10. Метод Гаусса. Эквив преобраз-я систем. Базисные и своб неизвестные. Критерий совместности.

Эквивал преобразования СЛАУ:

1. Умн-е любого из ур-й сист на одно и то же число ≠ 0.

2. Перестановка уравнений системы.

3. Сл-е любых 2-ух Ур-й сист с предварит умн-м одного из них на любое действит число.

4. удаление уравнений вида: 0x1+0x2+……+0xn=0

Т: эквивал преобраз-я 1-4 не нарушают равнос-ти систем. Эквивал преобраз-я СЛАУ 1-4 равнос-ны эквивал преобраз-ям матр A/B (1. умн-е эл-ов матр или строки матр на одно и то же число ≠ 0; 2. перестановка любых 2-х строк матр; 3. сл-е любых 2-х строк матр с предварит умн-м одной из них на любое действит число; 4.уд-е нул строки.)

Метод Гаусса позволяет решать сист m Ур-й с n неизв-ми.

1. По исх сист записываем расшир матр системы.

2. с пом эл-в эквивал преобраз-й 1-4 приводим расшир матр к виду верхней треуг или трапециевидной.

a11 a12 ….. a1n

0 a22…….. a2n

0 0…… ann

b1

b2

…..

bn

(А/В) ~

(1)

a11 a12 …. a1r…a1n

0 a22 ….. a2r…a2n

0 0 ….. arr.....arn

b1

b2

br

(А/В) ~

(2)

1. или (2) – прямой ход Гаусса.

Далее по получ преобраз матр (1) или (2) восстан-м сист и решаем ее, начиная с посл ур-я.

Пр-с нах-я решений восстановл систем (1) или (2) наз обр ходом Гаусса.

При этом возможны следующие случаи:

1. amn ≠ 0 – система имеет единственное решение

2. ann = 0, bn ≠ 0 – не имеет решений

В случае трапециев матр возможны след ситуации:

1. Один из эл-в посл строки arr,arr+1,…..,arn ≠0, то сист имеет бескон мн-во реш-й, кот нах-т след образом: переем-е, кот соотв-т гл базисному минору объявляют базисными. Все оставшиеся переем-е явл своб. Далее своб переем-м придаём произв зн-е, чаще всего переобозначают эти зн-я xr+1 = α, …,xn=αn-r

α1, ….., αn-r принадл-т R и выражают базисные переем-е через свободные, начиная с посл Ур-я.

2.ann=0, bn≠0 СЛАУ несовместима

arr, arr+1, …. , arn=0, br≠0

Критерий совместимости СЛАУ:

Теорема Кронекера-Капелли

Для того, чтобы СЛАУ, где AX=B, где матр A разм-ти m*n была совместной необх-мо и дост-но, чтобы ранг осн матр системы был равен рангу расшир матр системы.

r(A) = r(A/B)

Док-во:

Необходимость: пусть СЛАУ AX=B совместна.

Доказать, что ранги равны.

Сущ набор чисел (α1, α2…..αn), что будучи подставл в каждое из ур-й системы получим:

a11α1 + a12α2 + . ………. + a1nαn = b1

a21 α1 + a22α2 + … …… + a2n αn = b2

am1α1 + am2 α2 + ………… + amnαn = bm

Рассмотрим расширенную матрицу системы

a11 a12 ….. a1n

a21 a22…….. a2n

am1 am2…… amn

b1

b2

…..

bm

0

0

…

0

A

―—”——

(А/В)=

~

След-но r(A/B) = r(A)

Док-ть, что СЛАУ совместна, если ранги равны.

a11 a12 …. a1r…a1n

0 a22 ….. a2r…a2n

0 0 ….. arr.....arn

b1

b2

br

Дано: r(A/B) = r(A) и к расшир матрице (A/B) применим преобраз-я Гаусса. В рез-те расшир матр (A/B) будет приведена к виду верхней треуг или трапециев. А тогда реш-я сист м. б. пол-ны обр м-м Г-са.

Случай 1. r(A)≠r(A/B), то СЛАУ несовместна.

Случай 2. r(A/B)=r(A)=n –СЛАУ совм и имеет единств реш-е.

Случай 3. r(A/B) = r(A)=r < –СЛАУ совм и имеет беск мн р-й.