ву_о-Ах_о =С.

17а. Из общего уравнения прямой на плоскости Ах+Ву+С=0:

Ву=-Ах-С (А,В,С не равно 0)

У=(-А/В)*х-С/В

k= -А/В=tgα

у=kх+b – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Точка М_о(х_о;у_о) принадлежит данной прямой. Тогда у=kх+b минус у_о=kх_о+b получаем:

у-у_о=k(х-х_о) – кравнение прямой проходящейчерез данную точку в заданном направлении.

Пусть заданно уравнение прямой у=kх+b и М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂), то у₁=kх₁+b, у₂=kх₂+b

Отнимем от второго уравнения первое, получим

у₂-у₁=k(x₂-x₁)

k= (у₂-у₁)/ (x₂-x₁) – угловой коэффициент прямой.

Пусть заданны М₁ и М₂, принадлежащие некоторой прямой, тогда

(у-у₁)/ (у₂-у₁)= (x-x₁)/(x₂-x₁) – уровнение прямой проходящей через две точки